細(xì)思極恐

既然圓周率是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，那么其中是否可能包括這個(gè)世界上可用數(shù)字描述的任何信息，也就是包含了這個(gè)世界？

電話(huà)號(hào)， 生日， QQ號(hào)可能運(yùn)算量比較大，但是6位的銀行卡密碼還是沒(méi)問(wèn)題的。題目本身和Pi是不是正規(guī)數(shù)沒(méi)關(guān)系，但假如承認(rèn) Pi 是個(gè)正規(guī)數(shù)會(huì)有幫助

一個(gè)產(chǎn)生六位隨機(jī)數(shù)的發(fā)生器多久能生成所有六位數(shù)？

這是贈(zèng)券收集問(wèn)題，那么期望就是?，H 是調(diào)和級(jí)數(shù)

所以我算這么多大概就能搜索到所有的可能

嗯，真的把十萬(wàn)個(gè)個(gè)全部搜出來(lái)了

加起來(lái)也就一分鐘就不另外放下載了，自己跑一遍就行

當(dāng)然你說(shuō)要是沒(méi)搜到怎么辦？

這倒是有可能的，但是還是根據(jù)贈(zèng)券收集原理

搞定的概率只有：57%

我在想這個(gè)數(shù)好眼熟....

這個(gè)數(shù)是

如果要以一半概率找到生日的話(huà)需要計(jì)算3.51億位，如果要找手機(jī)號(hào)要計(jì)算4606億位

查了下現(xiàn)在的記錄是22,459,157,718,361（224591億位）， 那么找到手機(jī)號(hào)的幾率>99.9%

http://www.numberworld.org/digits/Pi/#Download

另外很多網(wǎng)站都提供這個(gè)服務(wù)

當(dāng)然一個(gè)非超越無(wú)理數(shù)以概率1是個(gè)正規(guī)數(shù)，那么同樣適用這樣的推理

我的生日是你的生日開(kāi)平方后351084058位開(kāi)始8個(gè)數(shù)字我的手機(jī)是你的手機(jī)號(hào)開(kāi)立方后460653489114位開(kāi)始11個(gè)數(shù)字

但是有個(gè)問(wèn)題，斯特林?jǐn)?shù)有精細(xì)結(jié)構(gòu)沒(méi)法給出漸進(jìn)表達(dá)式

那么考慮非均勻贈(zèng)券收集問(wèn)題

n,i為第$n$次選取后第$i$個(gè)樣本未被選中的情形,于是概率即為相應(yīng)情形之并

然后依容斥原理展開(kāi)：

其中，$J$代表一種選法集合，?，即集合$J$中元素的數(shù)量。

其概率生成函數(shù)為：

接下來(lái)對(duì)于期望而言：

注意到

所以上式可以進(jìn)一步可以寫(xiě)成：

另一方面從累積分布而言：

于是令

我們成功把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)情形：

其中 n 為規(guī)模，t為計(jì)算的位數(shù)

其一階近似就是 n H(n)

這也是臨界情況，加一個(gè)微擾全部找到的概率就是1，減一個(gè)微擾概率就是0。

算10億位還找不全的概率幾乎為0

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