鐵磁材料在電子元件和電動機械中無處不在。電磁建模的分析對象可以是各種廣泛的應用，或是某種恰好具有磁性的材料特性（比如結構鋼的力學阻力）。在這兩類情況中，鐵磁零件都會對其周圍的磁場造成影響，所以精確模擬鐵磁材料的影響對于設備或系統的正常運行至關重要。

鐵磁材料的分類

分類是認識不同材料呈現的各種磁性能的有效手段。最簡單的一種分類體系如下：

弱磁性材料

可使外加磁場產生微弱變化（例如順磁性材料和抗磁性材料）

軟鐵

可有效集中外部磁通量，但本身不具有“固有”磁化強度（因此如果放在沒有磁場的區域中，軟體會退磁）

硬鐵，下文稱之為永磁體

即便沒有外加磁場也會產生磁通量

第 2 和第 3 類材料被稱為鐵磁體。

不過，這種分類并不像表面上那么簡單，因為軟鐵和永磁體之間的界限未必如此清晰，而且某些特性是兩種類型所共有的。一種材料在無外部磁源時可能表現出微弱的磁化強度（類似于永磁體），但是，它的磁化強度也會因為外加磁場而大大增強（類似于軟鐵）。

此外，有的材料會表現出滯回性能，也就是說，在應用并移除外部載荷之后，它的磁性將變得與原先不同。外部載荷不一定指電流所產生的磁場，也有可能是物理位移（參照下方動畫）。

綜上所述，在處理鐵磁材料時，我們需要描述各種截然不同的磁性能。在本篇博客文章中，我們將分析 COMSOL? 軟件的相關可用選項。

磁性本構關系概述

磁性能的多樣性體現在各種不同的系統中（包括有利或不利影響），所以表征磁性能范圍的能力非常重要。

“AC/DC模塊”能夠通過下表第一列的八種預定義本構關系，自動添加所有類型的磁性能，它也允許用戶輸入自己用代碼編寫的外部材料。弱磁性材料的表征通常利用第一個選項——相對磁導率，這也是COMSOL Multiphysics? 軟件的系統默認選項。

處理鐵磁材料則可能需使用另一種本構關系。下表中的前四個選項適用于軟鐵，再往下四個則適用于永磁體。兩組均按照本構關系的復雜程度進行遞增排序：越靠后，磁化動力學就需要通過更多特性來描述。

軟鐵或硬鐵模擬所使用的規律與所需的參數數量一覽。*“AC/DC 模塊案例庫”中的示例仿真 App可以基于標準的 B-H 曲線自動計算等效 B-H 曲線的函數。歡迎閱讀已發布的博客文章，了解關于這類功能的更多信息。**外部磁性材料是 B-H 曲線的一個子選項。詳細信息請參閱關于訪問外部材料模型的博客文章。

下方八張繪圖解釋了上表中的各種本征關系在 B-H 平面中的典型動力學特征。在 B-H 繪圖中，y軸表示磁通密度 B。磁通的解釋不存在太多模糊性，因為它可以直接測量。x軸是磁場 H 的量度。H 的解釋或許依賴于受分析系統的具體情況（下文的案例將解釋這一點）。

目前我們只考慮理想的磁路。磁路材料是一個長度為 L 的圓環，由 N 匝載流為 I 的線圈均勻繞成。在此例中，H = N*I/L。根據應用不同，制造商可能用這種設計（或另一種設計，例如愛波斯坦方圈）來展示 B-H 曲線。

下面，我們列舉了一些案例，大致介紹如何針對一些典型應用中常見的磁性材料來使用這些條件。

軟鐵的適用規律

永磁體的適用規律

需要注意的是，我們沒有提到第一個表中的外部磁性選項。這是一個子選項，選定B-H 曲線本構關系之后就可以顯示，它可用于模擬更多的通用磁力規律。一篇已發布的博客詳細介紹了一個相關案例。該選項通常適用于可能包含條件邏輯的定制磁滯模型。

