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前言

對(duì)控制系統(tǒng)極點(diǎn)的分析唯一的目的，就是看看控制系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)特性。先看穩(wěn)不穩(wěn)定，再看響應(yīng)快不快。

學(xué)習(xí)了這么多年，自我感覺，對(duì)于搞工程實(shí)踐而言，分析零極點(diǎn)能夠達(dá)到定性分析系統(tǒng)響應(yīng)的目的，但是定量就不可能了，畢竟采樣環(huán)節(jié)的建模無論如何都不是很精確的。

而如果是搞理論的話，還是可以定量分析的，比如拿幾個(gè)控制系統(tǒng)，把它們的極點(diǎn)畫出來，就能直觀的看出不同系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)了。

本文理論不深，就簡(jiǎn)要說說分析極點(diǎn)的方法吧。

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二階系統(tǒng)

由于大部分控制系統(tǒng)都是閉環(huán)的，因此本文所說的都是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。接下來就把工程中常遇到的二階系統(tǒng)進(jìn)行講解。

2.1 二階系統(tǒng)什么樣

就是這樣：

開環(huán)傳遞函數(shù)是：

閉環(huán)傳遞函數(shù)是：

其中，ξ為阻尼比，ωn為自然頻率。

特征方程，就是求閉環(huán)傳函分母等于零：

極點(diǎn)：

(1) 特征根的性質(zhì)取決于ξ的大小；

(2) 二階系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間取決于ξ和ωn兩個(gè)參數(shù)。

2.2 過阻尼（ξ >1）

此時(shí)系統(tǒng)的極點(diǎn)都是實(shí)數(shù)。

(1) 對(duì)于過阻尼極點(diǎn)，它們的響應(yīng)是按照指數(shù)形式，單調(diào)逐漸穩(wěn)定到輸入的。

(2) 極點(diǎn)距虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響越大，且當(dāng)ξ>>1時(shí)，影響度更大，此時(shí)可以忽略距離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)。

解釋：二階函數(shù)的時(shí)域階躍響應(yīng)如下：

設(shè)-p1<-p2<0，所以第一項(xiàng)衰減比第二項(xiàng)快，同第一項(xiàng)系數(shù)也比第二項(xiàng)小。進(jìn)而可以得到，極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)速度越快。

2.3 欠阻尼（0<ξ <1）

此時(shí)系統(tǒng)的極點(diǎn)都既有實(shí)部，又有虛部。

(1) 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩曲線，且逐漸穩(wěn)定到輸入

(2) 系統(tǒng)的衰減程度與閉環(huán)的實(shí)部有關(guān)，離虛軸越遠(yuǎn)，衰減越快，這里與過阻尼特點(diǎn)一致。

(3) 系統(tǒng)的震蕩程度與虛部有關(guān)，阻尼越小，超調(diào)越大。

解釋：二階函數(shù)的頻域階躍響應(yīng)如下：

二階函數(shù)的時(shí)域階躍響應(yīng)如下：

其中，θ為阻尼角，ωd為阻尼振蕩頻率。

整理：

極點(diǎn)的實(shí)部，出現(xiàn)在時(shí)域的指數(shù)上，為衰減項(xiàng)；

極點(diǎn)的虛部，出現(xiàn)在時(shí)域的正弦函數(shù)中，為震蕩項(xiàng)；

2.4 穩(wěn)定性

上面介紹的都是系統(tǒng)的暫態(tài)特性，下面說說系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

其實(shí)非常簡(jiǎn)單，我們只關(guān)注極點(diǎn)的實(shí)部。

從上面可知，無論是過阻尼還是欠阻尼，系統(tǒng)的指數(shù)項(xiàng)都是-pt。

1.當(dāng)-p<0時(shí)，系統(tǒng)成指數(shù)衰減到穩(wěn)態(tài)。
2.當(dāng)-p>0時(shí)，系統(tǒng)隨著時(shí)間在增加到無窮大，即系統(tǒng)發(fā)散，不穩(wěn)定。

因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件就是極點(diǎn)實(shí)部小于零，即系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)都在復(fù)平面的左半部分。

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舉一反三

上面介紹的性質(zhì)亦可以引入到其它系統(tǒng)中，無論是多階系統(tǒng)，過阻尼與欠阻尼。極點(diǎn)的性質(zhì)都是一樣的。

大家只需要記住：

(1) 閉環(huán)極點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的。

(2) 只要有極點(diǎn)在頻率右半軸，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。

(3) 距離虛軸越遠(yuǎn)，對(duì)系統(tǒng)影響越小，甚至可以忽略。

(4) 極點(diǎn)的實(shí)部對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的衰減項(xiàng)，距離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)越快.

(5) 極點(diǎn)的虛部對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的震蕩項(xiàng)，阻尼越小，超調(diào)越大。

(6) 阻尼大于1，響應(yīng)單調(diào)趨于穩(wěn)定。阻尼小于1，響應(yīng)震蕩趨于穩(wěn)定。

在分析高階系統(tǒng)時(shí)，常常忽略距離虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)，使高級(jí)系統(tǒng)降階，從而簡(jiǎn)化問題。

最后附上不同阻尼下的二階閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)曲線。