一、濾波的概念

濾波是指通過某種方法將信號(hào)中的某些頻率成分增強(qiáng)或抑制，達(dá)到去除噪聲、改善信號(hào)質(zhì)量、分離信號(hào)等目的的過程。濾波器是實(shí)現(xiàn)濾波功能的關(guān)鍵組件，它可以改變信號(hào)的頻譜特性，對不同頻率區(qū)域的信號(hào)進(jìn)行處理。

二、常見的濾波算法

1.小波變換濾波

原理：小波變換通過將信號(hào)分解成不同尺度的子信號(hào)，可以提取出信號(hào)中的局部特征。在濾波中，小波變換可以用來去除信號(hào)中的噪聲或者對信號(hào)進(jìn)行平滑處理。

下面是該算法的波形圖：

使用場景：

（1）圖像去噪：小波變換可以有效地去除圖像中的噪聲，尤其是在多尺度分解中，可以針對不同頻率的噪聲進(jìn)行過濾。

（2）特征提取：小波變換能夠揭示圖像或信號(hào)中的局部特征，因此在特征提取方面非常有用，比如在圖像識(shí)別和分類中。

（3）邊緣檢測：小波變換在邊緣檢測方面表現(xiàn)出色，因?yàn)樗軌虿蹲降綀D像中的尖銳變化。

（4）信號(hào)去噪：在信號(hào)處理中，小波變換可以用于去除信號(hào)中的噪聲，尤其是在非平穩(wěn)信號(hào)中。

2.移動(dòng)平均濾波

原理：首先確定一個(gè)包含一定數(shù)量樣本點(diǎn)的窗口，這個(gè)窗口在信號(hào)上滑動(dòng)。在每一個(gè)位置，計(jì)算窗口內(nèi)所有樣本點(diǎn)的平均值。將計(jì)算得到的平均值作為濾波后的輸出。將窗口沿信號(hào)滑動(dòng)一定步長，重復(fù)上述步驟。

我們有一個(gè)離散時(shí)間信號(hào) x[n]，并且我們使用長度為 M 的窗口進(jìn)行移動(dòng)平均濾波，那么濾波后的信號(hào) y[n] 可以通過以下公式計(jì)算：則計(jì)算公式為：

y[n]=1/M∑k=n?M+1nx[k]

例如：一個(gè)包含噪聲的信號(hào)序列x=[1,4,3,6,6,5,10,9,7,12].

我們可以使用移動(dòng)平均濾波來平滑信號(hào)并減小噪聲的影響。假設(shè)我們選擇一個(gè)窗口大小為3，即每次計(jì)算三個(gè)樣本的平均值。

第一個(gè)輸出樣本為：y[0]=(1/3)?(1+4+3)=2.666

第二個(gè)輸出樣本為：y[1]=(1/3)?(4+3+6)=4.33

以此類推，我們可以繼續(xù)計(jì)算后續(xù)輸出樣本。

下面是使用這個(gè)算法生成的一個(gè)波形圖

使用場景：

（1）在金融領(lǐng)域等需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢分析的場景中，移動(dòng)平均濾波可以平滑價(jià)格波動(dòng)，幫助分析數(shù)據(jù)的長期趨勢，預(yù)測未來走勢。

（2）在實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理或傳感器數(shù)據(jù)處理中，移動(dòng)平均濾波可以利用先前時(shí)刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，對新的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，有助于消除數(shù)據(jù)中的噪聲或異常值。

（3）移動(dòng)平均濾波對周期性噪聲和高頻噪聲的濾波效果比較好，可以很好地降低信號(hào)或數(shù)據(jù)中的高頻成分，同時(shí)保留信號(hào)的基本特征。

3.中值濾波

原理：中值濾波會(huì)選取數(shù)字圖像或數(shù)字序列中像素點(diǎn)及其周圍臨近像素點(diǎn)（一共有奇數(shù)個(gè)像素點(diǎn)）的像素值，將這些像素值排序，然后將位于中間位置的像素值作為當(dāng)前像素點(diǎn)的像素值，讓周圍的像素值接近真實(shí)值，從而消除孤立的噪聲點(diǎn)。例如，針對下圖中第4行第3列的像素點(diǎn)，計(jì)算它的中值濾波值。

將其鄰域設(shè)置為3×3大小，對其3×3鄰域內(nèi)像素點(diǎn)的像素值進(jìn)行排序（升序降序均可），按升序排序后得到序列值為：[16，35，46，52，52，62，64，83，85]，在該序列中，處于中心位置（也叫中心點(diǎn)或中值點(diǎn)）的值是“52”，因此用該值替換原來的像素值 64，作為當(dāng)前點(diǎn)的新像素值，新的像素圖如下所示。

下面是使用這個(gè)算法對隨機(jī)噪聲濾波后生成的一個(gè)波形圖：

使用場景：

（1）孤立噪聲點(diǎn)平滑：中值濾波能有效去除圖像或信號(hào)中的孤立噪聲點(diǎn)，而不會(huì)對整體圖像或信號(hào)的平滑區(qū)域造成影響。

（2）椒鹽噪聲去除：中值濾波對椒鹽噪聲（salt-and-pepper noise）具有很好的濾除效果，這種噪聲表現(xiàn)為圖像中隨機(jī)分布的白色和黑色像素點(diǎn)。

