動(dòng)力學(xué)主要研究作用于物體的力與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。

車輛動(dòng)力學(xué)模型一般用于分析車輛的平順性和車輛操縱的穩(wěn)定性。

對(duì)于車來說，研究車輛動(dòng)力學(xué)，主要是研究車輛輪胎及其相關(guān)部件的受力情況。

比如縱向速度控制，通過控制輪胎轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)；

橫向航向控制，通過控制輪胎轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)。

正常情況下，車輛上的作用力沿著三個(gè)不同的軸分布：

縱軸上的力包括驅(qū)動(dòng)力和制動(dòng)力，以及滾動(dòng)阻力和拖拽阻力作滾擺運(yùn)動(dòng)；

橫軸上的力包括轉(zhuǎn)向力、離心力和側(cè)風(fēng)力，汽車?yán)@橫軸作俯仰運(yùn)動(dòng)；

立軸上的力包括車輛上下振蕩施加的力，汽車?yán)@立軸作偏擺或轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)。

無論是LQR或是MPC控制，都需要有車輛的模型作為基礎(chǔ)。

本文由社區(qū)開發(fā)者——卜大鵬撰寫，整理出Apollo控制算法中使用的車輛動(dòng)力學(xué)模型的推導(dǎo)過程。

車輛動(dòng)力學(xué)模型

以下，ENJOY

首先，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合車輛前后輪受力，有：

根據(jù)力矩平衡結(jié)合車輛前后輪受力和受力點(diǎn)到車輛重心距離，有：

上述兩式中，汽車質(zhì)量m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz、前軸到重心距離lf和后軸到重心距離lr都是可測(cè)量的。

為了求解兩等式，需要分別求得車輛橫向加速度ay和前輪橫向受力Fyf和后輪橫向受力Fyr。

橫向加速度可以分解為由橫向位移產(chǎn)生的加速度和向心加速度。

y為橫向位移，psi為航向角，Vx為縱向速度。這樣橫向加速度就分解為位移和航向角的表達(dá)式。

前輪橫向受力可以近似為公式4，其中Caf為前輪側(cè)偏剛度，delta為前輪轉(zhuǎn)角，theta_vf為前輪側(cè)偏角。

后輪橫向受力可以近似為公式5，其中Car為后輪側(cè)偏剛度，theta_vr為后輪側(cè)偏角。

公式4和公式5可以理解為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)定后得到近似公式。

在簡(jiǎn)化環(huán)境因素下，側(cè)偏剛度可以由簡(jiǎn)化的輪胎模型求出，前輪轉(zhuǎn)角為可獲取量，只需想辦法表示出前后輪的側(cè)偏角。

至此，上文提到的各變量在車體上的示意圖如下：

根據(jù)上圖可知，tan(theta)等于車輛橫向速度比縱向速度，而橫向速度由車輛自身橫向速度和繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)速度組成。

在小角度轉(zhuǎn)向假設(shè)下，有：

至此，把變化后的各變量表達(dá)式代入公式1和公式2，有：

設(shè)e1為橫向偏差，e2為航向角偏差，可以得到如下關(guān)系。

在勻速假設(shè)下，上式可進(jìn)一步推導(dǎo)出：

帶入公式10和公式11可以得到兩個(gè)偏差的表達(dá)式：

轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的表達(dá)式：

這樣就得到了在

小角度側(cè)偏角

勻速

不考慮環(huán)境因素

假設(shè)下，車輛的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式。

令：

得到狀態(tài)方程：

式中，前輪側(cè)偏剛度Caf、后輪側(cè)偏剛度Car、車身質(zhì)量m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz、前輪到重心距離lf、后輪到重心距離lr都是常量；

每個(gè)時(shí)刻的橫向偏差e1、航向偏差e2、縱向速度Vx、前輪轉(zhuǎn)角delta都是可測(cè)量量;

目標(biāo)航向psi是可獲取量。

這樣每個(gè)運(yùn)算周期通過傳感器測(cè)得的數(shù)值更新測(cè)量量就可以用這個(gè)模型通過相應(yīng)算法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤了。

但因?yàn)樾枰褂糜?jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，推導(dǎo)截至到上面的連續(xù)模型還不夠，還需要對(duì)上述模型進(jìn)行離散化。

對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)有：

令采樣周期為T，t0=kT，t=(k+1)T，即考慮k到k+1時(shí)刻的狀態(tài)響應(yīng)，有：

考慮在采樣周期內(nèi)u不變，C為常數(shù)，有

對(duì)上式積分中做變量替換，令t=(k+1)T-tau,有

將上式與定常離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程

比較可知，要使兩式對(duì)任意x(kT)和u(kT)成立，有

公式23到公式29即為連續(xù)狀態(tài)空間到離散狀態(tài)空間的精確離散化推導(dǎo)過程。為了便于后續(xù)計(jì)算，還需要對(duì)精確離散化進(jìn)一步進(jìn)行近似離散化，因?yàn)橛?/p>

對(duì)上式分子分母同時(shí)做泰勒展開，取前兩項(xiàng)，有

同樣，對(duì)式23進(jìn)行泰勒展開，取前一項(xiàng)，有

剩下的常數(shù)項(xiàng)，顯然有

至此，得到了連續(xù)模型轉(zhuǎn)換為后續(xù)算法可用的近似離散化模型