極大似然估計（Maximum likelihood estimation, 簡稱MLE）是很常用的參數估計方法，極大似然原理的直觀想法是，一個隨機試驗如有若干個可能的結果A，B，C，... ，若在一次試驗中，結果A出現了，那么可以認為實驗條件對A的出現有利，也即出現的概率P(A)較大。也就是說，如果已知某個隨機樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數不清楚，參數估計就是通過若干次試驗，觀察其結果，利用結果推出參數的大概值。極大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個參數能使這個樣本出現的概率最大，我們當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數作為估計的真實值（請參見“百度百科”）。

本文以一個簡單的離散型分布的例子，模擬投擲硬幣估計頭像(head)向上的概率。投擲硬幣落到地面后，不是head向上就是tail朝上，這是一個典型的伯努利實驗，形成一個伯努利分布，有著如下的離散概率分布函數：

其中，x等于1或者0，即結果，這里用1表示head、0表示tail。

對于n次獨立的投擲，很容易寫出其似然函數：

現在想用極大似然估計的方法把p估計出來。就是使得上面這個似然函數取極大值的情況下的p的取值，就是要估計的參數。

首先用Python把投擲硬幣模擬出來：

通過此模擬，使用sympy庫把似然函數寫出來：

從上面的結論可以看出，作100次伯努利實驗，出現positive、1及head的數目是53個，相應的0也就是tail的數目是47個，比較接近我們設的初始值0.5即1.0/2（注意：現在我們假設p是未知的，要去估計它，看它經過Python的極大似然估計是不是0.5！）。

下面，我們使用Python求解這個似然函數取極大值時的p值：

結果沒有什么懸念，53/100的值很接近0.5！

取對數后，上面Python的算法最后實際上是求解下式為0的p值：

上式留給網友自行推導，很多資料都可找到該式。這個式子，是著名的Logistic回歸參數估計的極大似然估計算法的基礎。

進一步，為了更加直觀的理解投擲硬幣的伯努利實驗，我們給出以均值（均值為100*0.5=50）為中心對稱的加總離散概率（概率質量函數（probability mass function），Python里面使用pmf函數計算）：

對于上面的Python代碼，可以通過下圖更好地去理解：

把這20個離散的概率全部顯示出來，也可以看到在0.08左右取到它們的最大值：

本文針對簡單的離散概率質量函數的分布使用Python進行了極大似然估計，同時該方法可以應用于連續分布的情形，只要通過其概率密度函數得出其似然函數即可。希望網友把本文的代碼實踐一遍，也可以和R語言、SAS等軟件得到的結論相比較，從而得到更好的極大似然估計的實現方法。