總的來說，對(duì)采樣率的討論就像看著油漆變干。我們真的需要深入了解細(xì)節(jié)嗎？畢竟，每個(gè)人都知道，您只需要以目標(biāo)信號(hào)頻率的兩倍進(jìn)行采樣即可獲得良好的結(jié)果，對(duì)吧？如果你對(duì)最后一句話的回答是“對(duì)！”，也許你應(yīng)該繼續(xù)讀下去。雖然所謂的奈奎斯特速率（即最高信號(hào)頻率分量的兩倍）確實(shí)是消除混疊頻率所需的采樣速率，但該規(guī)則經(jīng)常被忽視的限定符是，被數(shù)字化的信號(hào)必須被帶寬限制在等于奈奎斯特速率一半的值。重要的不僅僅是您感興趣的頻率，還有您數(shù)字化的信號(hào)中包含的所有頻率以及它們與您選擇的采樣率的比較情況。讓我們回到基礎(chǔ)。

什么是別名頻率？

韋伯斯特將“別名”定義為假名或附加名稱。出于數(shù)據(jù)采集的目的，我們可以更準(zhǔn)確地將別名定義為假定頻率或附加頻率。

在觀看超速行駛的汽車的電影時(shí)，您看著汽車的車輪，它們似乎旋轉(zhuǎn)得不可思議，甚至向后旋轉(zhuǎn)。您看到的是由汽車車輪的快速旋轉(zhuǎn)速率與用于記錄圖像的相機(jī)的慢得多的幀速率之間的數(shù)學(xué)碰撞引起的混疊頻率。你下意識(shí)地從對(duì)圖像的解釋中過濾掉這種異常，因?yàn)閺钠渌麉⒖枷抵泻苋菀状_定汽車正在高速前進(jìn)。但是，如果您正在觀看一部關(guān)于汽車車輪的電影呢？在這種情況下，如果被要求確定汽車移動(dòng)的速度和方向，你可能會(huì)得出一個(gè)完全不同的、錯(cuò)誤的和令人尷尬的結(jié)論。

擴(kuò)展上面的例子，您可以將相機(jī)視為數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，將旋轉(zhuǎn)輪視為它正在數(shù)字化的信號(hào)。如果數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的采樣速率相對(duì)于信號(hào)頻率太慢，您的測量就會(huì)崩潰。你沒有電影的方便參考框架。您所擁有的只是隨時(shí)間變化的信號(hào)幅度的集合。哪些是真實(shí)的，哪些是別名？就像試圖通過只看車輪來解釋電影中汽車的運(yùn)動(dòng)一樣，這是不可能知道的，而且你的測量值有太多的東西無法猜測。

別名頻率的數(shù)學(xué)

如果我們知道輸入信號(hào)的頻率和采樣率，我們可以預(yù)測混疊頻率。公式（1）表明，混疊頻率是輸入信號(hào)頻率與采樣率的最接近整數(shù)倍之差絕對(duì)值的函數(shù)。

讓我們用一些例子來擴(kuò)展這個(gè)等式。表1是以1000 Hz的固定速率采樣的各種正弦輸入信號(hào)頻率（fin）以及使用公式（1）計(jì)算得出的混疊頻率的匯編。常數(shù) （N） 是一個(gè)整數(shù)，它假定使項(xiàng) Nfs最接近輸入信號(hào)頻率 （fin） 所需的值。例如，如果輸入頻率為 150 Hz，采樣率為 75 Hz，則 N等于 2。如果輸入信號(hào)頻率增加到 188 Hz，N 將變?yōu)?，因?yàn)?75 和 3 （225） 的乘積比 75 和 2 （150） 的乘積更接近 188。

從表1可以看出，任何小于或等于500 Hz奈奎斯特值（采樣率的一半）的輸入信號(hào)頻率都會(huì)被準(zhǔn)確再現(xiàn)。任何大于此值的頻率都會(huì)產(chǎn)生不準(zhǔn)確的混疊頻率，甚至在輸入頻率是采樣速率的精確倍數(shù)時(shí)再現(xiàn)直流信號(hào)的程度也是如此。顯然，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率成分超過采樣率的一半時(shí)，所有的賭注都是錯(cuò)誤的。

表 1：固定 1000 Hz 采樣率下的混疊與輸入頻率的關(guān)系

混疊頻率是什么樣的？這是陰險(xiǎn)的事情。它看起來就像真實(shí)數(shù)據(jù)一樣。如果我們按照表（1）中所述的方式采集數(shù)據(jù)，當(dāng)fin等于900 Hz時(shí)，我們會(huì)看到圖1所示的灰色100 Hz別名波形，而不是實(shí)際連接到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的黑色900 Hz波形。除了較低的頻率，你能分辨出真實(shí)信號(hào)和鬼影之間的區(qū)別嗎？更復(fù)雜的是，我們大多數(shù)人不會(huì)四處奔波獲取純正弦波。典型的波形是許多頻率的復(fù)雜組合，而混疊的錄制波形可能看起來非常合理，但會(huì)導(dǎo)致您得出完全錯(cuò)誤的結(jié)論。

