這是翻譯自最佳L(Optimum L)或勒讓德(Legendre或Legendre–Papoulis)濾波器的提出者發(fā)表的《具有單調(diào)響應(yīng)的最優(yōu)濾波器》的文章，這種濾波器同時(shí)具有巴特沃斯的單調(diào)頻響還有可以和切比雪夫?yàn)V波器相媲美的截止特性。

具有單調(diào)響應(yīng)的最優(yōu)濾波器(Optimum Filters with Monotonic Response)*

A. PAPOULIS?, SENIOR MEMBER, IRE

摘要

設(shè)計(jì)了一類(lèi)幅頻特性在通帶無(wú)紋波、阻帶衰減率高的濾波器；因此它結(jié)合了巴特沃斯和切比雪夫響應(yīng)的理想特征。在給定階數(shù)的所有濾波器中，這個(gè)新類(lèi)型的濾波器在單調(diào)遞減響應(yīng)的條件下具有最大截止斜率(cutoff rate)特性。

濾波器的幅頻特性可以寫(xiě)成以下形式

其中是的正有理函數(shù)；如果網(wǎng)絡(luò)函數(shù)沒(méi)有有限零點(diǎn)，則是一個(gè)多項(xiàng)式，由此產(chǎn)生的濾波器很容易通過(guò)一端或兩端接載的梯形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)中討論了兩類(lèi)這樣的濾波器：巴特沃斯類(lèi)由：

和切比雪夫類(lèi)由：

其中是切比雪夫余弦多項(xiàng)式。如果對(duì)的唯一要求是對(duì)通帶中的給定變化具有最大可能的衰減，則濾波器是最佳選擇。但是，在許多應(yīng)用中；即，當(dāng)同時(shí)考慮瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，通帶中的紋波是不能容忍的；然后使用截止特性不太好的濾波器作為簡(jiǎn)單的折衷方案。因此，很自然地會(huì)探索具有濾波器所需特性且截止速率更快的濾波器。在本文中，我們將確定類(lèi)型濾波器，其幅頻特性隨單調(diào)下降并且具有最大可能的截止斜率特性。

用表示生成濾波器的多項(xiàng)式，我們有

如果我們進(jìn)一步假設(shè)

我們的問(wèn)題是在所有階正多項(xiàng)式中找到滿(mǎn)足式(4)和式(5)的正多項(xiàng)式，其斜率

在處是最大的；討論將僅限于是奇數(shù)

在附錄中顯示多項(xiàng)式由下式給出

其中

是表中所列出的第一類(lèi)勒讓德多項(xiàng)式。點(diǎn)處的斜率由下式給出

由于

我們可以很容易地從式(7)-(9)得到

和

多項(xiàng)式和繪制在圖1中和多項(xiàng)式和用于比較；在圖2中，顯示了相應(yīng)的幅頻特性。

圖1 圖2

接下來(lái)，我們將實(shí)現(xiàn)和的濾波器。

: 為了確定振幅等于的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，我們有

然后

因此，

因式分解并保留我們所獲得的左半平面的極點(diǎn)

其極點(diǎn)由

并且如圖3所示。

圖3

如果可以從的二次因子中獲得，而無(wú)需對(duì)其根進(jìn)行實(shí)際評(píng)估可能會(huì)很具吸引力；這是有用的，因?yàn)樵谕ǔ５膹?fù)數(shù)根的數(shù)值評(píng)估方法中，首先會(huì)找到二次因子。的確，如果

是

的胡維茨因子(Hurwitz factor)，那么很容易看出

要將實(shí)現(xiàn)為一個(gè)梯形網(wǎng)絡(luò)，其終端為1歐姆的電阻(見(jiàn)圖3)

因此，

將展開(kāi)為連續(xù)分?jǐn)?shù)，我們得到圖3(a)所示的網(wǎng)絡(luò)。要將實(shí)現(xiàn)為兩端具有1歐姆電阻的梯形網(wǎng)絡(luò)，我們首先確定由下式定義的反射系數(shù)

