1、定點數和浮點數的概念

定點數，小數點位置固定不變，參與運算的數據其小數點固定的位于所有數字中間的某個位置，比如貨幣的表達，規定了使用2位整數位+2位小數表示的模式，具體數據如99.00、10.55、68.66等。定點數的缺點：由于小數點位置固定不變，定點數所表示的數的范圍非常有限，不能同時表達特別大或特別小的數，所以才出現了浮點數，以此來擴充數的范圍，同時浮點數也廣泛應用于精度要求高的場合。簡單的理解浮點數：首先浮點數小數點位置不固定，小數點是浮動的，其次浮點數提供了一種高效的數據表達方法，這種表示方法既可以表達很小的數據比如：3.14159、0.06789，也可以表達很大的數據比如：8.99910^20、510^25。

數據在計算機中的存儲分為整型（char(8bit)、short(16bit)、int(32bit)、long(32bit)、long long(64bit)）和浮點型（float(32bit)、double(64bit)），計算機中不可能存儲“無窮大”的數，也不能存放循環小數。（注：循環小數按照浮點數的規則存儲），例如C程序中計算和輸出1/3：

printf("%f",1/3.0);

得到的結果是：0.333333，只能得到6位小數，而不是理論計算的無窮位的小數。

查看我們在C語言課本上學習過的知識點：

圖1-1、C語言中的浮點數數據類型

2、浮點數的結構

通過圖1-1，我們知道單精度浮點數(float)的取值范圍為：-3.4E38 - -3.4E38，雙精度浮點數(double)的取值范圍是：-1.7E308 - 1.7E308，精度再高一些表示為：-1.79E308 - 1.79E308。C語言中定義相應的浮點數float和double變量以后，在編譯器的幫助下即可參與相應的運算，那么浮點數的內部結構又是如何呢？下文將詳細講解。

float   a = 4.5;
double  b = 3.5e2,c;
c =  a*b;

在IEEE754標準中規定了浮點數的表達方式，浮點數的存儲方式是以2為底數的表達方式。浮點數的表達中將數據表達的二進制序列分為符號位，指數位和小數位三個區域。浮點數的指數表達式如下：

x = （-1） ^s *（1.m）* 2^e;
表達32bit的浮點數時e = E-127；表達64bit的浮點數時e = E-1023，這里的127和1023稱為偏移量。
公式中：
s表示符號位：正數為0，負數為1；
e表示指數位：存儲指數加上偏移量，偏移量是為了表達負數而設計的；
m表示小數部分：存儲小數部分的準確值或者接近的值；
注：類比科學計數法，以10為底數的表示方法中前面的系數都是小于10 的系數比如：8.bb*10^(x)；以2為底數的表示方法，前面的系數都是小于2的系數，比如：1.bb*2^(x)，前面還要符號位(-1)^s。

浮點數的二進制序列表達式中特定寬度的區域劃分如下：

圖2-1、不同精度浮點數特定寬度區域劃分

3、浮點數二進制序列與指數表達式之間的轉化

比如10進制表示的小數0.085（我們常說的小數在計算機存儲系統中就是浮點數），其指數表達式為1.36*2^-4，其小數部分0.36使用了23位來表示。

圖3-1、10進制小數與指數表達式的關系

在Matlab中,將浮點數轉化為16進制序列

>> a=single(0.085)
a =
  single
    0.0850
 >> num2hex(a)
ans =
3dae147b

將十六進制序列 3dae147b(H)轉化為二進制序列

001111011010111000010100011110（32bit:1位符號位+8位指數位+23位小數位）

符號位：0，表示正數；

指數部分：01111011，12^0+12^1+02^2+12^3+12^4+12^5+1*2^6 = 123；

小數部分：010111000010100011110，通過表3-1來拆分每個比特位所表達的數值。

表3-1、小數部分二進制序列拆分

綜上：單精度浮點數0.085，使用指數表示的結果為：

(-1)^01.362^-4=1.36*2^-4，其中指數部分 e=123-127= -4，小數部分的0.36是23位二進制序列所表達的數值之和。

3.1、數據轉化舉例：

問題1： 十進制表達的小數0.1254，（1）、求64bit雙精度浮點數的標準16進制序列，（2）、用指數形式表示。

>>  a=double(0.1254)
a =
    0.1254
 >>  num2hex(a)
ans =
    '3fc00c435bd31c33'

