文章來源：EETOP 原文作者：Steve Arar

在許多應用中，將傳輸線建模為無損結構可以是線路真實世界行為的合理可接受的表示。這種無損模型使我們能夠深入了解傳輸線的不同屬性。然而，如果我們需要考慮信號衰減，我們必須考慮傳輸線的不同損耗機制。

傳輸線模型中的有損分量

這是傳輸線的等效電路（圖 1），在此模型中，R 和 G 分別表示導線每單位長度的電阻和分隔導體的電介質每單位長度的電導。為了能夠評估傳輸線中的導體和介電損耗，第一步是計算出 R 和 G 的值以及它們如何隨不同參數變化。本文的重點是評估導體電阻 R。

圖 1.傳輸線的集總元件等效電路

直流導體電阻

導體單位長度的直流電阻由以下熟悉的公式給出：

其中 ρ 是導體的電阻率，單位為 Ω·m（電阻率是電導率 σ 的倒數）；A是導體的橫截面積，單位為m2。在印刷電路板中，銅的室溫電阻率約為1.724×10-8歐姆·米（或6.787×10-7歐姆·英寸）。有了橫截面積，我們就可以輕松計算出直流電阻。例如，半徑為 r 的圓形橫截面導體的直流電阻為：

傳輸線中有兩個導體：信號導體及其返回路徑。為了考慮兩者的電阻，我們可以將校正因子ka納入方程 1：

ka的值取決于傳輸線的結構。例如，如果返回路徑與信號路徑相同，則ka等于 2。但是，如果 PCB 走線的返回路徑是寬平面，則可以使用校正因子ka=1，因為寬平面的電阻在直流時非常低（高頻時情況并非如此，因為高頻時返回電流主要在信號路徑下方流動）。

高頻電流分布

在直流時，導體橫截面積上的電流分布是均勻的，并且導體的整個橫截面積在承載電流方面同樣有效。然而，隨著頻率的增加，電流傾向于流過導體表面下方的淺層。這種現象稱為趨膚效應，會減少導體的有效橫截面積，從而導致導體的交流電阻增加。大部分電流流過的層的深度由集膚深度 δ 估計，計算公式如下：

其中 μ 是導體的磁導率 (H/m)，σ 是導體的電導率（S/m）。上式的重要結果是導體的有效截面積隨著頻率的平方根而減小。因此，導體的高頻電阻與f成正比。圖 2 概念性地顯示了交流電流如何被限制在圓形和矩形導體的趨膚深度內。

圖 2. 圓形導體 (a) 和矩形導體 (b) 的集膚效應。

更準確地說，集膚深度實際上指定了電流密度相對于導體表面的值減少 1/e 的距離。因此，電流密度在趨膚深度之后不會突然降至零（圖 3）。

圖 3. 圓形橫截面導體中電流分布的概念圖。

然而，為了推導出導體有效截面積的一些簡單方程，我們通常假設整個電流均勻分布在導體表面以下的集膚深度中。在以后的文章中，我們將更詳細地討論這種近似的微妙之處。

趨膚深度有多小？

公式 3 顯示趨膚深度是頻率以及兩種材料特性（即電導率和磁導率）的函數。對于銅，將 σ=58×106和μ0= 4π×10-7H/m 代入公式 3 后，在 1 GHz 時趨膚深度約為 2μm（或 0.08 mils）。表 1 給出了銅在其他一些頻率下的趨膚深度。

表 1.不同頻率下銅的近似趨膚深度

請注意，在低至 15 MHz 的頻率下，電流穿透力等于 0.5oz的銅厚度( 1oz相當于35微米)。當我們達到更高的頻率時，趨膚深度變得越來越小。請記住，如果我們將方程 3 的不同參數代入 MKS 單位制中，趨膚深度 δ 將以米為單位。

由于其相對磁導率較高，鐵磁金屬（如鎳和鐵）的趨膚深度遠小于具有類似電導率的非鐵磁導體。鎳和鐵的相對磁導率分別為100和1000。圖 4 比較了一些示例金屬的趨膚深度與頻率的關系。

圖 4. 各種金屬的集膚深度與頻率的函數關系。

集膚效應在多種情況下都會表現出來。例如，集膚效應使得水下潛艇的長距離通信變得非常困難。假設海水的典型參數為εr=72、σ=4 S/m 和μr=1，您可以驗證海水在 5 MHz 時表現得像良導體。在此頻率下，海水的趨膚深度為 11.2 厘米！通過這個較小的集膚深度，您可以計算出波幅在 51.8 cm 距離處減少到傳輸值的 1%。即使在非常低的頻率下，發射的波也會顯著衰減。

估計導體的高頻電阻

在高頻下，電流主要局限于趨膚深度。因此，導體的有效截面積可近似為δ乘以導體周長。作為示例，考慮具有圓形橫截面且半徑為 r 的導體。導體的有效橫截面積可近似為 2πrδ，產生的交流電阻為：

代入等式 3 中的 δ，我們有：

將直流電阻與導體的高頻電阻等同起來，我們可以定義趨膚效應的起始頻率。例如，等式 2 和 4 相等后，圓形導體的集膚效應的起始頻率為：

因此，使用雙對數圖，圓形橫截面導體的電阻與頻率曲線如圖 4 所示。

圖 4. 雙對數圖上圓形橫截面導體的電阻與頻率的關系。圖片由Reto B. Keller提供

雖然我們獲得了圓形導體的上述曲線，但在所有導體的電阻與頻率曲線中觀察到類似的行為。下面的圖 5 將寬度為 0.25 毫米、厚度為 35 微米（1 盎司）的 PCB 銅跡線的電阻與直徑 D=1 毫米的圓形銅線的電阻進行了比較。

圖 5. PCB 銅跡線與圓形銅線的電阻比較。圖片由Reto B. Keller提供

對于 1 mm 的直徑，公式 5 得出 fskin=70 kHz，這與橙色圖一致。使用類似的過程，我們可以推導出矩形導體中集膚效應的起始頻率方程。圖 6 顯示了直徑為 1 英寸的 22 號銅線環的高頻測量電阻。

圖 6. 銅線的測量電阻與方程模型的關系。

在上圖中，紅色標記對應于測量的電阻值，而線條對應于分析預測的電阻，該電阻隨頻率的平方根而增加。可以看出，測量值大致隨著 f 的增加而增加。

用良導體電鍍微波元件

良導體的趨膚深度在微波頻率下非常小。因此，對于微波元件，我們可以使用鍍有良導體的不良導體，而不是使用良導體。兩者的損耗性能應該是相似的。鍍上千分之幾英寸的高導電金屬可以完全隱藏下面不良導體的影響。例如，可以使用鍍銀黃銅波導代替由實心銀制成的波導，性能幾乎沒有下降，但材料成本卻大大降低。您可能還會遇到由涂有銀的空心金屬管制成的天線結構和射頻功率導體，出于同樣的原因，管的“皮膚”具有出色的導電性。

在計算電鍍部件的趨膚深度時，應注意電鍍金屬的電導率可能與該金屬的固體形式不同。原因是電鍍金屬本質上是多孔的，并且密度低于其固體形式。此外，值得一提的是，即使是穿過電流方向的微小劃痕也會影響微波元件的有效電阻。

審核編輯：湯梓紅