概述

本文研究了一種新的二維近場(chǎng)微波毫米波合成孔徑雷達(dá)（SAR）成像系統(tǒng)多頻壓縮傳感（CS）模型，該模型通常收集多頻稀疏數(shù)據(jù)。每個(gè)頻率的空間數(shù)據(jù)在小波基下表示為分層樹(shù)結(jié)構(gòu)，不同頻率的空間數(shù)據(jù)被建模為聯(lián)合結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗鼈兏叨认嚓P(guān)。基于所開(kāi)發(fā)的多頻CS模型，利用頻率內(nèi)和頻率間的相關(guān)性，提出了一種新的CS方法，并豐富了現(xiàn)有的CS方法，用于欠采樣測(cè)量的二維近場(chǎng)微波和毫米波SAR圖像重建。將拆分布雷格曼更新與平行快速迭代收縮閾值算法近端算法的變體相結(jié)合，所提出的CS方法最小化了五個(gè)項(xiàng)的線性組合：最小二乘數(shù)據(jù)擬合，多L數(shù)據(jù)擬合1范數(shù)，多總變異范數(shù)，關(guān)節(jié)稀疏性l21范數(shù)和樹(shù)稀疏性重疊 l21規(guī)范。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法在效率和收斂速度方面均具有優(yōu)異的性能。

第一節(jié).

雷達(dá)成像是一種逆散射問(wèn)題，其中電磁信號(hào)脈沖被傳輸?shù)綀?chǎng)景，并通過(guò)散射電場(chǎng)的測(cè)量重建反射率的空間圖。合成孔徑雷達(dá)（SAR）成像系統(tǒng)通常與移動(dòng)天線探頭一起運(yùn)行，該探頭以高帶寬和高空間分辨率對(duì)目標(biāo)場(chǎng)景進(jìn)行采樣，如果根據(jù)香農(nóng)-奈奎斯特定理重建圖像，則需要在頻域和空間域中實(shí)現(xiàn)高采樣率。然而，壓縮感知（CS）的最新進(jìn)展將SAR圖像重建視為為一組未確定的線性方程找到稀疏解，該方程能夠生成測(cè)量值低于Nyquest采樣率的高分辨率圖像。CS-SAR方法已成功應(yīng)用于各種遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)用，這些應(yīng)用通常從移動(dòng)平臺(tái)（如飛機(jī)或衛(wèi)星）生成靜止表面目標(biāo)和地形的高空間分辨率圖像。例如提出了一種匹配濾波的替代方案，通過(guò)使用正則化正交匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)方位角壓縮，用于檢索被照亮的場(chǎng)景。使用范數(shù)優(yōu)化來(lái)降低方位方向的采樣率。基于貝葉斯CS實(shí)現(xiàn)距離和方位角壓縮采樣，這需要對(duì)傳統(tǒng)的SAR系統(tǒng)進(jìn)行微小的更改。此外，CS還應(yīng)用于其他遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)用，例如逆SAR和層析SAR。

相比之下，近場(chǎng)雷達(dá)成像通常在比遠(yuǎn)場(chǎng)場(chǎng)景相對(duì)較近的距離內(nèi)工作，并且在圖像重建中考慮了波前曲率。當(dāng)在高頻下運(yùn)行時(shí)，近場(chǎng)SAR成像系統(tǒng)由于其波長(zhǎng)小，可以實(shí)現(xiàn)高空間分辨率。成熟的微波頻譜范圍約為300 MHz至30 GHz，而30-300 GHz的頻率跨度與毫米波頻譜相關(guān);相應(yīng)的波長(zhǎng)范圍分別為1 000–10 mm和10–1 mm。近場(chǎng)微波和毫米波成像系統(tǒng)結(jié)合了成像技術(shù)，如透鏡聚焦和近場(chǎng)校正技術(shù)，在各種測(cè)試和監(jiān)測(cè)應(yīng)用中將分辨率提高到毫米級(jí)。值得注意的是，入射波和散射波的干擾是由于目標(biāo)表面粗糙而發(fā)生的，并且取決于被測(cè)試樣（SUT）的幾何形狀。與遠(yuǎn)場(chǎng)SAR應(yīng)用相比，通過(guò)對(duì)照亮SUT的信號(hào)施加相當(dāng)大的帶寬，在近場(chǎng)應(yīng)用中，這種干擾引起的散斑噪聲和幾何畸變大大降低，并且散斑噪聲和幾何畸變隨著信號(hào)帶寬的增加而逐漸消失。在我們的應(yīng)用中，我們使用了如此寬的頻段，因此斑點(diǎn)噪聲和幾何畸變不是問(wèn)題。