雙精度浮點數16進制序列為：64’h3fc00c435bd31c33

將16進制數展開后，可得二進制數格式為

0011 1111 1100 0000 0000 1100 0100 0011 0101 1011 1101 0011 0001 1100 0011 0011

符號位: bit[63] ------1位-----0---正數

指數部分： bit[62]-[52]------11位--011 1111 1100

指數部分求解十進制結果：

> > 1*2^9+1*2^8+1*2^7+1*2^6+1*2^5+1*2^4+1*2^3+1*2^2
ans =
        1020
1020-1023=-3,浮點數的指數部分數值-減去偏移量，得到實際指數表達式中的指數為-3。

小數部分：bit[51]-[0] - 共52bit：

0000 0000 1100 0100 0011 0101 1011 1101 0011 0001 1100 0011 0011

求53bit二進制序列所表示的小數：

1*2^(-9)+1*2^(-10)+1*2^(-14)+1*2^(-19)+1*2^(-20)+1*2^(-22)+1*2^(-24)+1*2^(-25)+1*2^(-27)+1*2^(-28)+1*2^(-29)+1*2^(-30)+1*2^(-32)+1*2^(-35)+1*2^(-36)+1*2^(-40)+1*2^(-41)+1*2^(-42)+1*2^(-47)+1*2^(-48)+1*2^(-51)+1*2^(-52)
> > 1*2^(-9)+1*2^(-10)+1*2^(-14)+1*2^(-19)+1*2^(-20)+1*2^(-22)+1*2^(-24)+1*2^(-25)+1*2^(-27)+1*2^(-28)+1*2^(-29)+1*2^(-30)+1*2^(-32)+1*2^(-35)+1*2^(-36)+1*2^(-40)+1*2^(-41)+1*2^(-42)+1*2^(-47)+1*2^(-48)+1*2^(-51)+1*2^(-52)
ans =
    0.0030

得到浮點數的指數表達式：1.0030*2^(-3)。

驗證計算結果如下：

>> 1.0030*2^(-3)
ans =
    0.1254

Matlab中浮點數轉為十進制數：

>> a='3fc00c435bd31c33'
a =
'3fc00c435bd31c33'
 >> hex2num(a)
ans =
    0.1254

問題2十進制表達的整數-5，（1）、求32bit單精度浮點數的標準16進制序列，（2）、用指數形式表示。

>> a=single(-5)
a =
  single
    -5
 >> num2hex(a)
ans =
c0a00000

-5的浮點數表示為：

1100 0000 1010 0000000000000000000000

符號位：bit[31] --1位--1--負數

指數位：bit[30]-[23]--8位--10000001

>> 1*2^7+1*2^0
ans =
   129
指數數值-減去偏移量，得到指數為：129-127=2

小數位：bit[22]-[0]-23位：

0100000000000000000000000，

>> 0*2^-1+1*2^-2
ans =
    0.2500

所以-5的指數表達式為：（-1）1.252^2。

驗證計算結果如下：

>> -1*1.25*2^2
ans =
    -5

4、小數轉化為定點數

在FPGA 設計開發的過程中，如果需要使用小數參與相關運算，這個時候就需要將小數轉化為定點數，因為FPGA內部只能處理定點數，不能處理小數，小數轉定點數的過程需要考慮符號位-整數位寬-小數位位寬。

假設將小數2.918量化為16bit的定點數，包含1bit符號位，3bit整數位，12bit小數位。16位數據能夠表示的最大正數為32767（2^15-1），能夠表示的最小負數為-32768。

圖4-1、C語言中部分數據類型對應的取值范圍

3bit整數位能夠表示的最大整數是7（3'b111），12位小數位能夠表示的數據的最小精度為：1/（2^12）=0.00024414，也就是說12位小數位只能表示0.00024414的整數倍，12位小數位能夠表達的最大小數為：

>> (2^12-1)*0.00024414
ans =
    0.9998

可以發現表示小數的位數越多，可以表示的小數范圍越大，表示的也越精準。（小數定點量化過程中使用位寬的大小和數據精度的關系），表示小數部分0.918，需要的十進制數值為：

>> 0.918/0.00024414
ans =
   3.7601e+03

也可以使用Matlab中的函數完成小數部分的量化。

>>  dec2bin(round(0.918*2^12),12)
ans =
111010110000
 >> bin2dec('111010110000')
ans =
        3760

