在本系列的第一篇文章中，檢查了濾波器階段與濾波器實(shí)現(xiàn)拓?fù)涞年P(guān)系。在第二篇文章中，檢查了低通和高通響應(yīng)的濾波器傳遞函數(shù)的相移。本文將重點(diǎn)介紹帶通響應(yīng)。雖然濾波器主要針對(duì)其幅度響應(yīng)而設(shè)計(jì)，但相位響應(yīng)在某些應(yīng)用中可能很重要。

為了便于審查，有源濾波器的傳遞函數(shù)實(shí)際上是濾波器傳遞函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)（見圖1）。

圖1.濾波為兩個(gè)傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)。

帶通傳遞函數(shù)

將低通原型的分子更改為

將濾波器轉(zhuǎn)換為帶通功能。這將在傳遞函數(shù)中放置一個(gè)零。分子中的 s 項(xiàng)給了我們一個(gè)零，分子中的 s 項(xiàng)給了我們一個(gè)極點(diǎn)。零將給出頻率上升響應(yīng)，而極點(diǎn)將給出頻率下降響應(yīng)。

二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)為：

ω0 這里是頻率 （F0= 2 π ω0），此時(shí)濾波器的增益達(dá)到峰值。

H0是電路增益（Q峰值），定義為：

其中 H 是濾波器實(shí)現(xiàn)的增益。

Q對(duì)于帶通響應(yīng)具有特殊含義。它是過(guò)濾器的選擇性。它被定義為：

其中 FL 和 FH 是響應(yīng)從最大值開始 –3 dB 的頻率。

濾波器的帶寬 （BW） 描述為：

可以證明諧振頻率（F0） 是 F 的幾何平均值L和 FH，這意味著 F0將出現(xiàn)在 F 之間的中間L和 FH在對(duì)數(shù)刻度上。

另外，請(qǐng)注意，帶通響應(yīng)的裙邊將始終圍繞F對(duì)稱0在對(duì)數(shù)刻度上。

帶通濾波器對(duì)各種Q值的幅度響應(yīng)如圖2所示。在此圖中，中心頻率處的增益歸一化為1 （0 dB）。

圖2.歸一化帶通濾波器幅度響應(yīng)。

同樣，本文主要關(guān)注相位響應(yīng)，但了解濾波器的幅度響應(yīng)很有用。

在這里要注意一句話是恰當(dāng)?shù)摹V波器可以通過(guò)兩種不同的方式定義。窄帶情況是我們上面顯示的經(jīng)典定義。然而，在某些情況下，如果高截止頻率和低截止頻率相距甚遠(yuǎn)，則帶通濾波器由單獨(dú)的高通和低通部分構(gòu)成。在這種情況下，廣泛相距意味著至少相隔兩個(gè)八度（頻率為×4）。這是寬帶情況。我們主要關(guān)注本文的窄帶情況。對(duì)于寬帶情況，將濾波器評(píng)估為單獨(dú)的高通和低通部分。

雖然帶通濾波器可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)來(lái)定義，例如巴特沃斯、貝塞爾或切比雪夫，但它們通常也由其Q和F定義0.

帶通濾波器的相位響應(yīng)為：

請(qǐng)注意，沒(méi)有單極點(diǎn)帶通濾波器這樣的東西。

圖3.歸一化帶通濾波器相位響應(yīng)。

圖3評(píng)估了公式6從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的曲線。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1，Q為0.707。這與上一篇文章中使用的 Q 相同，盡管在那篇文章中我們使用了α。請(qǐng)記住α = 1/Q。

檢查顯示，該曲線的形狀與低通曲線（以及高通曲線）的形狀基本相同。然而，在這種情況下，相移從低于中心頻率的90°到中心頻率的0°到高于中心頻率的–90°。

在圖4中，我們研究了帶通濾波器在Q值變化時(shí)的相位響應(yīng)。如果我們看一下傳遞函數(shù)，我們可以看到相位變化可以在相對(duì)較大的頻率范圍內(nèi)發(fā)生，并且變化的范圍與電路的Q成反比。同樣，檢查表明曲線與低通（和高通）響應(yīng)的曲線具有相同的形狀，只是范圍不同。

圖4.具有不同Q值的歸一化帶通濾波器相位響應(yīng)。

放大器傳遞函數(shù)

在前幾期中已經(jīng)表明，傳遞函數(shù)基本上是單極點(diǎn)濾波器的傳遞函數(shù)。雖然放大器的相移通常被忽略，但它會(huì)影響復(fù)合濾波器的整體傳輸。本文任意選擇AD822用于濾波器仿真。選擇它部分是為了盡量減少對(duì)濾波器傳遞函數(shù)的影響。這是因?yàn)榉糯笃鞯南嘁祁l率遠(yuǎn)高于濾波器本身的轉(zhuǎn)折頻率。AD822的傳遞函數(shù)如圖5所示，該信息直接取自數(shù)據(jù)手冊(cè)。

