文章從實(shí)際出發(fā)，講述了什么是傅里葉變換，它的理論基礎(chǔ)以及Numpy和OpenCV實(shí)現(xiàn)傅里葉和逆傅里葉變換，并最終用高通濾波和低通濾波的示例。

1. 什么是傅里葉變換及其基礎(chǔ)理論

1.1傅里葉變換

圖像處理一般分為直接對(duì)圖像內(nèi)的像素進(jìn)行處理的空間域處理和頻率域處理。

空間域處理主要?jiǎng)澐譃榛叶茸儞Q和空間濾波兩種形式。

灰度變換是對(duì)圖像內(nèi)的單個(gè)像素進(jìn)行處理，比如調(diào)節(jié)對(duì)比度和處理閾值等。

空間濾波涉及圖像質(zhì)量的改變，例如圖像平滑處理。空間域處理的計(jì)算簡(jiǎn)單方便，運(yùn)算速度更快。

頻率域處理是先將圖像變換到頻率域，然后在頻率域?qū)D像進(jìn)行處理，最后再通過(guò)反變換將圖像從頻率域變換到空間域。

1.2基礎(chǔ)理論

時(shí)間差，在傅里葉變換里就是相位。相位表述的是與時(shí)間差相關(guān)的信息。

在圖像處理過(guò)程中，傅里葉變換就是將圖像分解為正弦分量和余弦分量?jī)刹糠郑磳D像從空間域轉(zhuǎn)換到頻域。

數(shù)字圖像經(jīng)過(guò)傅里葉變換后，得到的頻域值是復(fù)數(shù)。因此，顯示傅里葉變換的結(jié)果需要使用實(shí)數(shù)圖像（real image）加虛數(shù)圖像（complex image），或者幅度圖像（magnitude image）加相位圖像（phase image）的形式。因?yàn)榉葓D像包含了原圖像中我們所需要的大部分信息，所以在圖像處理過(guò)程中，通常僅使用幅度圖像。

如果希望先在頻域內(nèi)對(duì)圖像進(jìn)行處理，再通過(guò)逆傅里葉變換得到修改后的空域圖像，就必須同時(shí)保留幅度圖像和相位圖像。對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換后，會(huì)得到圖像中的低頻和高頻信息。低頻信息對(duì)應(yīng)圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。高頻信息對(duì)應(yīng)圖像內(nèi)變化越來(lái)越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過(guò)渡造成的。

傅里葉變換的目的，就是為了將圖像從空域轉(zhuǎn)換到頻域，并在頻域內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像內(nèi)特定對(duì)象的處理，然后再對(duì)經(jīng)過(guò)處理的頻域圖像進(jìn)行逆傅里葉變換得到空域圖像。

2. Numpy實(shí)現(xiàn)傅里葉和逆傅里葉變換

2.1Numpy實(shí)現(xiàn)傅里葉變換

Numpy模塊中的fft2（）函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。

Numpy提供的實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的函數(shù)是numpy.fft.fft2（），它的語(yǔ)法格式是：

返回值 = numpy.fft.fft2（原始圖像）

參數(shù)“原始圖像”的類型是灰度圖像，函數(shù)的返回值是一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。經(jīng)過(guò)該函數(shù)的處理，就能得到圖像的頻譜信息。此時(shí)，圖像頻譜中的零頻率分量位于頻譜圖像（頻域圖像）的左上角。

為了便于觀察，通常會(huì)使用numpy.fft.fftshift（）函數(shù)將零頻率成分移動(dòng)到頻域圖像的中心位置。函數(shù)numpy.fft.fftshift（）的語(yǔ)法格式是：

返回值=numpy.fft.fftshift（原始頻譜）

為了顯示為圖像，需要將它們的值調(diào)整到［0， 255］的灰度空間內(nèi)，使用的公式為：

像素新值=20*np.log（np.abs（頻譜值））

用Numpy實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，觀察得到的頻譜圖像。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('./img/hand1.png',0)f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121) plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original') plt.axis('off') plt.subplot(122) plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') plt.title('result') plt.axis('off') plt.show()

2.2 實(shí)現(xiàn)逆傅里葉變換

注意： 如果在傅里葉變換過(guò)程中使用了numpy.fft.fftshift（）函數(shù)移動(dòng)零頻率分量，那么在逆傅里葉變換過(guò)程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift（）函數(shù)將零頻率分量移到原來(lái)的位置，再進(jìn)行逆傅里葉變換

