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聊聊連續(xù)時間的傅里葉分析

冬至子 ? 來源:不忘初心的模擬小牛牛 ? 作者:模擬小牛牛 ? 2023-06-11 16:22 ? 次閱讀

這一期接著聊連續(xù)時間的傅里葉分析,主要內(nèi)容如下。

1、大牛傅里葉的簡介;

2、傅里葉級數(shù)到傅里葉變換的轉(zhuǎn)換過程;

3、周期信號的傅里葉變換表示;

4、卷積和乘法在時域及頻域的對偶關(guān)系。

上一期,我們講到了連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)展開。傅里葉的名字可謂聲名遠播,是個不得不聊的人物。

約瑟夫·傅里葉(1768-1830),法國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家。一生富有傳奇色彩。兒時淪為孤兒,長大后,扛過槍,當過地方行政長官,出將入相。又那么熱愛學(xué)習(xí)。在研究熱傳導(dǎo)問題時,于1811年,通過論文《熱的傳播》提出了任一函數(shù)可以展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù),也就是上一期中關(guān)于傅里葉級數(shù)的內(nèi)容,積分變換基礎(chǔ)。

1822年,出版專著《熱的解析理論》將三角函數(shù)級數(shù)的理論一般化。將周期信號推廣到更一般的信號,更系統(tǒng)地總結(jié)歸納為傅里葉分析。

根據(jù)時域信號的表現(xiàn)的不同特點(連續(xù) 周期非周期 ),傅里葉分析有不同的類型,不同的叫法以示區(qū)別,如圖1所示。這里也看到了時域和頻率的對偶性(Duality)。這期還是先討論連續(xù)時間類型,對于離散情況,后續(xù)會專門總結(jié)。

圖片

圖1

傅里葉變換可以認為是對傅里葉級數(shù)結(jié)論的一般化推廣過程,這里先給出兩個動圖說明這個趨近過程。其中圖2是上一篇(積分變換基礎(chǔ)中講到的定義在區(qū)間[-1,1]的三角波,周期T=2。隨著周期T增加,并趨近于+∞,信號就等效為單周期的三角波(其他定義域的值都為零)。

圖片

圖2

當周期T增加時,其傅里葉級數(shù)ak和周期T乘積的變化過程如圖3中藍色的離散幅值,紅色為akT的包絡(luò)線。至于為什么是akT的乘積,我們先留個疑問。

圖片

圖3

圖2和3可以看到,當周期T增加時,時域信號越來越稀疏,而其傅里葉級數(shù)的頻譜卻越來越密集。直覺相信,在極限情況下,其終極形態(tài)就是 紅色的包絡(luò)線函數(shù)

下邊試著從極限的角度,理清如何將周期信號傅里葉級數(shù)轉(zhuǎn)化為非周期信號的 傅里葉變換

圖片

圖4

圖4重新給出了周期為T的周期信號圖4(a)和其極限情況,僅定義在-T/2和T/2區(qū)間的非周期信號圖4(b)。

圖4(a)周期信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)如圖5。通過變形,注意和定義函數(shù) X(jω) 的關(guān)系。 X(jω) 就是akT的包絡(luò)線函數(shù)。

圖片

圖5

我們再看看圖4(a)周期信號的傅里葉級數(shù)表示。利用圖5的包絡(luò)線函數(shù) X(jω) 定義,可以看到圖6中的階梯型面積之和。極限情況下,等于被積函數(shù) X(jω)e^(j ωt )ω形成面積。

圖片

圖6

把傅里葉變換對重寫如圖7所示。時域信號x(t)的表示從周期信號的 線性累加 ,變成非周期信號的積分表示形式。注意其傅里葉變換實際上是 復(fù)變函數(shù) ,自變量為jω,僅僅位于復(fù)平面的虛軸上。函數(shù)值也為復(fù)數(shù)形式,同時包含了幅度和相位的信息復(fù)合形式。

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圖7

注意傅里葉變換 X(jω) 的積分結(jié)果收斂存在,同樣需要滿足狄利克雷條件。

針對時域一般信號,通過傅里葉變換對,將信號從時域和頻域緊密的聯(lián)系在一起,建立了人們認識問題的新角度。從頻域分析去解釋問題也能夠很好的符合人們實驗觀測的結(jié)果。使傅里葉變換在現(xiàn)代眾多技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。

我們希望能夠?qū)⒏道锶~變換推廣到更寬的適用范圍。就必須解釋和回答第三個問題,周期信號如何用傅里葉變換來表示?