圖1 - 900 Hz波形（黑色）在1000 Hz采樣不足時(shí)產(chǎn)生混疊的100 Hz波形（灰色）

解決方案是什么？

回到本應(yīng)用筆記開始的地方，只有確保信號(hào)中不存在高于此限值的其他頻率分量，我們才能滿足奈奎斯特采樣率準(zhǔn)則，即目標(biāo)最大信號(hào)頻率的兩倍。除非我們對(duì)信號(hào)源的頻率成分有高度的置信度，否則達(dá)到這一條件的唯一方法是在數(shù)字化之前將輸入信號(hào)應(yīng)用于低通抗混疊濾波器。對(duì)抗混疊濾波器的深入討論超出了本應(yīng)用筆記的范圍，但其顯著特性可歸納如下：

低通設(shè)計(jì)

選擇轉(zhuǎn)折頻率以達(dá)到您感興趣的最大頻率（即采樣率的一半）

從通帶到阻帶的陡峭過渡帶滾降。

圖2是上述理想抗混疊濾波器的圖形表示。請(qǐng)注意，在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，過渡帶的理想垂直形狀是不可能的，而是會(huì)產(chǎn)生帶有一些負(fù)斜率的滾降。這種現(xiàn)實(shí)迫使以較低的轉(zhuǎn)折頻率或較高的采樣率的形式進(jìn)行折衷。例如，人耳可以響應(yīng)高達(dá) 20 kHz 的頻率。如果可以使用符合理想的抗混疊濾波器，則可以使用40 kHz的采樣率對(duì)音樂進(jìn)行數(shù)字化。然而，44.1 kHz的標(biāo)準(zhǔn)速率既反映了濾波器實(shí)現(xiàn)不理想的現(xiàn)實(shí)，也反映了保持20 kHz完整響應(yīng)的愿望。

圖2 - 理想抗混疊濾波器的圖形表示。

您真的需要抗鋸齒過濾器嗎？

該領(lǐng)域的權(quán)威人士堅(jiān)持認(rèn)為，在沒有抗鋸齒濾波器的情況下獲取的數(shù)據(jù)是無用的。這些人可能會(huì)堅(jiān)持讓你系安全帶只是為了把車開進(jìn)車庫，因?yàn)椤鞍踩珟Э梢酝炀壬?。事?shí)上，在日常測量中采集的大部分?jǐn)?shù)據(jù)不需要抗混疊濾波器來產(chǎn)生完全準(zhǔn)確和可操作的結(jié)果，這就是為什么絕大多數(shù)數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)記錄儀儀器不會(huì)在每個(gè)測量通道中內(nèi)置一個(gè)。任何不同意這種說法的人都應(yīng)該問問自己是否需要濾波器來測量電池電壓 - 純 0 Hz。如果沒有，那么我們至少已經(jīng)打開了妥協(xié)的大門，我們可以進(jìn)一步打開它，包括其他直流或近直流信號(hào)的測量：溫度、濕度、直流電流、流量、壓力、負(fù)載、扭矩、頻譜圖、GSR、平滑和骨骼肌浴等。那么頻率成分被明確定義和包含的信號(hào)呢：50/60/400 Hz 電壓和電流、血壓和流量，甚至一些生物電位，如 ECG 和 EMG？我們開始覆蓋許多測量領(lǐng)域，而無需過濾器。還有更多的例子，但過濾器確實(shí)有其位置。

基于加速度計(jì)的測量是抗混疊濾波器幾乎需要的最佳示例。大多數(shù)壓電加速度計(jì)的頻率響應(yīng)超過15 kHz。盡管您感興趣的頻率可能遠(yuǎn)低于此頻率（例如，由于軸承磨損而導(dǎo)致的 40 Hz 電機(jī)隆隆聲），但您不能忽視傳感器可以并且將會(huì)通過更高頻率的事實(shí)。如果你已經(jīng)讀到這里，你應(yīng)該知道，僅僅因?yàn)槟銓?duì)40 Hz以上的頻率不感興趣并不意味著你只需要在80 Hz左右采樣，如果傳感器可以通過更高幾個(gè)數(shù)量級(jí)的頻率。

您可能需要過采樣

到目前為止，我們已經(jīng)看到，帶寬受限的輸入信號(hào)以至少兩倍于抗混疊濾波器轉(zhuǎn)折頻率的速率采樣，可以再現(xiàn)輸入信號(hào)的頻率成分。如果您只對(duì)被測系統(tǒng)的頻率內(nèi)容感興趣，并且有些應(yīng)用是分析的范圍，那就太好了?；氐郊铀俣扔?jì)的例子，你真的不在乎波形是什么樣子的，因?yàn)樗穷l譜來傳達(dá)電機(jī)隆隆聲的存在和頻率。但是對(duì)于波形形狀確實(shí)傳達(dá)信息的其他應(yīng)用，祝你好運(yùn)，每個(gè)周期從兩個(gè)樣本中提取信息。參考圖1所示的100 Hz混疊波形，您甚至無法僅用兩個(gè)點(diǎn)遠(yuǎn)程重建正弦波。每當(dāng)您需要精確的波形再現(xiàn)時(shí)，您唯一的辦法就是以超過奈奎斯特最小值 2 倍（通常為 10 倍或更多）的速率進(jìn)行過采樣。假設(shè)您已經(jīng)準(zhǔn)確地考慮了信號(hào)的頻率內(nèi)容并消除了混疊頻率的可能性，則您選擇的實(shí)際倍數(shù)由個(gè)人喜好決定。

審核編輯：郭婷