我們知道，濾波器通常用于降低噪聲并提高數(shù)據(jù)質(zhì)量。

注意這個(gè)濾，指的是衰減而非一刀切~

但是在濾波的過程中會出現(xiàn)各種問題，這些問題有的會對最終結(jié)果產(chǎn)生極大的影響，導(dǎo)致我們的結(jié)果很難解釋清楚。

腦科學(xué)的主要挑戰(zhàn)之一是在測量時(shí)會存在噪聲和偽跡污染。

這些可能包括環(huán)境噪聲，儀器噪聲或由體內(nèi)信號源產(chǎn)生的噪聲，很明顯，我們對這些干擾信號不感興趣。

舉個(gè)最簡單的例子，如果信號和干擾占據(jù)不同的頻段，那么我們可以通過對數(shù)據(jù)應(yīng)用濾波器來改善信噪比（SNR），也就是將干擾衰減至最低，同時(shí)保證有用信號完美通過。

而濾波，也就是對信號進(jìn)行不同程度地衰減，也可以理解為對信號的放大倍率進(jìn)行處理，一個(gè)意思。

接下來，我們來看一看從數(shù)據(jù)記錄到最終展示出來，都在哪里應(yīng)用到了濾波：

共5處，綠色框處為模擬濾波，紅色框處為數(shù)字濾波。

我們最開始采集到的大腦數(shù)據(jù)是連續(xù)的模擬信號，為了轉(zhuǎn)換成我們處理起來更方便的離散的數(shù)字信號，就會用到 ADC （模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換器）。對于現(xiàn)代信號處理來說，這種處理已經(jīng)從模擬領(lǐng)域逐漸轉(zhuǎn)至數(shù)字領(lǐng)域了。

① 測量裝置或放大器

可能包括 高通濾波器和陷波濾波器 ，而像腦電這類記錄細(xì)胞外腦活動(dòng)的測量裝置的放大器通常是交流耦合的，所以這里可以省略高通。

PS：這里可能會涉及一些耦合電容等電路上的概念，就不展開講了，有興趣的讀者可自行百度~

② ADC

就是模數(shù)轉(zhuǎn)換，但在 AD轉(zhuǎn)換 （模-數(shù)轉(zhuǎn)換）之前，會有一個(gè)低通抗混疊濾波器。這個(gè)抗混疊濾波器的作用是：濾除奈奎斯特頻率以上的頻率分量。

這里單獨(dú)講一講：當(dāng)今的數(shù)據(jù)處理幾乎都是在數(shù)字領(lǐng)域進(jìn)行的，這就要求信號在時(shí)間上進(jìn)行離散采樣。而在采樣過程中只保留采樣點(diǎn)的值，因此此時(shí)的信號是模糊的。

如果這種采樣信號滿足一定的條件，那么就可以完美重建原始信號，這里引入 奈奎斯特采樣定理 ：采樣頻率要大于兩倍信號所包含的最高頻率；

但在真正應(yīng)用時(shí)，我們一般都會取最高頻的3~5倍或更高，來作為采樣頻率。這個(gè)采樣頻率的一半，就稱作奈奎斯特頻率，或奈奎斯特極限，這個(gè)極限是完美重構(gòu)原始信號的關(guān)鍵。

而如果在采樣時(shí)，奈奎斯特頻率以上還存在更高的頻率分量，那么我們還原后的數(shù)字信號就會產(chǎn)生失真（混疊），混疊是指采樣信號被還原成連續(xù)信號時(shí)產(chǎn)生彼此重疊而失真的現(xiàn)象，在理想濾波的情形下，濾掉高于奈氏頻率的信號成分即可防止混疊。

為了保證我們可以完美重建信號，我們需要將奈氏頻率以上的頻率分量全部濾除。抗混疊濾波就是做這個(gè)的。

③ 預(yù)處理

包括低通、高通、陷波等等，視需求而定。

低通 ：一般用于濾除高頻分量和消除毛刺。

高通 ：一般用于消除直流（DC）分量和緩慢漂移電位的影響。

陷波 ：一般用于消除市電干擾（50、60Hz）。

但除了50Hz這種電源工頻干擾，還存在由其產(chǎn)生的整數(shù)倍的諧波干擾（100、150Hz等），文獻(xiàn)的作者提出：可以應(yīng)用boxcar smoothing kernel of size 1/50 Hz來解決。

