這是翻譯自1988年《美國數(shù)學月刊》所刊登的關(guān)于《高斯，蘭登，拉馬努金，算術(shù)幾何平均數(shù)，橢圓，和女士日志》的相關(guān)科普文章，文中刪減了關(guān)于拉馬努金，橢圓和的部分，所以標題也簡化了。限于譯者水平，文中有不少翻譯不恰當?shù)牡胤剑Ｍx者提出寶貴意見，批評指正。如果想要了解相關(guān)可以參考附錄。

本文主要為了使大家了解橢圓積分的數(shù)值計算，重點是蘭登變換(Landen's Transformation)的內(nèi)容。

Virtue and sense, with female-softness join'd (All that subdues and captivates mankind!) In Britain's matchless fair resplendent shine; They rule Love's empire by a right divine: Justly their charms the astonished WorId admires, Whom Royal Charlotte's bright example fires.

美德和理智，與女性的溫柔結(jié)合在一起（征服和吸引人類的一切！）在英國無與倫比的光輝中；她們以一位正義的神來統(tǒng)治愛的帝國：正是她們的魅力讓世界驚嘆不已，皇家夏洛特的光輝榜樣激發(fā)了她們。

1. 前言

算術(shù)幾何平均數(shù)(AGM, Arithmetic-Geometric Mean)是由拉格朗日(Lagrange)首先發(fā)現(xiàn)的，幾年后高斯(Gauss)在他十幾歲的時候重新發(fā)現(xiàn)了它。然而，高斯的主要貢獻，包括優(yōu)雅的積分表示，是在大約7至9年后所做出的。那么，本文的第一個目的是解釋算術(shù)幾何平均數(shù)并描述它的一些主要性質(zhì)，其中主要是高斯的貢獻。

算術(shù)幾何平均數(shù)由于它的快速收斂性，其在過去十年中被大量用于快速機器計算。因此，本文的第二個目的是描述它在計算中的作用。我們還強調(diào)算術(shù)幾何平均數(shù)具有更廣泛的應用，例如，用于計算基本函數(shù)如、、和。有興趣的讀者應該進一步參考這里引用的幾個參考文獻，尤其是Brent的論文[14]和Borweins的書[13]。

算術(shù)幾何平均數(shù)的確定與橢圓周長的計算密切相關(guān)。自開普勒(Kepler)和歐拉(Euler)時代以來，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了幾個近似公式來計算周長。得出這種近似關(guān)系的主要動機顯然是希望準確計算行星的橢圓軌道。因此，本文的第三個目的是描述算術(shù)幾何平均數(shù)與橢圓周長之間的聯(lián)系，并考察了文獻中許多近似公式，其中最準確的要歸功于拉馬努金(Ramanujan)，他還發(fā)現(xiàn)了一些非常不尋常和奇特的橢圓周長近似公式，后者的結(jié)果可以在他的筆記本中找到，并且從未發(fā)表過，因此我們將特別介紹了這些近似公式。

英國數(shù)學家約翰·蘭登(John Landen)也對這一思想做出了貢獻。在算術(shù)幾何平均數(shù)和橢圓周長確定的研究中，出現(xiàn)了他最重要的數(shù)學貢獻，現(xiàn)在稱為蘭登變換(Landen's transformation)。文獻中存在許多關(guān)于蘭登變換的非常重要且看似無關(guān)的變體。因此，本文的第四個目的是描述蘭登變換的幾個公式，并提供這位鮮為人知的數(shù)學家一個簡短的傳記。

幾年來，蘭登幾乎只在《女士日志》(The Ladies Diary)上發(fā)表文章。這是歷史上第一個定期出版的期刊，其中包含專門討論數(shù)學問題及其解決方案的部分。由于《月刊》(The MONTHLY, 譯注：本文的刊登刊物)的一個重要特點源于《女士日志》，因此在本文中對《女士日志》進行簡要描述似乎具有雙重意義。

2. 高斯和算術(shù)幾何平均數(shù)

正如我們之前提到的，算術(shù)幾何平均數(shù)首先在1784-85年出版的拉格朗日[30]的回憶錄中提出。然而，在1816年4月16日給朋友舒馬赫（H. C. Schumacher，譯注: 丹麥天文學家）的一封信中，高斯透露說，他在1791年14歲時獨立發(fā)現(xiàn)了算術(shù)幾何平均數(shù)，大約在22或23歲時，高斯寫了一篇長篇論文[23]描述了他在算術(shù)幾何平均數(shù)方面的許多發(fā)現(xiàn)。然而，與高斯的許多其他作品一樣，這部作品直到他去世后才出版。因此，高斯的基礎(chǔ)論文直到1866年才出現(xiàn)，當時高斯全集的編輯謝林(Ernst Christian Julius Schering)將該論文作為高斯遺稿的一部分發(fā)表。高斯顯然非常重視他對算術(shù)幾何平均數(shù)的發(fā)現(xiàn)，因為他日記中的一些條目都與算術(shù)幾何平均數(shù)有關(guān)，特別是從1799年到1800年的，其中一些條目非常模糊，我們可能仍然不知道高斯發(fā)現(xiàn)的關(guān)于算術(shù)幾何平均數(shù)的所有內(nèi)容。（有關(guān)高斯日記和評論的英文翻譯，請參閱J. J. Gray的論文[24]）

