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多采樣率數(shù)字濾波器的抽取和內(nèi)插過程 多速率濾波器的Matlab實(shí)現(xiàn)

FPGA之家 ? 來源:FPGA之家 ? 作者:FPGA之家 ? 2022-05-12 16:51 ? 次閱讀

一、關(guān)于多采樣率數(shù)字濾波器

很明顯從字面意思上可以理解,多采樣率嘛,就是有多個(gè)采樣率唄。前面所說的FIR,IIR濾波器都是只有一個(gè)采樣頻率,是固定不變的采樣率,然而有些情況下需要不同采樣頻率下的信號(hào),具體例子我也不解釋了,我們大學(xué)課本上多速率數(shù)字信號(hào)處理這一章也都舉了不少的例子。

按照傳統(tǒng)的速率轉(zhuǎn)換理論,我們要實(shí)現(xiàn)采樣速率的轉(zhuǎn)換,可以這樣做,假如有一個(gè)有用的正弦波模擬信號(hào),AD采樣速率是f1,現(xiàn)在我需要用到的是采樣頻率是f2的信號(hào),傳統(tǒng)做法是將這個(gè)經(jīng)過f1采樣后的信號(hào)進(jìn)行DA轉(zhuǎn)換,再將轉(zhuǎn)換后的模擬信號(hào)進(jìn)行以f2采樣頻率的抽樣,得到采樣率為f2的數(shù)字信號(hào),至此完成采樣頻率的轉(zhuǎn)換

但是這樣的做法不僅麻煩,而且處理不好的話會(huì)使信號(hào)受到損傷,所以這種思想就被淘汰了,現(xiàn)在我們用到的采樣率轉(zhuǎn)換的方法就是抽取與內(nèi)插的思想。

二、抽取

先來總體來解釋一下抽取的含義:前面不是說,一個(gè)有用的正弦波模擬信號(hào)經(jīng)采樣頻率為f1的抽樣信號(hào)抽樣后得到了數(shù)字信號(hào),很明顯這個(gè)數(shù)字信號(hào)序列是在f1頻率下得到的,現(xiàn)在,假如我隔幾個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)信號(hào),比如就是5吧,我隔5個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)信號(hào),是不是就是相當(dāng)于我采用了1/5倍f1的采樣頻率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣了?所以,抽取的過程就是降低抽樣率的過程,但是我們知道,這是在時(shí)域的抽樣,時(shí)域的抽樣等于信號(hào)在頻域波形的周期延拓,周期就是采樣頻率,所以,為了避免在頻域發(fā)生頻譜混疊,抽樣定理也是我們要考慮的因素。

下面來具體來介紹

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如上圖所示,假如上面就是某一有用信號(hào)經(jīng)采樣頻率f1抽樣得到的頻譜,假設(shè)這時(shí)候的采樣頻率為8Khz,可以通過數(shù)格子得到,從0到F1處有8個(gè)空格,每個(gè)空格代表1Khz,有些朋友可能會(huì)問,這不是在數(shù)字頻域嗎,單位不是π嗎,哪來的hz?是的,這里是數(shù)字頻域,采樣頻率F1處對(duì)應(yīng)的是2π,這里只是為了好解釋,我們用模擬頻率來對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率。

上面是采樣頻率為8K的數(shù)字信號(hào)頻域圖,現(xiàn)在我要對(duì)這個(gè)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽取,從而來降低信號(hào)的采樣率,我們知道,一旦我們對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽取,那么采樣率下降,而采樣率就是數(shù)字信號(hào)頻域的波形周期,那么也就是周期下降,所以,我們對(duì)信號(hào)進(jìn)行抽取要有個(gè)度,要在滿足抽樣定理的條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行抽取,否則就會(huì)發(fā)生頻譜混疊。

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上圖就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行了1/5倍的F1采樣頻率抽取,可見,由于發(fā)生了頻譜混疊現(xiàn)象,因?yàn)?/5倍的F1是1600hz,而信號(hào)的頻帶是1000hz,不滿足抽樣定理,導(dǎo)致發(fā)生了頻譜混疊,所以,為了避免發(fā)生這種情況,除了要滿足抽樣定理之外,即抽樣倍數(shù)不能太高,我們還需要把信號(hào)的頻帶設(shè)置在F1/2以下,才能確保信號(hào)不發(fā)生頻譜混疊,因此,我們需要在抽取之前加一個(gè)低通濾波器,書上叫做抗混疊低通濾波器,用來限制信號(hào)的頻帶,然后再進(jìn)行抽取,這樣的話我們來算一下

低通濾波器的截止頻率就是1/2倍的經(jīng)抽取后的采樣速率,即fc = 1/2 * (F1/M) ,M是抽取倍數(shù)。而1/2*F1對(duì)應(yīng)的數(shù)域頻率是π,因此我們得出,

抗混疊低通濾波器的截止頻率是π/M

三、內(nèi)插

抽取的過程是降低采樣率的過程,那么插值的過程當(dāng)然就是提高采樣率的過程。大體的思路可以這么理解,我們將經(jīng)f1抽樣下得到的數(shù)字信號(hào)的每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間進(jìn)行插值,插入的值是0,插值之后,信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)增多,當(dāng)然也就是采樣速率的提升,采樣速率提升后我們知道,那么信號(hào)的頻譜的周期就會(huì)增加。