PS:這個(gè)我也沒有見過，百度了一下好像是一種加矩形窗的函數(shù)，效果就是在電源的各個(gè)諧波上都有零點(diǎn)，從而真正消除電源干擾。

④ 數(shù)據(jù)分析

可能涉及帶通濾波（例如，隔離標(biāo)準(zhǔn)頻段，如'alpha''或''gamma''）或TF分析。

⑤ 展示

可能需要額外的平滑（也就是低通濾波），以去除毛刺/鋸齒。、

PS：這里我們先大致按以下方式理解一下低頻和高頻：低頻代表了整個(gè)信號的緩慢的變化趨勢，高頻代表了信號局部的劇烈變化。

好，我們接著往下講：

通俗來說，濾波器就是修改輸入信號的頻譜內(nèi)容的東西。

對于數(shù)字濾波器來說：t是分析時(shí)間點(diǎn)，h（n）（n = 0，....，N）是沖激響應(yīng)，上面這個(gè)方程就是卷積（也可以按滑動(dòng)平均來理解）。

沖激響應(yīng) (Impulseresponse，或者叫脈沖響應(yīng))就是某個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系的基本特征，它是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，也就是在這個(gè)濾波器一出生時(shí)就定好了的！

沖激響應(yīng)這個(gè)概念比較重要，需要大家理解，以方便之后理解卷積。

線性時(shí)不變：線性和時(shí)不變，都是針對一個(gè)系統(tǒng)說的，這個(gè)系統(tǒng)可以是濾波器，也可以是別的等等。

①線性：指系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性，疊加性指：當(dāng)多個(gè)輸入作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出等于單個(gè)輸入的作用之和；

②齊次就是輸入放大n倍，輸出也放大n倍。

卷積 ：輸出 = 輸入 * 系統(tǒng)(輸入與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)做卷積，得到系統(tǒng)的輸出)，同樣，這個(gè)系統(tǒng)可以是濾波器，也可以是別的什么東西。任一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出都可以通過將輸入信號與系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)的沖激響應(yīng)）做卷積獲得。

或者可以這么理解，

卷積是某一時(shí)刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成的，然后再把不同時(shí)刻的輸出點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是輸出的函數(shù)。

在講述下面這張圖之前，先明確一個(gè)概念：因果性。

我們說，如果這個(gè)系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的輸出僅僅與當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)及之前時(shí)間點(diǎn)的輸入有關(guān)，那么我們說這個(gè)系統(tǒng)是因果的；反之，如果這個(gè)系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的輸出還與之后時(shí)間點(diǎn)的輸入有關(guān)，那么我們說這個(gè)系統(tǒng)是非因果的。

結(jié)合這張圖來理解卷積。這張圖基于的是因果系統(tǒng)：綠線為輸入信號，它的時(shí)間序列是離散的；灰線為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是這個(gè)系統(tǒng)自身的特性；紅線為輸出。

上下兩部分講的是一個(gè)東西。咱們以上面的為例：輸出y的每個(gè)瞬時(shí)值是由沖激響應(yīng)h(n)加權(quán)后的輸入x的瞬時(shí)值之和。對于因果濾波器，僅輸入的過去或現(xiàn)在的瞬時(shí)值作出貢獻(xiàn)（對應(yīng)到h(n)的黑色部分）。對于非因果過濾器，未來的樣本也可以貢獻(xiàn)（對應(yīng)到h(n)的灰色部分）。

如果沒有理解，那么再來看下圖：描述卷積過程的另一種方式是輸入x的每個(gè)瞬時(shí)值影響輸出y的多個(gè)瞬時(shí)值，其影響的權(quán)重由沖激響應(yīng)h(n)確定。

而按照n的有限長或是無限長，我們又可將濾波器分為 FIR和IIR 。

**IIR（無限沖激響應(yīng)）**由于其無限長的沖激響應(yīng)，導(dǎo)致其幅頻特性精度很高，但其相位是非線性的，可以應(yīng)用于對相位信息不敏感的信號上；

**FIR（有限沖激響應(yīng)）**的幅頻特性精度較之于IIR低，但是相位是線性的，所以不同頻率分量的信號經(jīng)過FIR濾波器后不發(fā)生相移。

我們再來說說濾波器的性能：性能取決于過渡帶的陡度，過渡帶的陡度取決于濾波器的類型和階數(shù)。過渡帶可以大致理解為：通帶與阻帶間的部分。

下圖為四種常見類型的濾波器：低通，高通，帶通和陷波。

上半部分是幅度譜，下半部分是每個(gè)濾波器的沖激響應(yīng)。

對于每個(gè)濾波器，顯示了兩個(gè)版本，前三個(gè)的藍(lán)色為4階巴特沃斯濾波器，紅色為16階。第四個(gè)藍(lán)色為Q因子（中心頻率與帶寬的比率）為1(紅為10）的二階濾波器。

我們可以看到：階數(shù)越高，性能越好。同時(shí)在頻域中過渡帶越陡，在時(shí)域中沖激響應(yīng)越寬（時(shí)域擴(kuò)展-頻域壓縮）。

