混頻器

這是數學極客的一個，他們甚至可以提供額外的見解和更正。即使你不是數學極客，我相信功能安全領域的每個人都需要了解這些方程式。在某些時候，您將不得不調用其中的一個或多個。我將嘗試對方程有一個直觀的感覺，所以希望它不會太糟糕。我確信在我下面的嚴格數學意義上存在錯誤，但希望它足夠準確，可以理解含義并讓您對這個主題有良好的感覺。

此處顯示的方程顯然是針對隨機硬件故障的，而不是系統故障模式，因為如果出現正確的條件，系統故障模式的發生概率將為 1。

IEC 62308的范圍規定“本標準描述了項目的可靠性評估方法。適用于任務、安全、業務關鍵、高完整性、復雜電子產品。它包含有關為什么需要可靠性以及如何以及在何處使用評估結果的信息。最后，它詳細說明了如何選擇可靠性評估方法以及支持評估所需的數據。

所以，讓我們陷入方程（1），它實際上看起來最令人生畏。誰不喜歡積分和指數的混合？

圖2 - 項目隨時間推移的可靠性的第一個方程

第一個等式給出了一個項目的可靠性，假設故障率與時間有關。在時間 0 R（t）=1 和時間 = 無窮大時，可靠性為 R（t）=0。R（t）可以說顯示了可用性，在時間t仍然存活的設備比例，這就是為什么積分系數從t到無窮大代表所有尚未失效的設備，這讓我想起了關于健康只是你可以死亡的最慢速度的笑話。R（t） 的對正數是 F（t），表示在時間 t 之前發生故障的設備的比例，然后由 F（t）=1-R（t） 給出，其中“F”代表故障。

λ（t） 表示設備的故障率，隨著時間的推移，該故障率可能是恒定的，也可能不是恒定的。對于功能安全，我們通常假設λ（t）是一個常量值λ，所以讓我們這樣做，這使我們能夠簡化和探索方程。然后我們有 R（t）=exp（-λt），這使得更明顯的是，如果 t=0 R（t）=exp （0） =1 和 t=∞我們有 R（t）=exp（-∞） =0，所以一切都很好。

圖 3 - 顯示恒定故障率下大約 20 年內 R（t） 和 F（t） 形狀的圖

基于它在上述方程中的使用，λ（t） 表示設備在 t 到 t+dt 區間內發生故障的幾率，前提是它已經存活到時間 t。它必須存活到時間t的事實意味著這被稱為條件概率。條件是它必須幸存到那時才能在該間隔內失敗。

對于功能安全，dt 通常為 1 小時，因此 λ（8760） 表示設備在其運行第二年的第一個小時內發生故障的概率，前提是它設法運行至少 1 年。

說明故障率是恒定的，這意味著如果一個設備已經存活了 1 年，它就有可能在 λ 的下一個小時內發生故障，如果一個設備已經存活了 20 年，它仍然有可能在 λ 的下一個小時內發生故障，λ 與它已經運行了多長時間無關。

注意 – 對于功能安全，我們通常對危險的未檢測到故障率比實際故障率更感興趣。設備無法進入安全狀態主要是別人的問題。因此 λ 實際上更有可能是 λD危險故障率甚至λ的危險的未檢測到的故障率。

順便說一句，這意味著如果您在 10 年后用相同設計的完美新設備替換完全工作的設備，您將一無所獲，因為在接下來的一小時內，兩者都會有 λ 的故障率。

此外，值得提醒的是，如果設備的故障率為 1e-9/h，這并不意味著它會持續十億年。相反，這意味著如果您有十億臺設備運行 1 小時，您可以預期其中 1 臺在該小時內出現故障。同樣，如果您只有 100k 個單位并且它們運行了一年，您可以預期其中一個在該年的某個時候出現故障。

讓我們繼續第二個等式。下面，f（t）顯示為可靠性函數微分的負值，對于恒定故障率，這意味著R（t）具有平滑下降的形狀（見上圖3）。這意味著這種差分的負值將是正數（不確定負失敗率意味著什么）。在嚴格的數學語言中，f（t）是失敗概率密度函數。它還表示在 t 到 t+dt 區間內無條件地失效，即不需要存活到時間 t。與λ（t）相比，即使故障率恒定，1年后f（t）也會比20年后的f（t）高得多，因為大多數設備在此之前就已經失效了。當它達到20年時，它必須度過所有其他年份，因此在接下來的一個小時內它仍然失敗的可能性非常小。如果 0.9 是預計存活 1 年的設備比例，如果預計在 1 年 + 1 小時存活的比例為 0.89，則 f（t）= （0.9-0.89）/1=0.01 在 1 年，即 delta R/delta t。從數學上看，如下所示。

圖 4 - 失效概率密度函數的第二個方程

注意 – 快速刷新。要區分 y=exp（f（x）） 使用 dy/dx = d（f（x）/dx））* exp（f（x））

讓我們以常數故障率為例，使 R（t）=exp（-λt） 然后 d（R（t））/d（t）= -λexp（-λt） =-λR（t） 這樣 f（t）=λR（t）。由于R（t）=1在時間0（所有設備仍然存活）和R（t）=0在時間無窮大，那么f（t）從λ到0，其中λ（t）是一個常數λ。

下面的第三個等式是用λ（t）替換λ并重新排列項。

圖 5 - 瞬時故障率的第三個公式

下圖顯示了條件失效率 λ（t） 和非條件失效率 f（t），繪制在大約 20 年的時間內，常數 λ（t） 為 2e-6/h。理論上，λ（t） 一直恒定到無窮大，但 f（t） “迅速”下降到零，因為沒有設備會失效（在概率意義上）。

圖 6 有條件和無條件故障率圖

最后，我們只剩下可靠性和平均故障時間之間的關系。查看史密斯的書以獲得指導，請考慮R（t）如下。如果有 N 個項目，并且 NS（t） 是在時間 t 時仍存活的設備數，則 R（t）=NS（t）/N。

注意 – NS 代表 N琥珀色 S孵化。

假設我們想知道在所有設備發生故障之前，N 個單元可以預期運行多少小時。在每個時間間隔內，總運行小時數增加 NS（t）*dt。因此，總運行小時數由 NS（t） wrt dt 的 0 到 ∞ 的積分給出。一個器件的平均預期時間為積分除以 N，但 NS（t）/N = R（t） 給出以下等式。

圖 7 - 顯示平均故障時間的第四個方程

推導清楚地表明了MTTF實際上是什么。如果您有 5 臺設備，并且它們存活 100 小時、1000 小時、2000 小時、5000 小時和 10000 小時，則 5 臺設備的總運行時間為 18，100 小時，MTTF = 18100/5 = 3620 小時。

最后，讓我們總結一下IEC 62308中的方程式，以假設功能安全中通常發現的恒定故障率。

圖 8 - 如果 lambda 是常數，則為上述等式

上面沒有說明，但可以從數學中得出，如果 MTTF 為 X 并且故障率恒定，那么 63.2% 的項目將在 X 小時運行后出現故障。另外值得說明的是，對于假設的恒定故障率，1 臺設備運行 1 萬小時與 1 萬臺設備運行 1 小時相同。

您還可以以其他方式操作方程式。例如，如果一個IC的恒定故障率為1000 FIT它能存活20年的機會有多大。R（t）=exp（-1e-6*20*8760）=0.84。

希望這個博客能給你信心，不要害怕圍繞可靠性的數學。希望它能讓你能夠嘗試方程式。

審核編輯：郭婷