用于無(wú)損檢測(cè)和評(píng)估（NDT&E）的近場(chǎng)微波和毫米波成像技術(shù)，為了對(duì)SUT進(jìn)行成像，使用寬帶微波或毫米波穿透介電材料并與SUT的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互作用。來(lái)自SUT的反射散射體由接收器采集，并處理接收到的反射系數(shù)以呈現(xiàn)全面的圖像以供檢查。近場(chǎng)SAR成像系統(tǒng)通常使用收發(fā)器天線使用精密自動(dòng)掃描儀在統(tǒng)一的二維測(cè)量網(wǎng)格上對(duì)SUT進(jìn)行光柵掃描，并且沿孔徑所需的采樣率由許多因素決定，包括波長(zhǎng)，孔徑大小，目標(biāo)大小以及與目標(biāo)的距離傳統(tǒng)的均勻采樣需要采樣空間來(lái)滿足奈奎斯特采樣標(biāo)準(zhǔn)，即使是合理大小的SUT ，所需的測(cè)量點(diǎn)總數(shù)通常也很大。這些SAR成像系統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集速度較慢，阻礙了其實(shí)際應(yīng)用。最近開(kāi)發(fā)的CS技術(shù)通過(guò)在均勻網(wǎng)格上隨機(jī)采樣一小部分空間點(diǎn)并大大減少數(shù)據(jù)采集時(shí)間，顯示出有希望的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)表明，只要空間點(diǎn)的數(shù)量保持不變，多頻測(cè)量就會(huì)使用相同的掃描時(shí)間，因此多頻測(cè)量通常用于2D圖像和3D圖像。
在一些NDT&E應(yīng)用中，目標(biāo)的2D圖像是足夠的或優(yōu)選的，然后從多個(gè)頻率重建的2D圖像只需通過(guò)傳統(tǒng)的CS模型平均以減少噪聲。該方法的下劃線假設(shè)是頻率測(cè)量是獨(dú)立的，CS算法僅利用恢復(fù)圖像的標(biāo)準(zhǔn)稀疏性，然而，這種傳統(tǒng)的CS恢復(fù)過(guò)程仍然需要高比例的空間采樣點(diǎn)，有時(shí)會(huì)受到大量噪聲、多重反射、色散或偏振變化等的影響。
很明顯，多頻測(cè)量表現(xiàn)出頻率內(nèi)和頻率間的相關(guān)性。本文介紹了一種新的多頻CS模型，該模型同時(shí)利用了多頻測(cè)量的樹(shù)稀疏性和聯(lián)合稀疏性的相關(guān)性。樹(shù)稀疏性已經(jīng)成功地用于壓縮成像。多頻SAR圖像在小波域中近似樹(shù)稀疏，這意味著，如果樹(shù)上的節(jié)點(diǎn)為非零，則導(dǎo)致根的所有祖先通常也是非零的。關(guān)節(jié)稀疏性是在多測(cè)量向量（MMV）問(wèn)題中提出的群稀疏性結(jié)構(gòu)的一個(gè)有趣的特例，例如多通道壓縮傳感和醫(yī)學(xué)成像。聯(lián)合結(jié)構(gòu)意味著不同頻率的SAR測(cè)量系數(shù)共享一個(gè)共同的非零支撐。通過(guò)將樹(shù)稀疏性和關(guān)節(jié)稀疏性與標(biāo)準(zhǔn)稀疏性相結(jié)合，提出的新型多頻CS模型使我們能夠進(jìn)一步減少恢復(fù)目標(biāo)SAR圖像所需的測(cè)量次數(shù)，并更好地區(qū)分真實(shí)信號(hào)信息和偽影。
基于引入的多頻CS模型，二維SAR圖像重建問(wèn)題成為一個(gè)約束最小化問(wèn)題。我們采用拆分布雷格曼框架將這個(gè)約束最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一系列無(wú)約束問(wèn)題，這些問(wèn)題最小化了兩個(gè)項(xiàng)的線性組合。一個(gè)項(xiàng)是最小二乘數(shù)據(jù)擬合，另一個(gè)項(xiàng)是反映先驗(yàn)的懲罰函數(shù)。這個(gè)新 CS 模型的懲罰函數(shù)包含一個(gè)范數(shù)、一個(gè)多電視范數(shù)、一個(gè)聯(lián)合稀疏性范數(shù)和一個(gè)樹(shù)稀疏性重疊的范數(shù)。由于復(fù)合結(jié)構(gòu)復(fù)雜，該懲罰函數(shù)導(dǎo)致難以解決的無(wú)約束最小化問(wèn)題，無(wú)法通過(guò)傳統(tǒng)的近端分裂方法有效解決，如正向-后向（FB）分裂算法、道格拉斯-雷奇福德分裂算法、乘數(shù)交替方向法、乘數(shù)同時(shí)方向法和廣義FB分裂算法。
在本文中的其余部分，我們首先介紹近場(chǎng)SAR的基礎(chǔ)知識(shí)和2-D近場(chǎng)SAR成像系統(tǒng)的CS方法。接下來(lái)，我們描述了所提出的多頻CS模型和相應(yīng)的CS最小化，以利用SAR數(shù)據(jù)的頻率內(nèi)和頻率間數(shù)據(jù)相關(guān)性。我們還討論了多種稀疏模式的權(quán)重選擇及其對(duì)性能的影響。最后，給出了利用所提多頻CS模型的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并與4個(gè)實(shí)例進(jìn)行了對(duì)比。所提出的多頻CS-SAR方法在使用比現(xiàn)有方法更低的欠采樣率的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了更高的重建圖像質(zhì)量。