如圖8所示,首先考慮頻域中位于頻率點( kω0 )處的單位沖激函數(shù)。單位沖激函數(shù)(出于傅里葉級數(shù)的頻譜是離散頻率點的若干值,所以考慮頻域的單位沖激函數(shù))的傅里葉反變換對應(yīng)的時域信號應(yīng)該是什么樣的。

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圖8

圖8中可給出了周期信號的傅里葉變化表示,是在k次諧波位置,為ak的離散頻譜形式。(注意ak****也是包含了幅度和相位的符合信息,也就是說是復(fù)數(shù)形式)

從時域和頻域不同角度分析,就像觀察硬幣的正反面。雖然觀測角度不同,事物本質(zhì)上是一致的。就像歷史上人們對電磁波的認識過程,到底是“波”還是“粒子”,是人們對電磁波“波粒二象性”不同角度的觀測結(jié)果。

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圖9

就像我們對聲音的理解一樣,物體的振動產(chǎn)生聲音。不同的樂器,根據(jù)同樣的樂譜,都能演奏出近乎一樣的樂曲(音色有各自的特色)。實際感受到的是悅耳動聽的音樂(時域)。樂譜就算是從頻域記錄音樂的方式。

傅里葉變換中兩個重要到不能再重要的關(guān)系,值得我們重點回顧一下,卷積乘法 。兩者之間的相互轉(zhuǎn)換的近似性關(guān)系稱之為 對偶性(Duality)

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圖10

我們知道,時域卷積是信號與系統(tǒng)的基礎(chǔ)概念,時域中,需要通過卷積運算計算系統(tǒng)響應(yīng)。相信很多人,都知道卷積這概念,要真是讓大家通過卷積來推導(dǎo)一下時域中系統(tǒng)響應(yīng)。估計還是要撓撓頭皮的。相反,時域的卷積運算映射到頻域,仿佛一下子就降級到了只需要小學(xué)生的運算能力了,即乘法。從而大幅度降低運算復(fù)雜性,也符合我們一貫懶惰的本性。

轉(zhuǎn)換為頻域乘法,一個簡單概念為濾波器。從頻域角度描,對不同頻率分量的幅度和相位進行需要的衰減和增強等操作。

另一個就是時域的乘法,映射到頻域為卷積運算,貌似變復(fù)雜了。

其實在通信領(lǐng)域,時域乘法具有重要的意義。為了提高通信過程中傳遞信息的效率和距離。通常會將有用信息調(diào)制(Mixer乘法器)到高頻率的載波上,便于信息的傳遞。接收端接收后,又需要把有用信息摘出。(原諒我這非專業(yè)人士的蹩腳描述)。其頻域解釋就是頻譜搬移,將有用信號從低頻搬移到高頻載波上。

如圖11,在高中的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中。比如說“積化和差”,如果把角度換做角頻率。我們仔細再思考一下,肯定會會心一笑。這就是最基礎(chǔ)的模擬調(diào)制方式,調(diào)幅(amplitude modulation)。

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圖11

再舉一個例子,在后續(xù)回顧離散傅里葉變換(DTFT)時,也會看到為避免時域信號周期延拓后出現(xiàn)頻譜泄露,需要對時域采樣加 "窗函數(shù)" 。這也是一個在時域做乘積的例子,到時候,我們再仔細思考。

關(guān)于傅里葉變換的各種性質(zhì)這里就不詳細介紹了,大家還是翻翻書,多記多用才行。

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