1、引言

混沌理論（ChaosTheory）是架起確定論和概率論兩大理論體系之間的橋梁，與相對(duì)論、量子力學(xué)一起被稱為20世紀(jì)物理學(xué)的三大科學(xué)革命?；煦缪芯孔钕绕鹪从?963年洛倫茲（E.Lorenz）研究天氣預(yù)報(bào)時(shí)用到的三個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，后來又從數(shù)學(xué)和實(shí)驗(yàn)上得到證實(shí)?；煦鐏碜苑蔷€性，是非線性系統(tǒng)中存在的一種普遍現(xiàn)象。無論是復(fù)雜系統(tǒng)，如氣象系統(tǒng)、太陽系，還是簡(jiǎn)單系統(tǒng)，如鐘擺、滴水龍頭等，皆因存在著內(nèi)在隨機(jī)性而出現(xiàn)類似無軌、但實(shí)際是非周期有序運(yùn)動(dòng)，即混沌現(xiàn)象。近年來，混沌現(xiàn)象及其應(yīng)用已成為通訊工程、電子工程、生物工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。由于電學(xué)量（如電壓、電流）易于觀察和顯示，因此非線性電路逐漸成為混沌及混沌同步應(yīng)用的重要途徑，其中最典型的電路是美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏電路（Chua’sCircuit）。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為的最簡(jiǎn)單的自治電路，是至今所知唯一的混沌實(shí)際物理系統(tǒng)，已被希爾尼柯夫定理嚴(yán)格證明存在混沌現(xiàn)象。就實(shí)驗(yàn)而言，可用示波器觀察到電路混沌產(chǎn)生的全過程，并能得到雙渦卷混沌吸引子，有興趣的讀者不妨親自搭試電路，實(shí)際觀測(cè)一番。

2、蔡氏電路

圖1就是討論非線性電路系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)單而又經(jīng)典的電路———蔡氏電路，它是由兩個(gè)線性電容C1和C2、一個(gè)線性電感L、一個(gè)可變線性電阻R0和一個(gè)非線性電阻R構(gòu)成。電感L和電容C2并聯(lián)構(gòu)成振蕩電路，線性電阻R0的作用是分相。非線性電阻R的伏安特性iR=g（uR），是一個(gè)分段線性的負(fù)電阻，如圖2所示，整體呈現(xiàn)對(duì)稱但非線性。負(fù)阻是出現(xiàn)混沌的原因，其特性至少可用三種方法來實(shí)現(xiàn)：兩個(gè)晶體管和兩個(gè)二極管;一個(gè)運(yùn)算放大器和兩個(gè)二極管;一個(gè)雙運(yùn)算放大器和六個(gè)線性電阻組合。

圖1電路中有3個(gè)狀態(tài)變量uC1，uC2和uL，電路的非線性動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為：

式中：uC1，uC2和iL分別表示C1、C2兩端的電壓，L中的電流。g（uR）是負(fù)阻曲線。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡(jiǎn)單三階（3個(gè)狀態(tài)變量）自治（方程右端不顯含時(shí)間）電路。

3、電路混沌的實(shí)驗(yàn)研究

混沌實(shí)驗(yàn)電路如圖3所示。這里將蔡氏電路中的非線性電阻R的特性通過一個(gè)雙運(yùn)算放大器和6個(gè)線性電阻組合來實(shí)現(xiàn)，具體參數(shù)選取如下：R1=5.1kΩ，R2=3.3kΩ，R3=1kΩ，R4=R5=100Ω，R6=5.6kΩ。每次取兩個(gè)狀態(tài)變量在示波器上觀察李薩如圖形。

3.1、改變電阻R0，其它參數(shù)保持不變。

在合適選取C1、C2和L以后，如取C1=4700pF，C2=0.1μF，L=10mH，調(diào)節(jié)R0。當(dāng)R0由3kΩ逐漸減小時(shí)，在示波器上看到，例如由uC1-uC2呈現(xiàn)的變化規(guī)圖3非線性電路混沌實(shí)驗(yàn)電路圖律。由1個(gè)點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)）→1個(gè)圈（Hopf分岔，出現(xiàn)單周期極限環(huán)）→2個(gè)圈（倍周期分岔，出現(xiàn)2周期極限環(huán)）→22圈（4周期極限環(huán)）→……→2∞個(gè)圈（單渦卷混沌吸引子）。實(shí)驗(yàn)中一般能觀察到周期8，由于變化速度太快很難看到大于8的周期。周期為無窮大也就是沒有周期，這就是混沌。在上述參數(shù)值下，R0=1.5kΩ左右時(shí)電路可進(jìn)入混沌狀態(tài)。繼續(xù)減小R0，還會(huì)出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子，只見環(huán)形曲線在兩個(gè)外渦卷的吸引子之間不斷填充與跳躍，這就是混沌研究文獻(xiàn)中所描述的“蝴蝶”圖像，也是一種奇異吸引子，它的特點(diǎn)是整體上的穩(wěn)定性和局部上的不穩(wěn)定性同時(shí)存在。圖4是一個(gè)單渦卷混沌吸引子，圖5、圖6都是雙渦卷混沌吸引子。