所以小數2.918量化為16bit的定點數結果為：16'b0100111010110000

問題 ：將浮點數-3.125量化為8bit的定點數，包含1bit符號位，4bit整數位，3bit小數位。

方法1 ：針對負數-3.125，首先考慮其絕對值3.125，其符號位和整數部分5bit數據為：5'b00011，小數部分為0.125量化的結果為:

>> dec2bin(round(0.125*2^3),3)
ans =
001

所以，絕對值3.125量化8bit的結果為：8'b00011001

因為是負數，需要求其補碼，求補碼：按位取反再加1，

得到：8'b11100111,

方法2 ：8bit能夠表示的最大的數據是2^8，量化后的二進制數據中包含3位小數位，計算過程中需要修正，使用公式如下：

> > dec2bin(round(2^8-abs(-3.125)*2^3),8)
ans =
11100111

得到量化后的結果為：8'b11100111。

5、ISE中使用float-point 核

將32bit的整數1234567890轉化為雙精度的浮點數。

調用floating-point-IP核并配置參數；

輸入的定點數據選擇自定義模式；設置為32bit整數位 - 0bit小數位，表明輸入數據只要整數位沒有小數位。

設置轉化后的浮點數為double 型；

后面的設置- 保持默認 -- 點擊 Generate。

verilog代碼實現如下：

module signed_2_floating(
input      wire                     sclk,
input      wire                     rst_n,
input     signed  [31:0]            data_in,
input      wire                     valid_in,
output     wire  [63:0]             floating_data,
output     wire                     valid_out


  );
reg  signed [63:0]                  floating_data_temp;
reg                                 valid_out_tmp;
// IP 核信號      
reg               data_in_tvalid;
wire              data_in_tready;
wire              result_dout_tvalid;


reg               result_dout_tready;
wire  [63:0]      result_dout_tdata;  
assign     floating_data      =      floating_data_temp;
assign      valid_out         =      valid_out_tmp ;
// data_in_tready 由IP核拉高---valid_in信號有效時--觸發data_in_tvalid-開始啟動計算 
always@(posedge sclk or negedge rst_n)                 
begin
  if(~rst_n)  begin
     data_in_tvalid    <=   1'b0;
  end
  else if(data_in_tready  &&  valid_in )  begin     
     data_in_tvalid   <=    1'b1;            
  end    
  else
  begin
     data_in_tvalid    <=   1'b0;
  end
end
// result_dout_tvalid - 信號由IP核輸出--當檢測到result_dout_tvalid 有效以后，用戶端的ready信號再拉高
always@(posedge sclk or negedge rst_n)
begin
  if(~rst_n)
  begin
    result_dout_tready   <=  1'b0;
  end
  else if(result_dout_tvalid)           
  begin
    result_dout_tready   <=  1'b1;         
  end
  else
  begin
    result_dout_tready   <=  1'b0;           
  end
end
 // result_dout_tready 信號 和 result_dout_tvalid 信號都有效，開始讀取數據。
always@(posedge sclk or negedge rst_n)
begin
  if(~rst_n)
  begin
    floating_data_temp    <=   64'd0;
    valid_out_tmp         <=   1'b0;    
  end
  else if(result_dout_tready && result_dout_tvalid)      
  begin
    floating_data_temp    <=    result_dout_tdata;
    valid_out_tmp         <=    1'b1;    
  end
  else
  begin
    floating_data_temp    <=    floating_data_temp;
    valid_out_tmp         <=     1'b0;        
  end
end


fixed_2_floating       floating_instance_name (
  .aclk(sclk),                                                // input aclk
  .s_axis_a_tvalid(data_in_tvalid),                           // input s_axis_a_tvalid
  .s_axis_a_tready( data_in_tready ),                         // output s_axis_a_tready
  .s_axis_a_tdata(data_in ),                                  // input [31 : 0] s_axis_a_tdata
  .m_axis_result_tvalid(result_dout_tvalid),                  // output m_axis_result_tvalid
  .m_axis_result_tready(result_dout_tready),                  // input m_axis_result_tready
  .m_axis_result_tdata(result_dout_tdata)                     // output [63 : 0] m_axis_result_tdata
);
endmodule

仿真結果展示：

驗證結果：

>> a=double(1234567890)
a =
   1.2346e+09
 >> num2hex(a)
ans =
41d26580b4800000

在Matlab中,將定點數轉化為浮點數的結果和ISE中調用IP核計算的結果一致。