到目前為止，讀者可能已經(jīng)迫不及待地想了解算術(shù)幾何平均數(shù)以及年輕的高斯發(fā)現(xiàn)了什么。

和表示的正數(shù)，構(gòu)造算術(shù)平均數(shù)序列和幾何平均數(shù)序列如下：

高斯在[23]給出了四個數(shù)值例子，我們復制了其中一個，令和，然后有：

（顯然，高斯并沒有吝嗇他的數(shù)值計算）從這個例子中可以看出，和收斂到相同的極限，而且這種收斂非常迅速，我們現(xiàn)在對此進行證明，注意到如此等等。因此，是遞增且有界的，是遞減且有界的。每個序列因此而收斂，由初等代數(shù)計算得到按上述公式迭代這個過程，我們推出當趨向于時它趨向于，因此，和收斂到相同的極限，我們用表示這個收斂的極限值，根據(jù)定義是和的算術(shù)幾何平均數(shù)。

為了更加定量的衡量收斂速度，首先定義

其中和，注意到因此，趨向于二次方，或者收斂是二階的。更一般地，假設(shè)收斂到并假設(shè)存在常數(shù)和使得那么我們說收斂是階的。

高斯的論文[23]中最重要的定理可能是的以下表示，我們?yōu)榇颂峁┝烁咚沟那擅钭C明過程

定理：

讓，并定義然后積分稱為第一類完全橢圓積分(the complete elliptic integral of the first kind)。注意在的定義中，可以被代替。

在證明定理之前，我們對其進行重新表述，定義很容易看出其中因為

對于任何常數(shù)，它滿足上面的，可以立即由定理得到以下表述

定理：

令，有證:

顯然，是的偶函數(shù)，高斯然后假設(shè)現(xiàn)在進行替換，由(4)式可知代入(5)，我們發(fā)現(xiàn)顯然，，對二項式級數(shù)中展開，并令兩邊的同冪系數(shù)相等，我們最終發(fā)現(xiàn)這里我們介紹如下記號推導(6)的完整細節(jié)可以在高斯的論文[23, pp.367-369]中可以找到。

我們現(xiàn)在必須用來確定(6)中的級數(shù)，在二項式級數(shù)中展開的被積函數(shù)并逐項積分，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)合(6)和(8)，我們完成了高斯定理的證明。

Newman在[39]中給出了定理的另一個簡短而優(yōu)雅的證明，并由J. M.和P. B. Borwein在參考中[10]作了概述。

關(guān)于高斯對算術(shù)幾何平均值的許多貢獻，請參見Cox的論文[18]。我們將在第5節(jié)繼續(xù)討論高斯的一些發(fā)現(xiàn)。

3. 蘭登和女士日志

我們接下來簡述定理(或定理)的另一個證明，這主要歸功于18世紀的英國數(shù)學家約翰·蘭登(John Landen)。

證明2：

雖然基本思想源于蘭登，但我們將要描述的迭代過程顯然是由若干年后的勒讓德(Legendre)[33, pp. 79-83]提出的，為簡潔起見，設(shè)其中由(1)定義，在第一類完全橢圓積分(2)中，代入這稱為蘭登變換，經(jīng)過大量的計算，我們發(fā)現(xiàn)在次迭代后，得到由于通過(1)和(9)，，我們看到(11)簡化為現(xiàn)在我們讓趨向于，由于趨向于而趨向于，我們得出結(jié)論蘭登變換(10)是由他在1771年發(fā)表的一篇論文[31]中提出的，并在他1775年發(fā)表的最著名的論文[32]中以更完善的形式呈現(xiàn)。蘭登變換存在多個版本，蘭登變換通常表示為橢圓函數(shù)理論中兩個微分之間的相等關(guān)系[17]，[37]。米塔格-萊弗勒(Mittag-Leffler)指出了蘭登變換的重要性，他在對橢圓函數(shù)理論的非常敏銳的調(diào)查[37, p. 291]中評論說，“歐拉加法定理和蘭登與拉格朗日變換定理是橢圓函數(shù)理論在1786年被勒讓德重新考慮時所擁有的兩個基本思想。”

在第4節(jié)中，我們將證明以下定理，通常稱為第一類完全橢圓積分的蘭登變換。

定理.