上表討論的所有參數和函數均可能是模型中其他參數的函數。認識到這一點極其重要，因為我們可以利用這一函數關系添加多物理場效應，或者在處理材料非線性時擁有更多自由度。

在磁路的拓撲優化教學模型的案例中，相對磁導率本構關系被手動添加了非線性依賴關系，由此使其表現與B-H 曲線完全相同。此案例表明，轉換本構關系與在相對磁導率輸入框中寫入 murOfB(mf.normB) 一樣簡單。這是一個實用技巧，因為磁導率隨即被設為了 1-p^2+p^2*murOfB(mf.normB)，所以規律描述的是p為 0 的區域內的空氣和p為 1 區域內的軟鐵（模型中p是根據拓撲優化而變化的函數。請注意，正如模型文檔所解釋，輸入 normB 的函數時還需要進行其他操作，以避免收斂問題。模型中“將復數變量拆分成實部和虛部”的選項處于開啟狀態）。

感應加熱是設置磁導率函數的另外一個實用用途。在此類情況中，材料超過了居里溫度。這時，通常將磁導率設為形如 1+f(T)*(mur(normB)-1) 的函數，其中，f(T) 函數在低溫時從 1 開始不斷降低，達到居里溫度時降為 0（高于居里溫度互仍為 0）。在精確模擬鋼的多個感應加熱過程（比如淬火）時，需要采用此方法。更普遍的做法是，從文獻或者數據表中獲取很多 B-H 參數與溫度的函數依賴關系，然后使用相同的方法將它們插入仿真中。

盡管很多參數在表格中被稱為“標量”或“函數”，但它們可能是“張量”，或是由一組函數來填充矢量或張量。認識到這一點很重要，因為磁性本質上是一個矢量。實際上，對于第一張表中的所有特性，“AC/DC 模塊”提供了完整模擬各向異性材料的選項。矢量磁滯教學模型中討論了相關的案例，該模型采用了各向異性的 Jiles-Atherton 材料，并重現了已發表的數據。

磁場的矢量性質對于模擬移動的磁力機械至關重要。下面的動畫展示了旋轉機械仿真中的磁通密度，外部域是參照 Jiles-Atherton 磁滯模型來描述的。左側是旋轉中的磁滯域，右側是旋轉中的內部磁體。對比左圖的任意一點與右圖中相應的點，矢量 B 和 H 的所有分量都遵循旋轉矢量必須滿足的轉換。右側動畫是結果是左側動畫的剛性旋轉結果。

旋轉機械的磁通量，其中磁滯材料表明矢量性質是準確的，所以磁場源（左圖）坐標系和磁滯域（右圖）坐標系內的局部場完全一致。

利用 COMSOL Multiphysics? 模擬鐵磁材料

下面，我們通過一個示例展示，當模擬同一鐵磁材料在不同工藝流程中的特性時，可以采用的不同規律。這里的假設前提是：只有一組有限的可檢索的典型材料信息可用。

在此示例中，我們模擬一個如下圖所示的磁路。紅色區域代表一塊非線性軟鐵，被表征為不明顯的剩余通量和磁滯 B-H 曲線（來自“AC/DC模塊”的“材料庫”中可用的軟鐵材料：彎頭在大約 5400[A/m] 時達到 1.5[T]）。藍色區域代表纏繞在軟鐵芯上的線圈。綠色區域表示我們計劃利用不同規律進行分析的對象，它可以是初始時沒有磁化的鋁鎳鈷合金元件。

磁路的幾何結構，它包含軟鐵（紅色）、線圈（藍色）和類似于鋁鎳鈷合金的材料（綠色）。開始時合金棒沒有磁性，線圈通電后被磁化，被從磁路中抽出后（箭頭方向）就會退磁。

我們可以對四種不同工作條件下的磁路進行仿真：

由于線圈通電，鋁鎳鈷合金元件從無磁狀態向磁化狀態轉變

由于步驟 1 對線圈通電，鋁鎳鈷合金元件被磁化，甚至在線圈斷電后，仍然保持最大的磁化強度

在步驟 2 最后，磁化的鋁鎳鈷合金元件被從鐵芯中拔出，因此部分退磁

磁化的鋁鎳鈷合金元件被放回磁路中，基本上保持了被從磁路抽出時的低磁性剩余通量

我們或許會想調整整個周期的本構關系。這一操作確實可行，但通常需要鐵芯廠商專門進行特殊的獨立測量。例如，我們應該不難知道完全磁化材料的 H 值，以及對應的剩余通量和退磁曲線。