第二節(jié).多頻壓縮感知模型

A. 二維近場(chǎng)SAR成像系統(tǒng)

考慮一個(gè)寬帶微波或毫米波SAR成像系統(tǒng)，該系統(tǒng)在XYZ笛卡爾空間中檢查SUT，其中具有特定波束寬度的收發(fā)器天線在SUT上以一定距離進(jìn)行光柵掃描。

值得注意的是，波的振幅衰減與范圍無(wú)關(guān)，因?yàn)樗鼘?duì)聚焦圖像幾乎沒(méi)有影響。近場(chǎng)SAR成像系統(tǒng)還假設(shè)目標(biāo)只有一個(gè)反射，并且假設(shè)目標(biāo)是平坦的，與掃描平面平行。通過(guò)多頻測(cè)量，可以重建目標(biāo)的3D圖像和2D圖像。在一些NDT&E應(yīng)用中，目標(biāo)的2D圖像對(duì)于檢測(cè)SUT是足夠的或首選的。多頻測(cè)量通常需要矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀，它可以非常快速地掃描等距角頻率。因此，減少頻率點(diǎn)的數(shù)量并不能節(jié)省我們應(yīng)用中的采集時(shí)間，盡管它在其他一些雷達(dá)應(yīng)用中很重要且很有價(jià)值，例如探地雷達(dá)。另一方面，減少二維空間掃描區(qū)域的采樣點(diǎn)數(shù)量對(duì)縮短采集時(shí)間起著重要作用。

雖然單頻測(cè)量足以重建二維圖像，但多頻測(cè)量比單頻測(cè)量可以形成更好的目標(biāo)二維圖像。此外，采用完善的CS方法的多頻測(cè)量可以進(jìn)一步減少測(cè)量/采樣點(diǎn)，從而節(jié)省采集時(shí)間。利用多頻測(cè)量的內(nèi)在結(jié)構(gòu)/稀疏性，開(kāi)發(fā)合適的CS方法進(jìn)行二維近場(chǎng)SAR圖像重建具有重要意義。