如果，那么事實上，定理是以下當時更一般公式的特例。如果，那么這被稱為第一類不完全橢圓積分的蘭登變換。

為了描述蘭登變換的另一種形式，我們引入高斯超幾何級數(shù)(Gauss's hypergeometric series)其中、和表示任意復數(shù)，由(7)定義，然后蘭登對超幾何級數(shù)的變換是定理和意味著如下的特殊情況因此，看似不起眼的“變量變化”(10)具有許多重要的難以意料的結(jié)果。事實上，蘭登本人顯然從未意識到他想法的重要性。

無疑大多數(shù)讀者都不知道蘭登，因此在這里給出一個簡短的傳記似乎是合適的。他出生于1719年，根據(jù)大英百科全書[20]，“他過著非常隱逸的生活，對社會幾乎一無所知；當他真的融入其中時，他的教條主義和好斗性使他不被接納”。1762年，他被任命為Earl Fitzwilliam的土地代理人，直到1790年他去世的前兩年。

作為一名數(shù)學家，蘭登主要是一名分析師和幾何學家。他的大部分重要作品都是在他職業(yè)生涯的后期發(fā)表的。其中包括上述論文和數(shù)學回憶錄，分別于1780年和1789年出版。多年來，蘭登為《女士日志》貢獻了許多問題和解決方案。從1743年到1749年，他一共提出了11個問題，并發(fā)表了13個問題的解決方案。然而，Leybourn在[34]中透露，《女士日志》的撰稿人經(jīng)常使用別名，特別是，蘭登使用了化名Sir Stately Stiff、Peter Walton、Waltoniensis、C. Bumpkin 和Peter Puzzlem，他們共同提出了10個問題并回答了17個問題。Leybourn在[34]中將 1704-1816年《女士日志》中的問題和解決方案匯編成四卷。特別有價值的是他的學科分類和貢獻者指數(shù)。(1704-1760年的問題和解決方案之前已被其他人收集在1774年的一卷中[50]。)

1704年首次出版的一年一度的《女士日志》顯然在英國很受歡迎，年發(fā)行量達數(shù)千份。女士日志“主要是為的娛樂和指導男女平等而設(shè)計的”。它包含“藝術(shù)和科學新的進步，以及許多有趣的細節(jié)……用于公平的性別對待。”封面上有一首獻給在位女王的詩，通常每年幾乎沒有變化。我們的論文從1776年的一首詩開始，它深深地向喬治三世國王的摯愛致敬。除其他外，《女士日志》包含“重大事件年表”、王室出生日期、謎團以及對前一年謎團的答案，謎題和答案通常被設(shè)置為詩句。

《女士日志》的大部分內(nèi)容專門用于解決上一期提出的數(shù)學問題。盡管該期刊的名稱如此，但女性的貢獻者寥寥無幾。Leybourn的簡編[34]總共列出了913名貢獻者，其中32名是女性。因為提議者和求解者確實偶爾會使用Plus Minus、Mathematicus、Amicus、Archimedes、Diophantoides等筆名以及上述蘭登的別名，所以女性貢獻者的數(shù)量可能略高一些。...幾何問題很流行，但是嚴謹性很差，如下是1783年的一個例子，令證明。1784年，約瑟夫法蘭西(Joseph French)提供了以下“優(yōu)雅”的解決方案，我們看到因此，。

那些希望了解更多關(guān)于蘭登作品的讀者可以參考Watson的文章“侯爵和土地代理人”[52]（The Marquis and the Land-agent）。想要了解更多《女士日志》數(shù)學內(nèi)容的讀者，一定要查閱Leybourn的簡編[34]。(美國只有少數(shù)圖書館擁有《女士日志》的副本。伊利諾伊大學圖書館擁有相當詳盡的館藏，盡管在1774年之前存在一些空白。T. Perl在[43]中已詳細描述了《女士日志》重點是女性的貢獻，并分析了日志中女性數(shù)學教育的積極和消極社會學因素。有關(guān)《女士日志》和其他晦澀難懂的英語數(shù)學期刊的更多歷史信息，請參閱Archibald的論文[2])

4. 伊沃里和蘭登變換

1796年，伊沃里(J. Ivory, 1765-1842)[25]發(fā)表了橢圓周長的新公式。一個非常相似的證明建立了定理2，這是上一節(jié)中討論的蘭登變換的另一個版本。

在證明定理之前，我們注意到它也暗示了定理的一個新版本。

定理.

如果，那么定理也來自定理；讓并利用(4)。

定理的證明:

使用的定義(2)，采用二項式級數(shù)，并交換下面的求和和積分的順序，由(8)，我們發(fā)現(xiàn)證畢。

伊沃里的論文[25]建立了定理2的類似公式，具有一個不同尋常的特點，即它以伊沃里在提交論文時發(fā)送給編輯John Playfair的“求職信”開頭！在這封信中，伊沃里告訴Playfair是什么導致了他的發(fā)現(xiàn)。顯然，編輯認為將伊沃里的信作為論文的序言發(fā)表是公平的，這封信內(nèi)容如下：

如您所知，我花了很多時間和精力研究與行星相互干擾有關(guān)的物理天文學部分，自然而然地，我被引導考慮解決公式的各種方法, 轉(zhuǎn)化為形式的無限級數(shù)。在這些研究過程中，我想到了一系列對…進行校正的方法，其簡單性和快速收斂性令人贊嘆。由于我認為它是新的，所以我將它發(fā)送給您，并附上一些關(guān)于剛才提到的公式演變的備注，如果您認為合適，您可以提交給皇家學會考慮。

詹姆斯·伊沃里

審核編輯 ：李倩