在數字信號處理領域，FIR（有限沖激響應）和IIR（無限沖激響應）濾波器是兩種常見的濾波器類型。它們在設計、性能和應用方面具有顯著差異。

1. 定義

1.1 FIR濾波器

FIR（Finite Impulse Response）濾波器是一種線性時不變（LTI）系統，其輸出信號是輸入信號的有限長度沖激響應的線性組合。FIR濾波器的系統函數可以表示為：

H(z) = b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ... + bN*z^(-N)

其中，b0, b1, ..., bN是濾波器的系數，N是濾波器的長度，z是Z變換的單位根。

1.2 IIR濾波器

IIR（Infinite Impulse Response）濾波器也是一種線性時不變（LTI）系統，但其輸出信號是輸入信號的無限長度沖激響應的線性組合。IIR濾波器的系統函數可以表示為：

H(z) = (a0 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ... + aMz^(-M)) / (1 + aM+1z^(-1) + aM+2z^(-2) + ... + aNz^(-N))

其中，a0, a1, ..., aM是分子系數，aM+1, aM+2, ..., aN是分母系數，M和N分別表示分子和分母的長度。

2. 特點

2.1 FIR濾波器的特點

2.1.1 穩定性

FIR濾波器具有固有的穩定性，因為其分母始終為1，不會引入極點。這意味著FIR濾波器不會發生振蕩或不穩定的現象。

2.1.2 線性相位

FIR濾波器可以設計為具有線性相位特性，即輸出信號的相位與輸入信號的頻率成線性關系。這使得FIR濾波器在處理信號時不會引入相位失真。

2.1.3 易于設計

FIR濾波器的設計相對簡單，可以通過窗函數法、頻率采樣法等方法實現。這些方法可以直觀地控制濾波器的頻率響應特性。

2.1.4 靈活性

FIR濾波器具有較高的靈活性，可以通過調整濾波器的長度和系數來實現不同的濾波效果。

2.2 IIR濾波器的特點

2.2.1 穩定性

IIR濾波器的穩定性取決于其極點的位置。如果所有極點都位于單位圓內，則IIR濾波器是穩定的。然而，IIR濾波器的設計需要考慮極點的位置，以確保系統的穩定性。

2.2.2 非線性相位

IIR濾波器通常具有非線性相位特性，即輸出信號的相位與輸入信號的頻率不成線性關系。這可能導致信號在處理過程中產生相位失真。

2.2.3 設計復雜性

IIR濾波器的設計相對復雜，需要考慮極點和零點的位置，以實現所需的頻率響應特性。常用的設計方法包括脈沖響應法、雙線性變換法等。

2.2.4 高通濾波特性

IIR濾波器在實現高通濾波器時具有優勢，因為它們可以在較低的濾波器階數下實現較高的截止頻率。

3. 設計方法

3.1 FIR濾波器的設計方法

3.1.1 窗函數法

窗函數法是一種常用的FIR濾波器設計方法。首先確定濾波器的理想頻率響應，然后通過窗函數對其進行加權，以控制濾波器的過渡帶特性。常用的窗函數包括漢明窗、漢寧窗、布萊克曼窗等。

3.1.2 頻率采樣法

頻率采樣法通過在理想頻率響應的特定頻率點上進行采樣，然后通過插值方法得到濾波器的系數。這種方法適用于實現帶通、帶阻等濾波器。

3.1.3 最小二乘法

最小二乘法通過最小化濾波器系數與理想頻率響應之間的誤差來設計FIR濾波器。這種方法可以用于實現各種類型的濾波器，但計算復雜度較高。