B. 二維SAR成像系統(tǒng)的壓縮傳感

CS引入了一種新的信號(hào)采集框架，該框架使用一組固定的線性測(cè)量和非線性恢復(fù)過(guò)程，并超越了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣范式[4]。CS方法強(qiáng)調(diào)重建過(guò)程中估計(jì)圖像與實(shí)際收集的原始測(cè)量值之間的一致性。對(duì)于SAR成像系統(tǒng)的每次頻率測(cè)量，恢復(fù)圖像的大小波系數(shù)傾向于生活在有根的，連接的樹(shù)結(jié)構(gòu)上，稱為樹(shù)稀疏性。對(duì)于SAR成像系統(tǒng)的多頻測(cè)量，不同頻率測(cè)量的系數(shù)共享相同的支撐，這稱為聯(lián)合稀疏性。我們探討了結(jié)構(gòu)依賴的樹(shù)稀疏性和聯(lián)合稀疏性，并引入了一種新的多頻CS模型，通過(guò)將它們集成在一起進(jìn)行二維SAR圖像重建

關(guān)節(jié)稀疏性是一種特殊的非重疊群稀疏性，在MMV問(wèn)題中提出。對(duì)于二維近場(chǎng)SAR成像系統(tǒng)，在不同頻率下重建的SUT的二維圖像具有相同的稀疏性模式。換句話說(shuō)，2-D SAR圖像集的有效系數(shù)位于相同的位置。多頻測(cè)量二維SAR成像系統(tǒng)的聯(lián)合稀疏解，即一組稀疏解，共享一個(gè)共同的非零支撐。為了獲得更好的最佳分辨率和圖像質(zhì)量，SAR成像系統(tǒng)通常需要多頻測(cè)量，并且對(duì)于微波和毫米波SAR系統(tǒng)而言，采集間隔尤其嚴(yán)格。由于噪聲和SAR系統(tǒng)的限制，從單頻測(cè)量中恢復(fù)的圖像通常比從多頻測(cè)量中恢復(fù)的圖像遭受更多的陰影和偽影。為了進(jìn)一步提高恢復(fù)圖像的質(zhì)量并減少采樣點(diǎn)的數(shù)量，這個(gè)新的CS模型不僅利用了多頻測(cè)量中的聯(lián)合稀疏性，還利用了每個(gè)頻率測(cè)量中的樹(shù)稀疏性和標(biāo)準(zhǔn)稀疏性（$ell _{41}$規(guī)范和電視規(guī)范）。通過(guò)這種新的多頻CS模型，第三節(jié)中提出的CS方法可以通過(guò)利用更現(xiàn)實(shí)的SAR模型來(lái)大幅降低欠采樣率，該模型超越了簡(jiǎn)單的稀疏性和可壓縮性，并包括信號(hào)系數(shù)的值和位置之間的結(jié)構(gòu)依賴性。

第三節(jié).多頻模型的壓縮感知建議

在重建過(guò)程中具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，分裂布雷格曼框架被證明在處理噪聲測(cè)量方面是有效的。使用分裂布雷格曼框架，約束問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為一系列無(wú)約束問(wèn)題。并行 Dykstra 類近端算法使用并行算子拆分結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜的最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€(gè)更容易的鄰近問(wèn)題。當(dāng)將此算法嵌套在求解的迭代中時(shí)，這將需要多次迭代才能接近最佳結(jié)果，并導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度的大幅增加。為了加速收斂進(jìn)程，通過(guò)將類FISTA更新階段與并行算子拆分結(jié)構(gòu)集成，引入類似FISTA的并行近端算法，如算法2所示。類似 FISTA 的更新步驟在根據(jù)前兩次迭代和顯式動(dòng)態(tài)更新步長(zhǎng)專門構(gòu)造的輔助點(diǎn)進(jìn)行評(píng)估，并使類似 FISTA 的并行近端算法收斂，通過(guò)使用我們的數(shù)值實(shí)驗(yàn)所證明的這一更新步驟，III-B節(jié)中提出的CS方法大大加快了速度。

