本期內(nèi)容

上一篇視頻，我們已經(jīng)對控制系統(tǒng)分析的關(guān)鍵 —— 傳遞函數(shù)進行了深入淺出的介紹（點我穿越回上一期內(nèi)容）。

本期視頻則基于前述概念，簡析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。

01通常，對控制系統(tǒng)的分析主要有兩種思路：

時域分析法

即觀察一段時間內(nèi)，系統(tǒng)輸出跟隨輸入的響應(yīng)關(guān)系。通常會考慮根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)、以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具求解，依據(jù)響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)性能。這種方法相對直觀，但數(shù)學(xué)模型的建立較難。

頻域分析法

轉(zhuǎn)換思路到頻域進行處理。

因為系統(tǒng)頻率特性可通過實驗測定，并且頻率特性本身也能夠反映系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，因此在實際操作中頻域分析法對控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計有著相對更強的實踐意義。 其中圖解法是分析控制系統(tǒng)頻率響應(yīng)的經(jīng)典手段，而最為著名的兩種方法就是以奈奎斯特（Nyquist）命名的幅相特性曲線法和以伯德（Bode）命名的對數(shù)頻率特性曲線法，二者均通過實驗可測的控制系統(tǒng)開環(huán)傳函頻率響應(yīng)特性來完成對系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷。

02由于伯德圖在工程實踐中應(yīng)用更為廣泛，所以今天我們將重點關(guān)注如何利用伯德圖對控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性判斷。

首先，我們在此引入控制系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念：

即，系統(tǒng)對某一頻率下正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖 ：系統(tǒng)頻率響應(yīng)說明

分析求解可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間具有同頻、變幅、移相的關(guān)系。

而能夠反映上述控制系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)特征的數(shù)學(xué)模型，即為系統(tǒng)的頻率特性。因為頻率特性屬于傳遞函數(shù)的特例，其實質(zhì)為定義在復(fù)平面(s平面)虛軸上的傳遞函數(shù)，將它寫為復(fù)數(shù)形式后，可以看到該復(fù)數(shù)的模表征了系統(tǒng)的幅頻特性、相角表征了系統(tǒng)的相頻特性：

據(jù)此可知，通過向待測系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號，且不斷改變頻率ω的取值，并測量與每一個ω值對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出，記錄相應(yīng)頻率下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比和相角差，即可繪制幅值比與相角差隨頻率ω變化的曲線，從而求解幅頻特性與相頻特性表達式，這是一種非常直觀且實踐意義極強的系統(tǒng)特征分析方法。

而伯德提出的對數(shù)頻率特性圖解法，是將系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性分別畫在兩個對數(shù)坐標系中進行分析，由一幅對數(shù)幅頻曲線和一幅對數(shù)相頻曲線合為完整的對數(shù)頻率特性曲線：

圖 ：對數(shù)頻率特性曲線 (伯德圖)

對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標表示頻率ω，并按對數(shù)分度十倍頻程；

對數(shù)幅頻曲線L(ω)的縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，即20lgA(ω)，線性均勻分度，單位是分貝，即幅頻特性A(ω)每變化十倍，對數(shù)幅頻特性L(ω)變化20dB；

對數(shù)相頻曲線φ(ω)的縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值，線性均勻分度，單位是度或弧度。

選擇在對數(shù)坐標系內(nèi)分析，最直觀的好處就是能夠?qū)⒈硎究刂葡到y(tǒng)內(nèi)環(huán)節(jié)串聯(lián)的幅頻特性乘除運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)坐標系內(nèi)的加減運算，從而簡化曲線繪制；即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通常可以表示為若干個典型環(huán)節(jié)相乘形式，實際分析時就可以根據(jù)各頻段下起主導(dǎo)作用的典型環(huán)節(jié)伯德圖來直接完成系統(tǒng)開環(huán)伯德圖的繪制。

圖 ：控制系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)伯德圖示意

03隨著計算機輔助設(shè)計及儀器測量技術(shù)的發(fā)展，更多情況下，工程師朋友們面臨的往往是根據(jù)儀器已經(jīng)測得的伯德圖來分析系統(tǒng)性能。

其中，頻域性能指標最關(guān)鍵的參數(shù)就是穩(wěn)定裕度：

穩(wěn)定裕度可以定量地表征系統(tǒng)當前距離穩(wěn)定邊界(臨界穩(wěn)定)的遠近，是評價系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標，也是系統(tǒng)設(shè)計的重要依據(jù)之一。

