傅里葉級數和傅里葉變換：

　　傅里葉級數對周期性現象做數學上的分析

　　傅里葉變換可以看作傅里葉級數的極限形式，也可以看作是對周期現象進行數學上的分析。

　　除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的算法。要想理解傅里葉變換算法的內涵，首先要了解傅里葉原理的內涵。

　　傅里葉原理表明：對于任何連續測量的數字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。

　　傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。

　　傅里葉級數針對的是周期性函數，傅里葉變換針對的是非周期性函數，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加。

　　傅里葉級數

　　 周期函數

　　凡是滿足以下關系式：

　　（T為常數） 的函數，都稱為周期函數。

　　傅里葉級數的性質

　　傅里葉級數是一類特殊的函數項級數，對周期性現象進行數學上的分析，其在理論和應用上都有重要價值。

　　1）收斂性

　　傅里葉變化與傅里葉級數之間的區別與聯系

　　傅里葉級數是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換

　　傅里葉級數是以三角函數為基對周期信號的無窮級數展開，如果把周期函數的周期取作無窮大，對傅里葉級數取極限即得到傅里葉變換。

　　傅里葉變換是從傅里葉級數推演而來的，傅里葉級數是所有周期函數都可以分解成一系列的正交三角函數，這樣，周期函數對應的傅里葉級數即是它的頻譜函數

　　傅里葉級數是周期信號的另一種時域的表達方式，也就是正交級數，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換就是完全的頻域分析

　　傅里葉級數

　　為什么要有傅里葉級數

　　傅里葉級數（Fourier Series）是用一系列正弦波（Sinusoid）來描述任何周期函數的一種方法。圖1中的三條曲線分別是周期為1秒的方波，正弦波和三角波。由于正弦和余弦只有相位差，故統稱正弦波。

　　圖1. 周期為1秒的方波，正弦波，三角波

　　在介紹傅里葉級數之前，讓我們先來回顧一下級數的概念。級數是用一個無窮數列的加和來逼急一個數。函數項級數則是用一個函數列的加和來逼近一個函數。

　　稱為定義在（a，b）內的函數項級數。為什么要把一個看似簡單的函數分解成一大堆函數的和呢？因為有些函數直接研究起來比較困難，以某種形式的級數進行展開，對里面的每一項單獨研究，會變得更簡單，也使得計算更加容易。級數有千千萬萬種，如泰勒級數，等比級數，調和級數等等。但是有一種由正弦函數組合而成的級數，顯得尤為重要。這就是傅里葉級數。為什么傅里葉技術格外重要呢？這要歸功于正弦函數優秀的性質。我們將函數展開成級數是為了獲得更加簡便和易于計算的形式。而當正弦波輸入一個系統時，輸出仍然是一個正弦波，只有振幅、相位和頻率會發生變化，而不像其他的級數會使函數形式本身發生改變。這使得傅里葉級數在分析函數時具有了巨大的優勢。此外，由于通信系統中電磁場與電磁波，以及諸多物理原理都與正弦信號有關，所以造就了傅里葉級數如此重要的地位。

　　傅里葉級數是怎么來的

　　傅里葉級數的得出

　　假如有兩個周期函數（Periodic Function），它們的頻率分別為f1和f2，那么他們的疊加還是一個周期函數嗎？頻率又是多少呢？顯然，兩個不同頻率的周期函數疊加仍然是一個周期函數，疊加后函數的周期是兩個原函數周期的最小公倍數。因此，當一組頻率為

　　的周期函數疊加時，疊加后的函數頻率必然為1HZ。然而，如果采用了諸如1.1HZ，2.5HZ，3，12435HZ之類頻率的級數項，則輸出頻率將陷入混亂，所以這里只選取如1HZ，2HZ，3HZ，。。。，nHZ，。。。的頻率作為級數項。1HZ可以作為基本頻率，改寫作fJZ， 則級數項將變為fHZ，2fHZ，3fHZ，。。。，nfHZ，。。。。回想圖1中周期為1秒的方波函數，我們可以將它表示成

　　然而，上面我們所表示的函數恰好是一個周期為1秒的奇函數。如果用上面的公式來逼近一個偶函數則無法實現。所以，若f（t）是一個周期為1秒的偶函數，則

　　因此，當f（t）是一個周期為T，頻率為f的一般函數，既有奇函數成分也有偶函數成分，此外，作為奇函數或偶函數對稱點可能相對原點產生位移，易知這個位移不會影響函數的形狀，可以用一個常數來表示，為了后續計算方便，這個位移記作a02，則有

　　至此，我們已經得到了傅里葉級數的完整表達形式。

　　傅里葉級數中參數的確定與函數的正交性

　　那么如何確定上面公式中的bn呢？在這之前，然我們來談談什么是函數的正交性。學過線性代數的同學都知道，兩個向量的正交是通過內積為零來定義的。而內積則是將向量的對應項相乘再求和來得到的。假設我們有一個任意長度的向量，每兩個元素之間的距離無限小，那么我們就可以把這樣兩個向量看作兩個連續的函數。類比內積的概念，兩個函數正交也就是將兩個函數賦予相同的自變量，再相乘，再做積分，如果積分等于零，則說明這兩個函數在積分域上是正交的。

　　我們高興的發現，不同頻率的三角函數具有如下的正交性。其中

　　傅里葉變換

　　為什么要有傅里葉變換

　　在上一章，我們已經清楚的知道如何使用傅立葉級數去描述任何一個周期函數，其中傅里葉級數將一個周期函數描述成離散頻率正弦函數的組合，即在頻域上離散。然而，我們要分析的函數中常常會有非周期函數，這就需要傅里葉變換而不是傅里葉級數來描述這類函數。頻域不同于時域，是從另一個角度觀察客觀世界的一種方式。其將無限動態的世界看成是注定的和靜止的。從頻域理解世界，更像是上帝看世界的方式。

　　對于任何一個非周期函數，我們都可以認為其可以通過一個周期函數的周期趨于無窮轉化而來。周期趨于無窮也就意味著頻率趨于零，以及角速度趨于零。也就是說，一個非周期函數會通過傅里葉變換被描述成連續的正弦函數的組合，即在頻域上連續。基于這個思想，傅里葉級數即將演化成傅里葉變換。

　　從傅里葉級數到傅里葉變換

　　傅里葉級數的指數形式

　　讓我們從傅里葉級數開始：

　　極限求得傅里葉變換

　　在為什么要有傅里葉級數一節中，我們已經說過傅里葉變換其實就是傅里葉級數的周期趨近于無窮。因此，假設我們的目標非周期函數為f（x），由傅里葉級數逼近的周期函數為ft（x），則

　　因此，

　　因此，將x替換成t，則

　　從上面兩個式子我們可以看出，第一個式子相當于將一個時域函數f（t）變換成了頻域函數f（w），而第二個式子相當于將頻域函數f（w）變換為時域函數f（t）。那么一個時域函數變換到頻域后，再變換回時域，還是不是它自身呢？這個問題就相當于f（t）=f（t）是否成立，也可以說成傅里葉變換是不是一一對應的。下面我們用反證法來探究這個問題。

　　假設傅里葉變換不是一一對應的。那么應該有

　　因此，假設不成立。傅里葉變換具有一一對應性。至此，我們已經完整的得到了傅立葉變換。