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需要注意的一點(diǎn)就是,插值前后,我們只是在時(shí)域信號(hào)中間插入了D-1個(gè)零值,僅僅是改變了采樣率,并沒有改變信號(hào)的信息,因此,在頻域,信號(hào)頻譜的形狀是不會(huì)改變的,改變的僅僅是周期,如上圖,F(xiàn)1是插值之前信號(hào)的周期,插值之后,信號(hào)頻譜的形狀不變,周期成了F1*D,D是插值倍數(shù)。如果我們直接用F1*D倍的采樣率采信號(hào),得到的頻譜會(huì)發(fā)現(xiàn),就不會(huì)有中間兩個(gè)波形,因此,這兩個(gè)波形是多余的,書上叫做是鏡像頻譜。既然是多余的,我們就可以將它用一個(gè)低通濾波器濾掉,這樣的低通濾波器,就叫做鏡像低通濾波器。這樣我們來計(jì)算一下鏡像低通濾波器的截止頻率。

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根據(jù)上面這張圖我們可以求出鏡像低通濾波器的截止頻率,可以看到,fc = 1/2 *F1,這里我們假設(shè),內(nèi)插之后的采樣頻率為F2 =F1*D,那么,fc =1/2*(F2/D),而1/2*F2對(duì)應(yīng)的是π,注意,這里是1/2*F2對(duì)應(yīng)π,不是1/2*F1了,因?yàn)檫@已經(jīng)是插值之后采樣率增加之后的頻譜了,所以我們得出:

鏡像低通濾波器的截止頻率為:π/D

四、 分?jǐn)?shù)倍抽取與內(nèi)插

根據(jù)前面抽取與內(nèi)插的介紹我們知道了,內(nèi)插的過程是先進(jìn)行內(nèi)插處理,再通過鏡像低通濾波器,抽取的過程就是先進(jìn)行抗混疊低通濾波,再進(jìn)行抽取,我們可以看出來,假如我們想進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽取,比如我要進(jìn)行3/5倍抽取,就可以先進(jìn)行3倍內(nèi)插,再進(jìn)行5倍抽取,這樣就可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)倍抽取。

再來看一下,當(dāng)進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽取與內(nèi)插的時(shí)候,鏡像低通濾波器和抗混疊低通濾波器是連在一起的,因此,我們可以將這兩個(gè)濾波器合二為一,截止頻率取兩個(gè)濾波器截止頻率的最小值就可以了

五、多速率濾波器的Matlab實(shí)現(xiàn)

這里我們假設(shè),要對(duì)一個(gè)頻率為100hz的正弦波模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣,抽樣頻率為900hz,現(xiàn)在我要對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行5/3倍提升

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根據(jù)我們前面分析的,進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍的抽樣率轉(zhuǎn)換,先要進(jìn)行內(nèi)插處理,內(nèi)插的過程就是在原有的時(shí)域信號(hào)之間,插入I- 1個(gè)零值點(diǎn),采用matlab實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單,首先我們可以計(jì)算插值完成之后信號(hào)的長(zhǎng)度,然后將原來信號(hào)進(jìn)行填充即可

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插值完成之后,需要進(jìn)行低通濾波,由前面的討論可以知道,根據(jù)低通濾波器的截止頻率計(jì)算公式,來計(jì)算濾波器截止頻率為π/I,然后調(diào)用函數(shù)生成FIR濾波器系數(shù)即可。

緊接著,需要進(jìn)行的是抽取處理,抽取過程的算法跟內(nèi)插類似,可以先計(jì)算抽取之后的信號(hào)的長(zhǎng)度,然后每個(gè)D個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行一次抽取

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下面看一張圖,是我繪制了這個(gè)過程的整個(gè)流程

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根據(jù)上面這張圖我們可以看到,最上面的是原始信號(hào)經(jīng)900hz頻率采樣后得到的信號(hào)時(shí)域波形,然后我對(duì)其進(jìn)行了5倍內(nèi)插,也就是在每?jī)蓚€(gè)采樣點(diǎn)之間插入了4個(gè)零值,之后通過了低通濾波器,去掉鏡像波形后的時(shí)域波形,可以看到,此時(shí)的采樣率已經(jīng)是原來的5倍,接著對(duì)其進(jìn)行3倍抽取,即每隔兩個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)點(diǎn)作為新的采樣點(diǎn),得到最下面的時(shí)域波形,整個(gè)過程原始信號(hào)沒有發(fā)生變化,變化的僅僅是采樣率。

六、關(guān)于CIC濾波器

說了這么多,終于進(jìn)入正題了。前面的都是些基礎(chǔ)知識(shí),只有先掌握了前面的內(nèi)容,才能理解下面的知識(shí),包括下兩篇文章要講的FIR半帶濾波器和多相結(jié)構(gòu)的FIR半帶濾波器。

