摘要：提出了一種基于最優(yōu)搜索的稀疏傅里葉變換(SFT)的并行實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)。首先將輸入信號(hào)分為并行N組，分別進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻率分量的取模處理，然后通過(guò)排序搜索獲得。經(jīng)驗(yàn)證，相較于FFTW，當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度大于524 288時(shí)，執(zhí)行時(shí)間會(huì)有更好的表現(xiàn)；相較于正交匹配算法及其他SFT的FPGA實(shí)現(xiàn)，其系統(tǒng)的復(fù)雜度降低了。
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0引言

稀疏傅里葉變換（Sparse Fourier Transform, SFT）是一種新的算法框架，也是快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）在處理稀疏頻譜信號(hào)上的延伸。2003年AYDINER A A等人提出了針對(duì)頻域稀疏信號(hào)的傅里葉變換基本思想［1］。對(duì)于頻域稀疏信號(hào)來(lái)說(shuō)，其頻譜可以通過(guò)其多級(jí)子集頻譜獲得。之后，IWEN M A等人從壓縮感知得到啟發(fā)，將采樣和頻率估計(jì)整合到快速傅里葉變換并提出了經(jīng)典SFT框架［2］。之后SFT廣泛運(yùn)用于稀疏頻譜信號(hào)（諸如音頻信號(hào)、醫(yī)學(xué)圖像信號(hào)）的處理以及頻譜感知領(lǐng)域［3］。大量的SFT算法被提出，它們多利用經(jīng)典的頻率估計(jì)算法通過(guò)亞奈奎斯特采樣點(diǎn)的子集的傅立葉變換重構(gòu)稀疏頻點(diǎn)［4］。但由于經(jīng)典SFT的亞奈奎斯特率樣本是通過(guò)多次采樣獲得的，因此，經(jīng)典SFT 不可能代替 FFT來(lái)處理實(shí)時(shí)信號(hào)，比如雷達(dá)信號(hào)等。

2010年以來(lái)，一種并行結(jié)構(gòu)的SFT算法受到了廣泛的關(guān)注［5］。并行SFT首先通過(guò)并行下采樣，采集計(jì)算所需的所有時(shí)域數(shù)據(jù)，然后再通過(guò)FFT，通過(guò)亞線性頻譜估計(jì)方法獲得信號(hào)的稀疏頻率及其幅值。由于該類方法以并行取代迭代獲得頻譜估計(jì)所需的所有信息，因此可以實(shí)時(shí)處理各種頻域稀疏信號(hào)，使得經(jīng)典SFT得到了改善。基于此，參考文獻(xiàn)［6］~［8］探討了稀疏傅里葉變換在GPU以及多核CPU上的實(shí)現(xiàn)方式。這些研究顯示，基于GPU加速的實(shí)現(xiàn)方案運(yùn)行速度要顯著高于基于CPU的實(shí)現(xiàn)方案。然而，基于GPU的實(shí)現(xiàn)方案都存在主存儲(chǔ)區(qū)與GPU存儲(chǔ)區(qū)的連接交互問(wèn)題，因此數(shù)據(jù)間的正常流動(dòng)不能得到更好的促進(jìn)。

為解決GPU的數(shù)據(jù)并行處理的局限性，本文研究SFT的并行算法并在FPGA上對(duì)其進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，同時(shí)應(yīng)用中國(guó)余數(shù)定理（CRT）的基本原理對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。相較于傳統(tǒng)的SFT，本文的方法可以極大地降低系統(tǒng)的復(fù)雜度，減少了硬件的開(kāi)銷。本文，首先介紹SFT的并行框架，然后討論SFT的FPGA實(shí)現(xiàn)架構(gòu)，最后從仿真結(jié)果以及硬件實(shí)現(xiàn)兩方面對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)估。

1SFT并行算法

SFT并行算法主要由下采樣、頻率估計(jì)、幅度估計(jì)三個(gè)部分組成。在下采樣過(guò)程中，將輸信號(hào)劃分為N個(gè)組，每個(gè)組的采樣因子分別為σ1,σ2,…,σN。利用中國(guó)余數(shù)定理（Chinese Residue Theorem，CRT）進(jìn)行頻率以及幅度的估計(jì)，設(shè)定各組的采樣因子兩兩互質(zhì)。

并行SFT算法從L個(gè)采樣樣點(diǎn)中重構(gòu)2 K算個(gè)參數(shù)，其中包括K個(gè)時(shí)延參數(shù)以及K個(gè)幅度參數(shù)。重構(gòu)法的具體計(jì)算步驟如下：首先，設(shè)采樣通道數(shù)為N，每個(gè)通道的采樣點(diǎn)數(shù)分別為qi,i=1,2,…,N。計(jì)算X~=M*X，其中M為下采樣矩陣，X為采樣樣本。之后，對(duì)X~進(jìn)行DFT變換，得到X^=DFT(X~)。按幅度從大到小對(duì)X^向量中的值進(jìn)行排序，計(jì)算hk：

hk=kthMAX|X^j|,k∈［0，K］（1）

其中K為指定的重構(gòu)信號(hào)的參數(shù)。得到hk之后則可通過(guò)求余運(yùn)算獲取余數(shù)信息r1,khk的位置modq1。通過(guò)并行查詢的方式搜索余數(shù)的最優(yōu)解：

tminmint∈［0，qj］|hk-X^t*q1+r1,k|,j∈［2，N］（2）

rj,k=r1,k+tmin*q1modqj,j∈［2，N］（3）

利用CRT通過(guò)r1,b,…，rN，b重構(gòu)時(shí)延參數(shù)τk，幅度估計(jì)參數(shù)可由公式（4）和 （5）得出：

x=real(hk)|τk

y=imag(hk)|τk(4)

ak=|x+iy|（5）

2SFT主要部分的FPGA實(shí)現(xiàn)

本文考慮使用MATLAB Simulink工具構(gòu)建SFT采樣算法的FPGA實(shí)現(xiàn)架構(gòu)。圖1展示了當(dāng)采樣通道數(shù)N=3時(shí)的SFT并行結(jié)構(gòu)，其主要包括下采樣、頻率估計(jì)、幅度估計(jì)三個(gè)部分。　

如圖1所示，頻率估計(jì)與幅度估計(jì)共用部分相同的硬件結(jié)構(gòu)，信號(hào)在經(jīng)過(guò)下采樣之后，通過(guò)FFT運(yùn)算得到復(fù)數(shù)的輸出信號(hào)，為了對(duì)該復(fù)數(shù)信號(hào)進(jìn)行排序，將該復(fù)數(shù)信號(hào)取模后送入排序網(wǎng)絡(luò)，由于每個(gè)通道送入排序網(wǎng)絡(luò)的點(diǎn)數(shù)不同，排序網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)會(huì)稍有差異。在利用CRT估計(jì)信號(hào)的幅度和頻率之前，需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行求余、求最優(yōu)解等運(yùn)算。其中，最優(yōu)解運(yùn)算的核心是排序網(wǎng)絡(luò)，利用排序網(wǎng)絡(luò)的思想求取輸入信號(hào)的最大值以及獲取排序后的信號(hào)在原輸入信號(hào)中的位置；CRT模塊由一些加法器和乘法器組成。