MATLAB實(shí)現(xiàn)PCA算法

PCA（Principal Component Analysis）是一種經(jīng)典的線性降維方法，其基本思想是將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間中，使得映射后的數(shù)據(jù)具有更好的可解釋性。

PCA 的核心思想是將原始數(shù)據(jù)投影到一個(gè)新的坐標(biāo)系中，使得投影后的數(shù)據(jù)方差最大。在這個(gè)新的坐標(biāo)系中，第一個(gè)主成分是數(shù)據(jù)方差最大的方向，第二個(gè)主成分則是與第一個(gè)主成分不相關(guān)的方向，以此類推，直到所有主成分都被選出為止。

在 MATLAB 中，可以使用 pca 函數(shù)來計(jì)算主成分。下面是一個(gè)示例代碼，假設(shè)我們有一個(gè)包含 1000 個(gè)樣本和 10 個(gè)特征的數(shù)據(jù)集：

%生成隨機(jī)數(shù)據(jù)
data=randn(1000,10);

%計(jì)算主成分
[coeff,score,latent]=pca(data);

其中，coeff 是一個(gè) 10x10 的矩陣，每列對(duì)應(yīng)一個(gè)主成分，score 是一個(gè) 1000x10 的矩陣，表示每個(gè)樣本在新坐標(biāo)系中的投影，latent 則是一個(gè)包含每個(gè)主成分的方差的向量。

我們可以使用這些結(jié)果來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維。例如，如果我們希望將數(shù)據(jù)降到 3 維，可以將前三個(gè)主成分相加，得到每個(gè)樣本在新空間中的坐標(biāo)：

new_data=data*coeff(:,1:3);

這將返回一個(gè) 1000x3 的矩陣，表示每個(gè)樣本在新空間中的坐標(biāo)。

綜上所述，PCA 是一種非常有效的降維方法，可以在不丟失太多信息的情況下將高維數(shù)據(jù)降到低維空間中。在 MATLAB 中，可以使用 pca 函數(shù)來計(jì)算主成分，并使用結(jié)果來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維。

PCA并通過python實(shí)現(xiàn)

PCA（Principal Component Analysis）是一種常用的數(shù)據(jù)降維技術(shù)，它可以通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間，從而使得數(shù)據(jù)在保留盡量多信息的前提下，減少特征維度，簡化問題。下面是一個(gè)用Python實(shí)現(xiàn)PCA的示例：

假設(shè)我們有一組二維數(shù)據(jù)，可以通過以下代碼來生成：

importnumpyasnp

np.random.seed(1)#設(shè)置隨機(jī)數(shù)種子，這樣每次運(yùn)行程序生成的數(shù)據(jù)都是相同的

X=np.dot(np.random.rand(2,2),np.random.randn(2,200)).T

這里我們使用np.dot()函數(shù)來進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算，其中第一個(gè)矩陣是2x2的隨機(jī)矩陣，第二個(gè)矩陣是2x200的隨機(jī)矩陣，最終得到的是2x200的矩陣，這就是我們的原始數(shù)據(jù)。

接下來我們通過sklearn中的PCA來實(shí)現(xiàn)二維數(shù)據(jù)的降維和可視化：

fromsklearn.decompositionimportPCA
importmatplotlib.pyplotasplt

pca=PCA(n_components=1)#創(chuàng)建一個(gè)PCA對(duì)象，設(shè)置降維后的維度為1

X_new=pca.fit_transform(X)#對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行降維

plt.scatter(X[:,0],X[:,1],alpha=0.5)#繪制原始數(shù)據(jù)
plt.scatter(X_new[:,0],np.zeros(X_new.shape),alpha=0.5)#繪制降維后的數(shù)據(jù)
plt.show()

這里我們指定降維后的維度為1，即將二維數(shù)據(jù)降到一維。通過fit_transform()函數(shù)可以得到降維后的結(jié)果，最后通過可視化來展示原始數(shù)據(jù)和降維后的結(jié)果。

完整的代碼如下：

importnumpyasnp
fromsklearn.decompositionimportPCA
importmatplotlib.pyplotasplt

np.random.seed(1)
X=np.dot(np.random.rand(2,2),np.random.randn(2,200)).T

pca=PCA(n_components=1)
X_new=pca.fit_transform(X)

plt.scatter(X[:,0],X[:,1],alpha=0.5)
plt.scatter(X_new[:,0],np.zeros(X_new.shape),alpha=0.5)
plt.show()

運(yùn)行結(jié)果會(huì)得到一個(gè)散點(diǎn)圖，其中藍(lán)色的點(diǎn)表示原始數(shù)據(jù)，橙色的點(diǎn)表示經(jīng)過PCA降維后的數(shù)據(jù)。可以看出，經(jīng)過降維后，數(shù)據(jù)呈一個(gè)直線狀分布。

注意：上面的示例中的數(shù)據(jù)是人為生成的，實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)據(jù)通常是更加復(fù)雜的，需要進(jìn)行更多的數(shù)據(jù)預(yù)處理和參數(shù)調(diào)整才能得到較好的降維效果。
責(zé)任編輯：彭菁