函數(shù)numpy.fft.ifftshift（）是numpy.fft.fftshift（）的逆函數(shù)，其語(yǔ)法格式為：

調(diào)整后的頻譜 = numpy.fft.ifftshift（原始頻譜）

numpy.fft.ifft2（）函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)逆傅里葉變換，返回空域復(fù)數(shù)數(shù)組。

它是numpy.fft.fft2（）的逆函數(shù)，該函數(shù)的語(yǔ)法格式為：

返回值=numpy.fft.ifft2（頻域數(shù)據(jù)）

函數(shù)numpy.fft.ifft2（）的返回值仍舊是一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。

逆傅里葉變換得到的空域信息是一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)組，需要將該信息調(diào)整至［0， 255］灰度空間內(nèi)，使用的公式為：

iimg = np.abs（逆傅里葉變換結(jié)果）

在Numpy內(nèi)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換、逆傅里葉變換，觀察逆傅里葉變換的結(jié)果圖像。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f)
ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) 
iimg = np.abs(iimg)  plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'), plt.axis('off') plt.show()

2.3高通濾波示例

一幅圖像內(nèi)，同時(shí)存在著高頻信號(hào)和低頻信號(hào)。

低頻信號(hào)對(duì)應(yīng)圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的圖像中，低頻信號(hào)對(duì)應(yīng)著顏色趨于一致的廣袤草原。高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)圖像內(nèi)變化越來(lái)越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過(guò)渡造成的。如果在上面的大草原圖像中還有一頭獅子，那么高頻信號(hào)就對(duì)應(yīng)著獅子的邊緣等信息。

濾波器能夠允許一定頻率的分量通過(guò)或者拒絕其通過(guò)，按照其作用方式可以劃分為低通濾波器和高通濾波器。

允許低頻信號(hào)通過(guò)的濾波器稱為低通濾波器。低通濾波器使高頻信號(hào)衰減而對(duì)低頻信號(hào)放行，會(huì)使圖像變模糊。允許高頻信號(hào)通過(guò)的濾波器稱為高通濾波器。高通濾波器使低頻信號(hào)衰減而讓高頻信號(hào)通過(guò)，將增強(qiáng)圖像中尖銳的細(xì)節(jié)，但是會(huì)導(dǎo)致圖像的對(duì)比度降低。

傅里葉變換可以將圖像的高頻信號(hào)和低頻信號(hào)分離。通過(guò)對(duì)圖像的頻域處理，可以實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)、圖像去噪、邊緣檢測(cè)、特征提取、壓縮和加密等操作。

在Numpy內(nèi)對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻域圖像。然后，在頻域內(nèi)將低頻分量的值處理為0，實(shí)現(xiàn)高通濾波。最后，對(duì)圖像進(jìn)行逆傅里葉變換，得到恢復(fù)的原始圖像。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) iimg = np.abs(iimg) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'), plt.axis('off') plt.show()

3.OpenCV實(shí)現(xiàn)傅里葉和逆傅里葉變換及低通濾波示例

3.1 OpenCV實(shí)現(xiàn)傅里葉變換

OpenCV提供了函數(shù)cv2.dft（）和cv2.idft（）來(lái)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換和逆傅里葉變換

函數(shù)cv2.dft（）的語(yǔ)法格式為：

返回結(jié)果=cv2.dft（原始圖像，轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)）

在使用該函數(shù)時(shí)，需要注意參數(shù)的使用規(guī)范：對(duì)于參數(shù)“原始圖像”，要首先使用np.float32（）函數(shù)將圖像轉(zhuǎn)換成np.float32格式。“轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)”的值通常為“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用來(lái)輸出一個(gè)復(fù)數(shù)陣列。

函數(shù)cv2.dft（）返回的結(jié)果與使用Numpy進(jìn)行傅里葉變換得到的結(jié)果是一致的，但是它返回的值是雙通道的，第1個(gè)通道是結(jié)果的實(shí)數(shù)部分，第2個(gè)通道是結(jié)果的虛數(shù)部分。

經(jīng)過(guò)函數(shù)cv2.dft（）的變換后，得到了原始圖像的頻譜信息。此時(shí)，零頻率分量并不在中心位置，為了處理方便需要將其移至中心位置，可以用函數(shù)numpy.fft.fftshift（）實(shí)現(xiàn)。

