一、簡介

1、常見的浮點數(shù)表示方式是IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，它規(guī)定了浮點數(shù)的存儲格式和運算規(guī)則，這個標(biāo)準(zhǔn)定義了兩種浮點數(shù)表示：單精度和雙精度。

2、任何一個浮點數(shù)的二進制數(shù)可以寫為：NUM = (-1) ^ S* 2 ^ E * M 。以float32類型舉例：

2.1、S表示符號：S為0時表示一個正數(shù)；當(dāng)S為1時表示一個負數(shù)

2.2、E表示階乘、指數(shù)：E是一個無符號整數(shù)，所以E的取值范圍為（0~ 255）。但是在計數(shù)中指數(shù)是可以為負的，所以規(guī)定在存入E時，在它原本的值上加上中間數(shù)（127），在使用時減去中間數(shù)（127），這樣E的真正取值范圍就成了（-127~128）。對于E還分為以下三種情況：

（1）E不全為0，不全為1：這時就用正常的計算規(guī)則，E的真實值就是E的字面值減去127（中間值)，M的值要加上最前面的省去的1

（2）E全為0：這時指數(shù)E等于1-127為真實值，M不再加上舍去的1，而是還原為0.xxxxxxxx小數(shù)。這樣為了表示0，和一些很小的整數(shù)。

（3）E全為1時分三種浮點數(shù)特殊情況：M全為0時，±無窮大（取決于符號位）；M為非全0時，表示NaN。

2.3、M表示有效數(shù)字、尾數(shù)：規(guī)定M的值一定是1 <= M < 2，可以寫成1.xxxxxxx的形式，所以規(guī)定M在存儲時舍去第一個1，只存儲小數(shù)點之后的數(shù)字。這樣做節(jié)省了空間，以float類型為例，就可以保存23位小數(shù)信息，加上舍去的1就可以用23位來表示24個有效的信息

3、單精度（32位）：符號位（1 bit）、指數(shù)位（8 bits）、尾數(shù)位（23 bits）

4、雙精度（64位）：符號位（1 bit）、指數(shù)位（11 bits）、尾數(shù)位（52 bits）

5、存儲格式：以float32的浮點數(shù)舉例如下圖

二、十轉(zhuǎn)二進制

1、以float32浮點數(shù)和23.375浮點數(shù)舉例

2、整數(shù)轉(zhuǎn)換方式：對2取余

3、小數(shù)轉(zhuǎn)換方式：對小數(shù)進行2乘留整再對小數(shù)2乘直至為小數(shù)部分為0

4、合并整數(shù)和小數(shù)部分：10111 和小數(shù)部分 0.011 得到二進制浮點數(shù) 10111.011

5、規(guī)范化和指數(shù)表示6、最終，將符號位、指數(shù)和尾數(shù)合并，得到IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的二進制浮點數(shù)表示為：

三、二轉(zhuǎn)十進制

1、以上面的23.375浮點數(shù)的轉(zhuǎn)換結(jié)果0 10000011 01110110000000000000000舉例
2、主要是這個公式：NUM = (-1) ^ S * 2 ^ E * M，分三步第一步：(-1) ^ S第二步：2 ^ E第三步：M3、符號位 (-1) ^ S：（-1）^04、指數(shù)位 2 ^ E ：將二進制轉(zhuǎn)十進制為131，然后減去偏移值127，得到5、那么這里就是 2 ^ 46、M：分兩步

1. 先轉(zhuǎn)換為二進制浮點數(shù)，根據(jù)E不全為0或1的規(guī)則得到：1.01110110000000000000000
2. 再用2的階乘的方式轉(zhuǎn)換為浮點數(shù)，如下：

四、誤差

1、如下代碼展示

2、原因：在計算機中，由于浮點數(shù)的表示方式是有限的，有些十進制小數(shù)無法精確表示為二進制浮點數(shù)。這導(dǎo)致在進行浮點數(shù)運算時可能出現(xiàn)舍入誤差，進而導(dǎo)致預(yù)期的結(jié)果和實際的二進制浮點數(shù)表示的結(jié)果不完全相等。

3、將0.1轉(zhuǎn)為二進制

4、這個過程會一直持續(xù)下去，因為 0.1 在二進制中是一個無限循環(huán)小數(shù)。

5、將-0.1轉(zhuǎn)為二進制

6、首先，-0.1 可以表示為二進制的補碼形式。如果我們考慮一個32位的單精度浮點數(shù)，其符號位為1，指數(shù)位為127（偏移值），尾數(shù)部分為 0.00011001100110011001100...（重復(fù)的 1100 模式）。

7、進行加法操作

8、這個結(jié)果實際上是一個無限循環(huán)的二進制小數(shù)。由于計算機內(nèi)存是有限的，最終只能存儲一個有限位數(shù)的二進制小數(shù)，因此可能會進行截斷或舍入操作，導(dǎo)致精度損失。

9、在實際計算機系統(tǒng)中，這種舍入誤差可能會導(dǎo)致結(jié)果不等于精確的零，因為我們不能精確地表示無限循環(huán)小數(shù)。這就是為什么在計算機編程中進行浮點數(shù)比較時，通常使用一個小的誤差范圍而不是直接比較相等。

10、改進方式