（3）實(shí)時(shí)視頻處理：由于中值濾波算法的計(jì)算復(fù)雜度相對較低，它可以用于實(shí)時(shí)視頻流的噪聲去除。

4.算術(shù)平均濾波

原理：算術(shù)平均濾波是圖像處理中的一個(gè)常用技術(shù)，主要用于降低圖像中的隨機(jī)噪聲。算術(shù)平均濾波器的基本思想是用像素點(diǎn)鄰域內(nèi)的平均灰度值來代替該像素點(diǎn)的灰度值。

算術(shù)平均濾波的計(jì)算公式如下：

f'(x, y) = 1/(mn) * ΣΣf(x+k, y+l)

其中，f'(x, y)是濾波后像素點(diǎn)(x, y)的灰度值，f(x+k, y+l)是原像素點(diǎn)(x, y)領(lǐng)域內(nèi)的灰度值，ΣΣ表示對領(lǐng)域內(nèi)所有像素點(diǎn)求和，m和n是濾波窗口的大小。

下面是使用這個(gè)算法對隨機(jī)噪聲濾波后生成的一個(gè)波形圖：

算術(shù)平均濾波適用于一些簡單的圖像或信號(hào)處理場景，例如去除較為均勻且較弱的噪聲。

5.卡爾曼濾波

原理：

（1）預(yù)測步驟（預(yù)測狀態(tài)）：通過系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，根據(jù)已知的系統(tǒng)狀態(tài)和控制量，預(yù)測系統(tǒng)的下一個(gè)狀態(tài)以及狀態(tài)的協(xié)方差。這一步驟得到的是對系統(tǒng)未來狀態(tài)的預(yù)測。

（2）測量更新步驟（更新狀態(tài)）：利用傳感器測量數(shù)據(jù)，根據(jù)預(yù)測的狀態(tài)和測量數(shù)據(jù)的協(xié)方差，通過卡爾曼增益計(jì)算得到關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的修正估計(jì)。卡爾曼增益會(huì)根據(jù)預(yù)測和測量的不確定性來調(diào)整估計(jì)值，以平衡兩者之間的權(quán)重。

下面是使用這個(gè)算法對隨機(jī)噪聲濾波后生成的一個(gè)波形圖：

使用場景：卡爾曼濾波廣泛應(yīng)用于估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，例如航天器導(dǎo)航、飛行器控制、傳感器數(shù)據(jù)融合等領(lǐng)域。它具有高效、準(zhǔn)確、穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，能夠處理系統(tǒng)模型不確定性、傳感器誤差等問題，提高狀態(tài)估計(jì)的精度和魯棒性。

6.均值濾波

原理：連續(xù)采樣N個(gè)數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值然后計(jì)算N-2個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值N值的選取

下面是使用這個(gè)算法對隨機(jī)噪聲濾波后生成的一個(gè)波形圖：

使用場景：
（1）工業(yè)自動(dòng)化：在工業(yè)自動(dòng)化和控制系統(tǒng)中，均值濾波用于從傳感器數(shù)據(jù)中去除噪聲，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。

（2）信號(hào)平滑：當(dāng)信號(hào)受到高頻干擾或隨機(jī)噪聲時(shí)，中值平均濾波法可以將突然的干擾降低，使信號(hào)變得更加平滑。

（3）環(huán)境監(jiān)測：在環(huán)境監(jiān)測中，均值濾波可以用于處理大氣、水質(zhì)等監(jiān)測數(shù)據(jù)，去除測量誤差和隨機(jī)波動(dòng)。

（4）數(shù)字圖像處理：在數(shù)字圖像處理中，中值平均濾波法常用于去除圖像中的噪聲，例如在數(shù)字?jǐn)z影中去除低光照條件下的圖像噪聲。

7.快速傅里葉變換（FFT）濾波

原理：FFT濾波將時(shí)域信號(hào)通過FFT算法轉(zhuǎn)換到頻域，得到信號(hào)在頻域上的頻譜信息。在頻域上對信號(hào)進(jìn)行濾波處理，可以采用各種濾波器，如低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器等，以抑制或增強(qiáng)特定頻率成分。對經(jīng)過濾波處理的頻域信號(hào)進(jìn)行逆FFT，將信號(hào)恢復(fù)回時(shí)域。

我使用python生成了一個(gè)頻率為50 Hz的正弦波信號(hào)，并添加了高斯噪聲。然后，使用numpy.fft.fft函數(shù)計(jì)算信號(hào)的FFT，并使用numpy.fft.fftfreq生成對應(yīng)的頻率向量。接下來，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的低通濾波器，只允許截止頻率以下的頻率成分通過。應(yīng)用濾波器后，使用numpy.fft.ifft計(jì)算逆FFT，得到濾波后的信號(hào)。

下面是濾波的效果圖：

使用場景：

（1）頻域?yàn)V波：FFT允許將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域，然后可以輕松地應(yīng)用各種濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻濾波器。

（2）信號(hào)分析：FFT常用于分析信號(hào)的頻率成分，識(shí)別信號(hào)中的周期性成分或檢測特定頻率的信號(hào)。

（3）圖像處理：在圖像處理中，F(xiàn)FT可以用于頻域?yàn)V波，如銳化、模糊、邊緣檢測等。