例如，如下語(yǔ)句將頻譜圖像dft中的零頻率分量移到頻譜中心，得到了零頻率分量位于中心的頻譜圖像dftshift。

dftShift = np.fft.fftshift（dft）

經(jīng)過(guò)上述處理后，頻譜圖像還只是一個(gè)由實(shí)部和虛部構(gòu)成的值。要將其顯示出來(lái)，還要做進(jìn)一步的處理才行。

函數(shù)cv2.magnitude（）可以計(jì)算頻譜信息的幅度。該函數(shù)的語(yǔ)法格式為：

返回值=cv2.magnitude（參數(shù)1，參數(shù)2）

參數(shù)1：浮點(diǎn)型x坐標(biāo)值，也就是實(shí)部。參數(shù)2：浮點(diǎn)型y坐標(biāo)值，也就是虛部，它必須和參數(shù)1具有相同的size

函數(shù)cv2.magnitude（）的返回值是參數(shù)1和參數(shù)2的平方和的平方根，公式為：

得到頻譜信息的幅度后，通常還要對(duì)幅度值做進(jìn)一步的轉(zhuǎn)換，以便將頻譜信息以圖像的形式展示出來(lái)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是需要將幅度值映射到灰度圖像的灰度空間［0， 255］內(nèi)，使其以灰度圖像的形式顯示出來(lái)。

這里使用的公式為：

result = 20*np.log(cv2.magnitude(實(shí)部，虛部))

import numpy as np import cv2 img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) print(dft) dftShift = np.fft.fftshift(dft) print(dftShift) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) #兩個(gè)參數(shù)，需要拆分通道print(result)

import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('./img/hand1.png',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray') plt.title('result'), plt.axis('off') plt.show()

3.2實(shí)現(xiàn)逆傅里葉變換

在OpenCV中，使用函數(shù)cv2.idft（）實(shí)現(xiàn)逆傅里葉變換，該函數(shù)是傅里葉變換函數(shù)cv2.dft（）的逆函數(shù)。其語(yǔ)法格式為：

返回結(jié)果=cv2.idft（原始數(shù)據(jù)）

對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換后，通常會(huì)將零頻率分量移至頻譜圖像的中心位置。如果使用函數(shù)numpy.fft.fftshift（）移動(dòng)了零頻率分量，那么在進(jìn)行逆傅里葉變換前，要使用函數(shù)numpy.fft.ifftshift（）將零頻率分量恢復(fù)到原來(lái)位置。

注意： 在進(jìn)行逆傅里葉變換后，得到的值仍舊是復(fù)數(shù)，需要使用函數(shù)cv2.magnitude（）計(jì)算其幅度。

用OpenCV函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換、逆傅里葉變換，并展示原始圖像及經(jīng)過(guò)逆傅里葉變換后得到的圖像。

import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('./img/hand1.png',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft)
ishift=np.fft.ifftshift(dftShift)iImg = cv2.idft(ishift) iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1]) # 計(jì)算幅度plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') plt.title('inverse'), plt.axis('off') plt.show()

3.3低通濾波示例

在一幅圖像內(nèi)，低頻信號(hào)對(duì)應(yīng)圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。圖像進(jìn)行低通濾波后會(huì)變模糊

實(shí)現(xiàn)的中間步驟

rows， cols = img.shape crow， ccol = int（rows/2） ， int（cols/2） mask = np.zeros（（rows， cols，2）， np.uint8） # 二維的原因，有實(shí)部和虛部 mask［crow-30:crow+30， ccol-30:ccol+30，：］ = 1

然后，將其與頻譜圖像進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)低通濾波。這里采用的運(yùn)算形式是：

fShift = dftShift*mask

使用函數(shù)cv2.dft（）對(duì)圖像進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻譜圖像。然后，在頻域內(nèi)將其高頻分量的值處理為0，實(shí)現(xiàn)低通濾波。最后，對(duì)圖像進(jìn)行逆傅里葉變換，得到恢復(fù)的原始圖像。

import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft)
rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) #兩個(gè)通道，與頻域圖像匹配 mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1 fShift = dftShift*mask ishift = np.fft.ifftshift(fShift) iImg = cv2.idft(ishift) iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1])
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') plt.title('inverse'), plt.axis('off') plt.show()

審核編輯：郭婷