良好的穩(wěn)定裕度可以有效彌補分析設(shè)計過程中的簡化處理或?qū)嶋H參數(shù)擾動等因素帶來的偏差影響。

那么如何通過伯德圖來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度呢？

讓我們回到最基本的控制系統(tǒng)判穩(wěn)條件：系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(特征方程的根) 均具有負實部。

這意味著當系統(tǒng)不穩(wěn)定時，特征方程的根具有正實部，即此時不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)不收斂的振蕩發(fā)散狀態(tài)，此時可認為穩(wěn)態(tài)時閉環(huán)傳遞函數(shù)無窮大，從而可以推導(dǎo)得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=-1。

由此可以繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為-1的系統(tǒng)伯德圖，這就是系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的邊界：

圖 ：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的伯德圖

穩(wěn)定裕度則代表實際控制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線距離幅頻和相頻穩(wěn)定邊界的遠近，穩(wěn)定裕度越高，意味著系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性與穩(wěn)定邊界相去甚遠，則系統(tǒng)抗擾性越好，在真實世界的各種外界擾動下更能實現(xiàn)穩(wěn)定。

利用伯德圖解法進行開環(huán)傳遞函數(shù)分析時，需要關(guān)注兩個關(guān)鍵頻率點：

定義ω_c為開環(huán)截止頻率，這一頻率點上系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的幅值增益為1

定義ω_g為相角穿越頻率，這一頻率點上系統(tǒng)相頻響應(yīng)的相角為-180°

圖 ：相位裕量與幅值裕量的定義

二者即為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)傳函G(s)H(s)=-1所定義的邊界。

定義相位裕量為γ=180°+φ(ω_C)，表征：

此時系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性不變的情況下，若相頻特性再滯后γ度，系統(tǒng)將觸碰穩(wěn)定邊界。

定義幅值裕量為h=1/(A(ω_g))，在對數(shù)頻率特性坐標系中表示為L_h=20 lg?h=-20lgA(ω_g )=-L(ω_g)，表征：

此時系統(tǒng)開環(huán)相頻特性不變的情況下，幅頻特性再增大h倍，系統(tǒng)將觸碰穩(wěn)定邊界。

一般相位裕量γ>0°理論上即可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕量越大則系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，工程上一般要求設(shè)計時γ≥40°；

而幅值裕量h>1、對數(shù)幅值裕量L_h≥0dB時也可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定，幅值裕量越大，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，類似地，工程上一般會在設(shè)計時要求保證L_h≥6dB (6-10dB)。

因此，對于一個控制系統(tǒng)來說，假如它能夠?qū)崿F(xiàn)在開環(huán)幅頻特性穿越0dB線時帶來的相位滯后少于-180°，或開環(huán)相頻特性穿越-180°線時其開環(huán)幅頻特性已經(jīng)遠低于0dB線，這樣的對數(shù)幅頻特性“穿越”才是表征系統(tǒng)穩(wěn)定的可靠“穿越”。

04下面，我們來關(guān)注伯德圖判穩(wěn)在電源設(shè)計中的實際應(yīng)用。

BODE100 環(huán)路分析儀可以輔助測量電源系統(tǒng)的伯德圖，以MPQ4423C的評估板為例，進行伯德圖的實測：

圖 ：MPQ4423C環(huán)路測試示意

24V輸入，5V輸出帶2A負載的情況下，MPQ4423C測得伯德圖如圖所示：

圖 ：EVQ4423C環(huán)路測試結(jié)果

通過觀察紅色的幅頻特性曲線與0dB線的交截點可以判斷得到MPQ4423C的截止頻率為60kHz； 而開環(huán)截止頻率通常有個工程師更為熟悉的名字——帶寬，表征系統(tǒng)的響應(yīng)速度；帶寬越高，意味著面對動態(tài)負載時系統(tǒng)輸出跟隨輸入的響應(yīng)能力越快。 由于BODE 100環(huán)路分析儀在做處理的時候，已將相頻特性曲線整體抬升180°，故通過觀察藍色的相頻特性曲線在截止頻率下距離0°線的距離，即可直接得出系統(tǒng)的相位裕度為67.455°，意味著MPQ4423C有著相當優(yōu)越的穩(wěn)定性。 這一期的系統(tǒng)判穩(wěn)就講到這啦。

下一期我們會和大家探討“環(huán)路參數(shù)具體該如何調(diào)節(jié)”，請大家持續(xù)關(guān)注電源小課堂后續(xù)視頻！

審核編輯：湯梓紅