其中如圖3所示?？梢钥闯?/p>

因此，

從中我們獲得保留了胡維茨因子的

知道了我們可以從

確定，這樣，

現(xiàn)在可以實(shí)現(xiàn)為一個(gè)終止于電阻的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)；然而，由于沒(méi)有有限零點(diǎn)，的實(shí)部也是如此，因此，可以展開(kāi)為連分式，并且如圖3(b)所示的網(wǎng)絡(luò)。

: 我們有

于是，

它的極點(diǎn)由下式給出

從我們得到

從的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)得到圖4的網(wǎng)絡(luò)。

圖4

最后，我們將列出、和多項(xiàng)式的重要性質(zhì)。

?多項(xiàng)式:?最大平坦、單調(diào)、截止斜率等于。

?多項(xiàng)式:?通帶中等波紋，在所有多項(xiàng)式的類(lèi)類(lèi)型中，它們具有由所給出的最大截止斜率。

?多項(xiàng)式:?單調(diào)的，在所有單調(diào)多項(xiàng)式的類(lèi)別中，它們具有由所給出的最大截止斜率。

附錄

為了證明式(7)-(10)，我們首先要解決以下問(wèn)題?？紤]的多項(xiàng)式類(lèi)使得

在中確定一個(gè)多項(xiàng)式使得

最大。

對(duì)于

我們有

我們將首先證明階數(shù)為的多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方；很明顯，因?yàn)槭欠秦?fù)的，它在區(qū)間中的所有根都是重的，因此它可以寫(xiě)成以下形式

其中是沒(méi)有內(nèi)部根的偶次多項(xiàng)式，這樣

在處，可能等于零；在這種情況下

如果不是常數(shù)，那么它的次數(shù)至少為2，因此，多項(xiàng)式

將與具有相同的階數(shù)，并且對(duì)于足夠小的，它將保持正值；如果，這是顯而易見(jiàn)的[見(jiàn)式(15)]，如果，則可以很容易地建立[見(jiàn)式(16)]。因此，如果選擇常量

然后，

和多項(xiàng)式

將在中，其在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)將由下式給出

這是不可能的[見(jiàn)式(17)]，因?yàn)楸患俣樽畲笾?。因此是一個(gè)可以取為1的常數(shù)。因此

和

為了確定階數(shù)為的多項(xiàng)式，我們首先將其勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)

這些多項(xiàng)式滿(mǎn)足

從式(18)和式(20)我們得到

由于，并且從式(19)-(21)

如下，我們的問(wèn)題是確定常數(shù)以便在約束式(23)下最大化式(22)；這可以很容易地完成，結(jié)果由

常數(shù)可以很容易地從式(22)和式(24)中求出

可以很容易地通過(guò)區(qū)間變換從中獲得

它在處的斜率由下式給出

其中，式(7)到式(10)很容易得到；這里假設(shè)不是限制性的。

腳注

IRE于1957年8月29日收到的原稿。
? Polytechnic Institute of Brooklyn. Burroughs Corp., Res. Center, Paoli, Pa.

參考

[1]: A. Papoulis, “On the approximation problem in filter design,” 1957 IRE NATIONAL CONVENTION RECORD, pt. 2, pp. 175-185.
[2]: Küpfmüller, “Die Systemtheorie der Electrischen Nachrichtenübertragung,” S. Hirzel, Zürich, Germany; 1949.
[3]: S. Bernstein, “Le?ons sur les Propriétés Extrémales et la Meilleure Approximation des Fonctions d’une Variable Réelle,” GauthierVillars, Paris, France; 1926.
[4]: E. Jahnke and F. Emde, “Tables of Functions,” Dover Publications, New York, N. Y.; 1945.
[5]: A. Papoulis, “Frequency transformations in filter design,” IRE Trans., vol. CT-3, pp. 140-144; June, 1956.
[6]: This problem and its proof is a modified version of a theorem proved by Bernstein, loc cit.
[7]: R. Courant and D. Hilbert, “Methoden der Mathematischen Physik-I,” Springer, Berlin, Germany; 1937.

參考文章

[1] Athanasios Papoulis (1958). Optimum Filters with Monotonic Response. Proceedings to the IRE.

編輯：黃飛

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