了解了以上這些，我們來看看濾波器是如何影響大腦數(shù)據(jù)的。

以下，我們將回顧在大腦活動(dòng)的時(shí)間序列中可能出現(xiàn)的一些典型“事件”，并了解它們?nèi)绾问艿匠Ｓ脼V波器的影響。

這個(gè)問題的答案取決于數(shù)據(jù)和濾波器。

1.脈沖或尖峰

在大腦的短暫的局部活動(dòng)中，其神經(jīng)元的“尖峰”活動(dòng)可以被建模為一個(gè)或幾個(gè)脈沖。

下圖為：濾波對短暫的局部事件（脈沖或尖峰）的影響。

系統(tǒng)的響應(yīng)(輸入稱為激勵(lì)，輸出是響應(yīng))隨時(shí)間擴(kuò)展（即，不再精確地在時(shí)間上定位）并且如果濾波器是因果關(guān)系則輸出會有延遲。如果濾波器是零相位（綠色），則消除整體延遲，但響應(yīng)是非因果的（即綠線所示）。

這種響應(yīng)可能包括由于濾波器振鈴效應(yīng)引起的多個(gè)偽特征。

什么是振鈴效應(yīng)？

振鈴效應(yīng) ，原指在圖像處理中，對一幅圖像進(jìn)行濾波處理時(shí)，若選用的頻域?yàn)V波器具有陡峭的變化，則會使濾波圖像產(chǎn)生“振鈴”。

我們以理想低通濾波為例，其在時(shí)域上的表現(xiàn)為sinc函數(shù)，對于辛格函數(shù)sinc而言，經(jīng)過傅里葉變換之后的函數(shù)形式為窗函數(shù)（理想低通濾波器在頻域上的形狀）形式，用圖像表示如下：

濾波，就是將系統(tǒng)與輸入在頻域相乘，轉(zhuǎn)換到在時(shí)域上就是卷積，由于受到sinc兩邊余波的影響，導(dǎo)致圖像出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象（這里要理解卷積的概念，才能更好地理解振鈴現(xiàn)象）。

上述影響的性質(zhì)取決于濾波器，可以通過觀察其沖激響應(yīng)來判斷。

下圖為一系列常用濾波器的沖激響應(yīng)。

左圖為沖激響應(yīng)的時(shí)間序列，橫軸為持續(xù)時(shí)間lag(s)；右圖顯示了其絕對值的對數(shù)(在60 dB處截?cái)?。綠色為非因果濾波器。

可見：高階濾波器時(shí)間跨度更大。帶通濾波器具有相對較長的脈沖響應(yīng)，特別是當(dāng)帶寬較窄時(shí)。

但是真實(shí)的大腦事件與無限狹窄的單極脈沖不同，因?yàn)樗鼈兊膶挾仁怯邢薜模虼藢φ鎸?shí)大腦事件的反應(yīng)將與理想的脈沖響應(yīng)有所不同。在濾波器對大腦事件的響應(yīng)過程中，寬度大于事件特征寬度的沖激響應(yīng)是可以被識別的。同時(shí)較窄的特征可能出現(xiàn)平滑。

2.階躍

某些大腦事件可以被建模為階躍函數(shù)。下圖說明了濾波可以影響階躍式大腦事件的各種方式。可以平滑響應(yīng)（低通濾波器）和延遲響應(yīng)（因果濾波器）。

穩(wěn)態(tài)部分可能丟失（高通濾波器），并且可能出現(xiàn)虛假特征，其中一些可能發(fā)生在事件之前（非因果濾波器，綠色）。

這些影響的性質(zhì)還是取決于濾波器。可以從濾波器的階躍響應(yīng)(沖激響應(yīng)隨時(shí)間的積分)推斷出來。

A說明：濾波器為因果會造成事件延遲。

B說明：濾波器為非因果則會提前。

對于高通（C-E）或帶通（F-H）濾波器來說，穩(wěn)態(tài)部分會丟失。響應(yīng)可能包括虛假的偏移，如果濾波器是非因果性的，則其中一些出現(xiàn)在事件之前。(Filtfilt是用于設(shè)計(jì)非因果濾波器的函數(shù))。

響應(yīng)還可能是由振鈴效應(yīng)引起的振蕩(F-H)。

但是實(shí)際的階躍式大腦活動(dòng)與理想的階躍是不同的。在輸出中，可以識別出比事件開始時(shí)的階躍響應(yīng)更寬的階躍響應(yīng)，而較窄的會變得平滑。

需要注意的是，穩(wěn)態(tài)部分的偏移會導(dǎo)致相反極性的階躍響應(yīng)。

3.振蕩活動(dòng)

大腦中的一些活動(dòng)是振蕩的。這種振蕩活動(dòng)可以被看作是正弦脈沖。

下圖為濾波對正弦脈沖的響應(yīng)：一個(gè)脈沖的時(shí)間序列受到濾波的影響:它會隨著時(shí)間的推移而平滑和擴(kuò)散，如果濾波是因果的，它可能會延遲，如果濾波是非因果的，它可能會比事件開始的更早。