所提出的CS方法使用分裂布雷格曼更新和并行FISTA類近端算法的變體來(lái)近似問(wèn)題的最優(yōu)結(jié)果。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)所證明的類似FISTA的更新階段，所提出的CS方法大大加快了速度。采用TVL1、TVL1Tree和TVL1Joint三種不同的模型來(lái)驗(yàn)證所提出的多頻CS模型的優(yōu)越性能。通過(guò)同時(shí)考慮該多頻CS模型中的樹(shù)稀疏性和關(guān)節(jié)稀疏性，我們期望所提出的CS方法可以進(jìn)一步減少穩(wěn)定恢復(fù)圖像所需的測(cè)量次數(shù)，并更好地區(qū)分信號(hào)恢復(fù)中的真實(shí)圖像信息與恢復(fù)偽影。

第四節(jié).模擬和實(shí)驗(yàn)評(píng)估

通過(guò)一組模擬、一組漆下腐蝕實(shí)驗(yàn)和一組骨料實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提CS方法的性能。為了證明所提出的CS方法的效率，使用2-D結(jié)構(gòu)相似性（SSIM）指數(shù)進(jìn)行2-D圖像質(zhì)量評(píng)估，并且它被認(rèn)為比峰值信噪比（SNR）或均方誤差更符合人眼感知。將從欠采樣SAR測(cè)量中恢復(fù)的重建圖像與從完全采樣的原始數(shù)據(jù)中恢復(fù)的重建圖像進(jìn)行比較。如果重建的圖像與完整的數(shù)據(jù)重建圖像完全相同，則SSIM將為1。換句話說(shuō)，較大的SSIM指數(shù)對(duì)應(yīng)于更好的重建質(zhì)量，反之亦然。為了證明所提出的多頻CS模型的優(yōu)越性能，使用圖1（a）所示的完全采樣原始測(cè)量中恢復(fù)圖像的平均值作為真實(shí)圖像，以比較不同模型，不同SNR和不同欠采樣率的不同恢復(fù)圖像。

在欠采樣率η=9%的情況下，在仿真原始數(shù)據(jù)中添加不同級(jí)別的噪聲（不同的信噪比），圖2（b）–（d）顯示了使用相應(yīng)CS方法與所提出的多頻模型相關(guān)的恢復(fù)圖像，證明了所提出的多頻CS模型與相應(yīng)的CS方法在處理噪聲測(cè)量方面特別有用。

欠采樣率η=10%時(shí)，不同模型和不同信噪比迭代期間恢復(fù)圖像的SSIM收斂如圖3（a）、（c）和（e）所示。在相同的欠采樣率下，表明所提出的多頻CS模型可以實(shí)現(xiàn)比其他1種模型更大的SSIM值。對(duì)于僅考慮多頻測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)稀疏性的SAR成像的傳統(tǒng)方式，TVL1模型實(shí)現(xiàn)的SSIM遠(yuǎn)低于其他模型，TVL1模型恢復(fù)的圖像明顯存在更多的陰影和偽影。考慮到樹(shù)稀疏性，TVL1Tree模型恢復(fù)圖像的SSIM比TVL1模型恢復(fù)的圖像更好。此外，考慮到多頻測(cè)量的高度相關(guān)結(jié)構(gòu)（關(guān)節(jié)稀疏性），TVL1Joint模型的恢復(fù)圖像略優(yōu)于TVL2模型的恢復(fù)圖像。毫不奇怪，在利用樹(shù)稀疏性和聯(lián)合稀疏性的情況下，所提出的多頻模型與基于TVL1、TVL1Tree或TVL1Joint模型的CS方法相比，具有相關(guān)CS方法的2D圖像具有更好的分辨率和更少的背景噪聲。