在此例中，假設我們已知外加的 30[kA/m] 磁場達到了磁飽和，B-H 平面第二象限的（單軸）退磁曲線記錄在下方表格中。曲線從 H = 0 處的剩余通量 Br 開始，在（負值）矯頑磁場的 Hc 處 B = 0。需要注意的是。表中記錄的數據精確地表征了 COMSOL Multiphysics “AC/DC 模塊”的“材料庫”中的可退磁非線性磁體材料。

如果您希望導入自己的數據，請查閱軟件內置的案例材料。需要注意的是，您需要提供矯頑磁場 Hc和適當放置的退磁曲線。考慮到初始的曲線跨越了第二象限，曲線應沿H軸平移 abs(Hc)。操作后，輸入的 B-H 曲線將從 (0,0) 開始，在 abs(Hc) 值處剩余通量密度達到 Br。更多操作指導請查閱AC/DC Module User’s Guide。

“AC/DC模塊”的“材料庫”中可用的可退磁非線性永磁體材料的第二象限 B-H 曲線數據。

四個過程中鋁鎳鈷合金元件中心的磁通密度水平分量的軌跡如下圖所示。不同顏色代表不同的階段：

藍色曲線：與電流饋電相關（該步驟從左開始，始于 H = 0 處，無電流；在右側很遠處達到最大磁化強度）

綠色曲線：與斷開電流的過程相關（從右側很遠處開始；在左邊 H = 0 處磁通密度達到有限值，此時線圈中沒有電流流經）

紅色曲線：與由于被從磁路中取出而導致的退磁過程相關；與上表中的數據完全相同

藍綠色曲線：重新將磁體插回磁路中；此過程從左邊開始（整個磁體脫離磁路），在右邊結束（磁體完全位于磁路內）

四個階段過程中鋁鎳鈷合金中心的磁通密度的水平分量。

下方視頻展示了向鋁鎳鈷合金元件施加條件，這些條件生成了上圖中的軌跡。

值得注意的是，這些仿真都非常簡單，均為穩健的參數化穩態仿真，而且最終始于之前的求解結果。利用這種設置，開發相同的三維模型或者更復雜的幾何形狀都可以變得很簡單。如上文所述，我們使用了之前的求解數據來關聯不同區域的特性。這解釋了為什么上方的曲線圖中存在細微的不連續。

我們可以對模型進行調整，使過程精準地連續在一起，但是區分最終的附加參數可能需要更多信息和測量數據。通過這些操作步驟，我們發現測量值或許不是必要信息，利用通常可用的材料數據也可以獲取合理的求解結果。

回顧上方曲線圖中的磁滯回線，我們可以對x軸代表的物理量做個記錄。對于步驟 1 和 2 中的x軸，我們自然會將它理解為與驅動電流成正比的物理量。在步驟 3 和 4 中，線圈內沒有電流，磁場依賴于元件的空間位移。因此很難毫不猶豫地判斷應該在 x 軸上應用哪一個物理量。在步驟 3 中，我們使用了內置變量 axialH。在步驟 4 中，我們采用了與磁路之間的歸一化位移。這些不同的定義對于解釋 B-H 曲線很重要，它可以幫您在創建繪圖時摸清研究者的意圖（也就是說使用哪個實驗裝置）。

本例清楚表明，我們可以在不同的研究中替換成不同的本構關系，針對這些本構關系的特性，我們可以根據之前計算結果中的變量寫入任何表達式。為了不陷入復雜的討論，所以我們在本文中采用了最簡單的方法。至于更先進和精密的鋁鎳鈷合金元件被從磁路中取出和再插入的三維模型，可以查閱自退磁模型。該模型為磁體的再插入過程添加了一個局部的線性反沖模型。

結論

在本篇文章中，我們分析了 COMSOL Multiphysics 和“AC/DC 模塊”中各種模擬磁性材料的選項。我們首先闡述了磁學的基本原理，并提供了一組條件，指明了與每一條規律相適應的真實材料和裝置。我們還討論了多物理場模擬功能以及更高級條件的應用方法。

即使如此，在選擇本構規律時，我們僅僅淺顯地觸及一小部分重要考慮因素。我們建議您參考原文末尾的拓展資源，歡迎聯系我們獲取更多關于軟件的信息。