當(dāng)濾波器的通帶較窄時(shí)(人們可能想用它來增加這種振蕩活動(dòng)的信噪比)，這種影響就更明顯。

對于調(diào)到脈沖頻率的陷波濾波器，這種抑制可能會延遲，而且在脈沖之后可能會有一個(gè)反彈的偽跡(振鈴效應(yīng))。非因果的話，該偽跡會在事件出現(xiàn)之前或之后出現(xiàn)。

濾波過程中會出現(xiàn)的問題：

1.有用信息的丟失和噪聲一起被抑制。

2.目標(biāo)的時(shí)間特征的失真:峰值或過渡帶可能被平滑，階躍可能變成脈沖，并且可能出現(xiàn)偽跡。

3.信號內(nèi)部特征之間或信號與外部事件(如刺激)之間的時(shí)間或因果關(guān)系模糊不清。

4.時(shí)頻（TF）分析

在時(shí)頻分析中，濾波器涉及的大多是比較底層的數(shù)據(jù)收集，從而影響最終的時(shí)頻分析圖。

時(shí)頻分析圖就是：在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)，分析產(chǎn)生一個(gè)頻譜，這些頻譜被連接起來形成二維的分析圖；或者我們可以將其等價(jià)為：在每個(gè)頻率使用一個(gè)濾波器。

下圖為：時(shí)頻分析引起的時(shí)間關(guān)系模糊

STFT頻譜圖中，對于所有頻率，分析窗口的大小是相同的。相反，在小波頻譜圖中，這個(gè)窗的大小隨頻率而變化，因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的每個(gè)分析窗口跨越的周期的數(shù)量是相同的。

因此，結(jié)合前面的內(nèi)容，TF的結(jié)果要么相對于數(shù)據(jù)中的事件存在延遲(因果分析)，要么在一定程度上反映了未來的事件(非因果分析)。

所以這種模糊的、非因果關(guān)系可能會誤導(dǎo)最終結(jié)論。

①報(bào)告完整的濾波器參數(shù)

比如說濾波器的類型、階數(shù)、頻率參數(shù)，以及它是應(yīng)用于一個(gè)方向還是同時(shí)應(yīng)用于兩個(gè)方向的，還有沖激響應(yīng)(和/或階躍響應(yīng))的圖。

②使用低通時(shí)，要確認(rèn)：是否需要增強(qiáng)圖像的清晰度，或者是否要衰減高頻功率。

③若僅需要高通濾波器來消除恒定的DC偏移，則考慮采用減去整體均值的方法；如果還有一個(gè)緩慢的趨勢，請考慮“去趨勢”而不是高通濾波。

去趨勢引入了一個(gè)擬合函數(shù)（通過緩慢變化以適應(yīng)趨勢），將該函數(shù)擬合到數(shù)據(jù)然后減去引入的擬合函數(shù)。這種合適的擬合函數(shù)是一個(gè)低階多項(xiàng)式。

去趨勢與濾波一樣，去除趨勢對類似于毛刺的一類信號很敏感；但是這些可以通過“強(qiáng)有力的去趨勢”來解決。

④帶通濾波

盡量避免使用帶通濾波，因?yàn)闀碚疋徯?yīng)。即使為了提升信噪比而必須使用的話，也要選擇具有相對平坦的過渡帶和遠(yuǎn)離目標(biāo)頻段的截止頻率的濾波器。

⑤陷波

陷波濾波通常是為了抑制電源噪聲。同時(shí)作為濾波的替代方案，可以測量一個(gè)或多個(gè)參考通道上的電源噪聲并將其從數(shù)據(jù)中回歸。

如果高頻不感興趣，則可使用1/50 Hz的boxcar平滑內(nèi)核(一種加矩形窗的函數(shù))。這種簡單的低通濾波器在電源工頻及其所有諧波處都有零點(diǎn)，從而可以完美消除電源噪聲及相關(guān)諧波干擾。

⑥時(shí)頻分析

如果感興趣的部分可以在時(shí)域中解釋，那么就可以避免TF分析。如果必須應(yīng)用TF分析，則考慮使用離散傅里葉變換來進(jìn)行分析，而不是小波分析。

若要使用小波分析，則應(yīng)使用相對較短的分析窗口來減少時(shí)間偏差，同時(shí)仔細(xì)考慮因果分析（有相位偏差但沒有因果關(guān)系問題）和非因果分析（無相位偏差但存在被誤認(rèn)為是因果關(guān)系的風(fēng)險(xiǎn)）之間的選擇。

要做到以上這些，我們可能需要：

了解我們使用的濾波器；了解存在的噪聲；在源頭消滅噪聲(不太可能)；確保擁有足夠的抗混疊；考慮濾波的替代方案；選擇正確的濾波器。