欠采樣率從η=9%～20%，步長(zhǎng)為1%，在圖3（b）、（d）和（f）下，將所提出的CS方法應(yīng)用于不同SNR下的四種不同模型所獲得的SSIM值。對(duì)于額外的結(jié)構(gòu)化稀疏性信息，使用相關(guān)CS方法提出的多頻CS模型實(shí)現(xiàn)了最佳的恢復(fù)圖像質(zhì)量。而且，很容易看出，所提出的多頻模型僅比TVL1Tree模型略好。顯示了應(yīng)用于四個(gè)模型的SSIM收斂，無(wú)論是否使用類似FISTA的更新階段。很明顯，在相同的迭代中，使用類似FISTA的更新階段的CS方法比不使用類似FISTA的更新階段獲得了更高的SSIM值。此外，證明了FISTA類更新階段大大加速了所提出的CS方法，并使得所提出的CS方法具有較快的收斂速度。

聚合示例：（a）第一次掃描實(shí)驗(yàn)，用TVL1模型在欠采樣率η=35%下重建圖像，達(dá)到SSIM = 0.7308。（b）第二次掃描實(shí)驗(yàn)，在欠采樣率η=1%下用TVL35模型重建圖像，達(dá)到SSIM = 0.7277。（c）第一次掃描實(shí)驗(yàn)，在欠采樣率η=35%下，用提出的多頻模型重建圖像，達(dá)到SSIM = 0.7439。（d）第二次掃描實(shí)驗(yàn)，在欠采樣率η=35%下，用提出的多頻模型重建圖像，得到SSIM = 0.7369。

當(dāng)欠采樣率從η=10%～30%，步長(zhǎng)為2%時(shí)，將所提出的CS方法應(yīng)用于這些聚集體實(shí)驗(yàn)所獲得的SSIM值如圖8所示。隨著欠采樣率η的增加，實(shí)現(xiàn)的 SSIM 值逐漸增加。傳統(tǒng)模型（TVL1模型）僅考慮恢復(fù)的SAR圖像在稀疏域和梯度域中的標(biāo)準(zhǔn)稀疏性。相比之下，在額外的結(jié)構(gòu)信息下，所提出的使用相關(guān)CS方法的多頻CS模型比傳統(tǒng)模型（TVL1模型）獲得了更好的恢復(fù)圖像質(zhì)量。

這些聚集體實(shí)例存在背景噪聲大、目標(biāo)多重反射以及SAR系統(tǒng)受限等限制，如孔徑有限、天線波束寬度受限等。這些限制使得在這些聚集體示例中提出的多頻CS模型中，聯(lián)合稀疏性比樹(shù)稀疏性更重要。考慮到這些聚合示例中的樹(shù)稀疏性，事實(shí)證明，所提出的多頻CS模型的性能僅略好，但需要比傳統(tǒng)模型高得多的計(jì)算復(fù)雜度。為了在重建質(zhì)量和計(jì)算成本之間取得良好的平衡，所提出的多頻CS模型選擇β=0來(lái)增強(qiáng)聯(lián)合稀疏性對(duì)這些聚集體示例的重要性。

第五節(jié).結(jié)論

本文評(píng)估了一種新的多頻CS模型，用于二維近場(chǎng)微波和毫米波SAR圖像重建。除了標(biāo)準(zhǔn)稀疏性之外，這個(gè)新的CS模型還同時(shí)利用了多頻測(cè)量中的聯(lián)合稀疏性和每個(gè)頻率測(cè)量中的樹(shù)稀疏性。基于所開(kāi)發(fā)的多頻CS模型，結(jié)合分裂Bregman更新和并行FISTA類近端算法的變體，提出了一種CS方法，以最小化對(duì)應(yīng)于最小二乘數(shù)據(jù)擬合的五個(gè)項(xiàng)的線性組合，多-?2范數(shù)，多電視范數(shù)，聯(lián)合稀疏性范?1數(shù)， 和樹(shù)稀疏性重疊?21范數(shù)。仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)量的重建圖像被測(cè)試用于測(cè)試所提出的CS方法的性能，結(jié)果表明，該多頻CS模型對(duì)于處理二維近場(chǎng)多頻SAR圖像重建問(wèn)題非常有效。