利用這個(gè)電路，還可以觀察到周期性窗口，仔細(xì)調(diào)節(jié)R0，有時(shí)原先的混沌吸引子不是倍周期變化，卻突然出現(xiàn)了一個(gè)三周期圖像，再微調(diào)R0，又出現(xiàn)混沌吸引子，這一現(xiàn)象稱為出現(xiàn)了周期性窗口。

3.2、調(diào)節(jié)電容C1（或C2）。

固定C2（或C1）、L和R0在某一適當(dāng)?shù)臄?shù)值，改變C1（或C2）所得分岔和混沌規(guī)律與1中相類似。

3.3、改變負(fù)阻曲線。

在1、2中都是保持負(fù)阻曲線對(duì)稱不變的情況下調(diào)節(jié)電路參數(shù)觀察到的結(jié)果。在合適選取C1、C2、L和R0以后，調(diào)節(jié)其中一個(gè)運(yùn)算放大器的電源電壓改變負(fù)阻曲線，也能得到漂亮的混沌規(guī)律。

4、混沌現(xiàn)象的本質(zhì)

混沌是一種確定系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的有序運(yùn)動(dòng)。這種有序是亂中有序，是有序與無序的結(jié)合，是非線性序———混沌序。變是混沌的本性。分岔是進(jìn)入混沌的途徑。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在不斷變化。當(dāng)控制參量λ（λ=0對(duì)應(yīng)于平衡態(tài)）由小到大變化時(shí)，系統(tǒng)由穩(wěn)定有序逐漸失穩(wěn)，開始分岔，隨著分岔按幾何級(jí)數(shù)的不斷增長(zhǎng)，系統(tǒng)由有序到無序。當(dāng)控制參量達(dá)到一個(gè)臨界值時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌區(qū)，當(dāng)再增大時(shí)又會(huì)遇到一個(gè)個(gè)的周期窗口，一個(gè)個(gè)混沌區(qū)……當(dāng)控制參量不斷減少時(shí)系統(tǒng)又會(huì)由混沌逐漸向有序演化。現(xiàn)已知道在倍周期分岔進(jìn)入混沌的過程中存在一個(gè)普適常數(shù)———費(fèi)根鮑姆常數(shù)（Feigenbaumcontant），即

上式中λn是第n次分岔出現(xiàn)的參數(shù)值，δ是相繼分岔的間距之比的極限，是一個(gè)類似π、e和普朗克常數(shù)的無理數(shù)。這是美國(guó)物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆利用計(jì)算機(jī)在1978年計(jì)算發(fā)現(xiàn)的?，F(xiàn)已有數(shù)學(xué)家用泛函方法得到證明。費(fèi)根鮑姆常數(shù)的存在反映了混沌演化過程中的有序性。

5、結(jié)語

電路混沌的研究不僅有助于揭示非線性電路的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，也有助于將這些結(jié)果直接應(yīng)用到其他學(xué)科中去，因?yàn)槊枋龈鞣N系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)方程有時(shí)是類似的?；煦珉娐返膶?shí)驗(yàn)研究仍是一個(gè)很有前途的研究領(lǐng)域。本文通過蔡氏電路介紹了最基本的混沌概念，說明了如何實(shí)現(xiàn)5段分段線性的非線性負(fù)阻以及觀察混沌的三種方法，表明蔡氏電路雖然結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，但其非線性動(dòng)力學(xué)行為極其豐富，F(xiàn)eigenbaum倍周期分岔過程是蔡氏電路中典型的通向混沌道路。這一內(nèi)在規(guī)律在完全不同的非線性電路系統(tǒng)中都會(huì)出現(xiàn)，具有普適性。感興趣的讀者不妨親自試一試，蔡氏電路的應(yīng)用研究目前也取得了豐碩的成果。特別是蔡氏電路易于控制和同步，既可以控制它由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谛曰蚨ǔ＼壍?，也可以使兩個(gè)相同的蔡氏電路同步工作于周期振蕩或混沌狀態(tài)，使混沌電路有可能在廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用，如混沌保密通信技術(shù)、數(shù)字水印技術(shù)和混沌擴(kuò)頻通信技術(shù)等等。