圖5.AD822波特圖增益和相位。

示例1：Q = 20的1 kHz、2極點(diǎn)帶通濾波器

第一個(gè)例子是從一開始就設(shè)計(jì)為帶通的濾波器。我們?nèi)我膺x擇1 kHz的中心頻率和20的Q。由于Q值偏高，我們將使用雙放大器帶通（DABP）配置。同樣，這是一個(gè)任意的選擇。

我們使用參考文獻(xiàn) 1 中的設(shè)計(jì)公式。合成電路如圖6所示：

圖6.1 kHz，Q = 20 DABP帶通濾波器。

在本文中，我們主要關(guān)注相位，但我認(rèn)為檢查幅度響應(yīng)很有用。

圖7.1 kHz，Q = 20 DABP帶通濾波器幅度響應(yīng)。

我們?cè)趫D8中看到相位響應(yīng)：

圖8.1 kHz，Q = 20 DABP帶通濾波器相位響應(yīng)。

請(qǐng)注意，DABP 配置是同相的。圖 8 與圖 3 匹配。

示例2：1 kHz、3極點(diǎn)0.5 dB切比雪夫低通至帶通濾波器變換

濾波器理論基于低通原型，然后可以將其操縱成其他形式。在本例中，將使用的原型是1 kHz、3極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫?yàn)V波器。選擇切比雪夫?yàn)V波器是因?yàn)槿绻憫?yīng)不正確，它會(huì)更清楚地顯示。例如，通帶中的波紋不會(huì)對(duì)齊。在這種情況下，巴特沃斯過(guò)濾器可能太寬容了。選擇3極點(diǎn)濾波器，以便變換極點(diǎn)對(duì)和單極點(diǎn)。

LP原型的極點(diǎn)位置（來(lái)自參考文獻(xiàn)1）為：

第一階段是極對(duì)，第二階段是單極。請(qǐng)注意對(duì)兩個(gè)完全獨(dú)立的參數(shù)使用 α 的不幸約定。左側(cè)的α和β是 s 平面中的極點(diǎn)位置。這些是轉(zhuǎn)換算法中使用的值。右邊的α是1/Q，這是物理濾波器的設(shè)計(jì)公式想要看到的。

低通原型現(xiàn)在轉(zhuǎn)換為帶通濾波器。參考文獻(xiàn) 1 中概述的公式字符串用于轉(zhuǎn)換。原型濾波器的每個(gè)極點(diǎn)將轉(zhuǎn)換為一極對(duì)。因此，3極原型在轉(zhuǎn)換時(shí)將具有六個(gè)極（3極對(duì)）。此外，原點(diǎn)將有六個(gè)零。沒(méi)有單極帶通這樣的東西。

轉(zhuǎn)換過(guò)程的一部分是指定所得濾波器的3 dB帶寬。在這種情況下，此帶寬將設(shè)置為 500 Hz。轉(zhuǎn)換結(jié)果：

實(shí)際上，將較低增益、較低Q值的部分放在串中的第一個(gè)位置可能會(huì)很有用，以最大限度地提高信號(hào)電平處理能力。前兩級(jí)增益要求的原因是它們的中心頻率將相對(duì)于總濾波器的中心頻率衰減（即，它們將位于其他部分的裙邊）。

由于得到的Q是中等的（小于20），因此將選擇多重反饋拓?fù)洹⒖嘉墨I(xiàn)1中多反饋帶通濾波器的設(shè)計(jì)公式用于設(shè)計(jì)濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。

圖9.1 kHz、6 極點(diǎn)、0.5 dB 切比雪夫帶通濾波器。

在圖10中，我們查看了整個(gè)濾波器的相移。該圖顯示了單獨(dú)第一部分（第1部分）、前兩部分一起（第2部分）和整個(gè)濾波器（第3部分）的相移。這些顯示了“實(shí)際”濾波器部分的相移，包括放大器的相移和濾波器拓?fù)涞姆崔D(zhuǎn)。

圖 10 中有幾個(gè)細(xì)節(jié)需要注意。首先，相位響應(yīng)是累積的。第一部分顯示了180°的相位變化（濾波器函數(shù)的相移，不考慮濾波器拓?fù)涞南嘁疲５诙糠诛@示了360°的相變，這是由于有兩個(gè)部分，兩個(gè)部分各180°。請(qǐng)記住，360° = 0°。第三部分顯示了540°的相移，每個(gè)部分為180°。另請(qǐng)注意，在高于10 kHz的頻率下，由于放大器響應(yīng)，我們開始看到相位略有滾降。我們可以看到，滾降再次是累積的，每個(gè)部分都在增加。

圖 10.1 kHz、6極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應(yīng)。

在圖11中，我們可以看到整個(gè)濾波器的幅度響應(yīng)。

圖 11.1 kHz、6 極點(diǎn)、0.5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應(yīng)。

結(jié)論

本文考慮帶通濾波器的相移。在本系列的前幾篇文章中，我們研究了與濾波器拓?fù)湟约案咄ê偷屯ㄍ負(fù)湎嚓P(guān)的相移。在以后的文章中，我們將介紹陷波和全通濾波器。在最后一部分中，我們將將它們聯(lián)系在一起，并研究相移如何影響濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)，研究群延遲、脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)，以及這對(duì)信號(hào)意味著什么。

審核編輯：郭婷