CIC濾波器呢,是積分梳狀濾波器的英文簡(jiǎn)稱,先來看CIC濾波器的單位沖擊響應(yīng)

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很明顯的一個(gè)特征就是,CIC濾波器的單位脈沖響應(yīng)只有0和1,再來想一下,既然單位脈沖響應(yīng)只有0和1,那么也就是意味著,我們?cè)谶M(jìn)行卷積運(yùn)算的時(shí)候,就不需要乘法器,為什么呢?因?yàn)闉V波器系數(shù)為1的話,相當(dāng)于將輸入信號(hào)乘了個(gè)1,所以就不需要乘法器,只需要加法器就可以完成卷積運(yùn)算,正因?yàn)槿绱耍珻IC濾波器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,非常適合工作在高采樣率條件下

但是這并不是我們常用的濾波器結(jié)構(gòu),既然是積分梳狀濾波器,總得體現(xiàn)一下積分、和梳狀這兩個(gè)特點(diǎn)吧,這名字不是白叫的,因此有如下變形

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可以看到,上面的式子是CIC濾波器的系統(tǒng)函數(shù),對(duì)其進(jìn)行變換之后可以得到兩個(gè)部分的乘積形式,即分子部分為一個(gè)梳狀FIR濾波器,剩余部分為一個(gè)積分器,至此,我們CIC濾波器的結(jié)構(gòu)才已經(jīng)成型。

根據(jù)變形后的CIC濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以知道,濾波器的極點(diǎn)為1,因此看上去濾波器是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng),但是從整體角度來看,這個(gè)結(jié)構(gòu)是由一個(gè)FIR濾波器變形而來的,本身是一個(gè)因果穩(wěn)定的,因此,變形后的系統(tǒng)應(yīng)該也是一個(gè)因果穩(wěn)定的,因此我們考慮到零極點(diǎn)抵消的原因,致使變形后的系統(tǒng)仍是一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)。

從單級(jí)CIC濾波器的幅頻響應(yīng)考慮,由于其特殊的結(jié)構(gòu),導(dǎo)致單級(jí)CIC濾波器的衰減不足,可以見下圖

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可見,單級(jí)CIC濾波器濾波器的衰減并不是很足,在階數(shù)比較大的情況下,CIC濾波器的衰減一般穩(wěn)定在13.6dB,要想加大衰減,就必須采用多級(jí)CIC濾波器級(jí)聯(lián)的形式,每增加一級(jí)濾波器,阻帶衰減增加13.6dB,但是為了增加阻帶衰減而采用級(jí)聯(lián)方式,也會(huì)導(dǎo)致一些弊端,為此,這方面的知識(shí)總結(jié)如下,具體理論不再解釋了,書上的推導(dǎo)過程比較復(fù)雜,大家還是自己看書為好。

總結(jié):

1、要同時(shí)滿足通帶容限跟阻帶容限的誤差的CIC濾波器實(shí)現(xiàn)起來比較困難,因?yàn)橐胱鑾p大,就要增大濾波器級(jí)數(shù),但是會(huì)導(dǎo)致通帶容限增大。

2、如果要實(shí)現(xiàn)這樣的濾波器,只有當(dāng)有用信號(hào)的頻帶相對(duì)于采樣信號(hào)的速率很小時(shí)才能設(shè)計(jì)出符合要求的濾波器,這樣的話通帶衰減較大的情況下也對(duì)有用信號(hào)影響較小。

3、有用信號(hào)的頻帶相對(duì)于采樣信號(hào)的速率很小也就是意味著信號(hào)的采樣率很高,所以,CIC濾波器適合應(yīng)用在多速率信號(hào)處理的前端,作為抗混疊濾波器來用,或者是作為后端的抗混疊插值濾波器。

七、多級(jí)HogenauerCIC抽取濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)

HogenauerCIC抽取濾波器是一種特殊的結(jié)構(gòu),可以用來提高濾波器的運(yùn)行速度,節(jié)省硬件資源等

前面已經(jīng)說過了,CIC濾波器的系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)過變形之后,可以得到一個(gè)M階的梳狀濾波器和一個(gè)積分器相乘的形式,二者共同組成了抗混疊低通濾波器,在抽取的過程中,一般是信號(hào)先經(jīng)過抗混疊低通濾波器進(jìn)行濾波,來避免頻譜混疊現(xiàn)象的發(fā)生,然后再進(jìn)行抽取處理,但是我們可以利用Noble恒等式,先對(duì)信號(hào)進(jìn)行抽取,再對(duì)其進(jìn)行濾波,即

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也就是說,在濾波器階數(shù)跟抽取倍數(shù)相同的情況下,如果先濾波后抽取,那么濾波器的長(zhǎng)度是M,但是如果先抽取后濾波,那么濾波器的長(zhǎng)度就會(huì)降低為1階,因此,采用Noble恒等式,先抽取后濾波,可以降低濾波器長(zhǎng)度,從而達(dá)到節(jié)省硬件資源的目的。

前面說了,單級(jí)的CIC濾波器很難滿足需求,要達(dá)到一定的阻帶衰減,就必須通過級(jí)聯(lián)的方式

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我們可以看到,如果是三級(jí)的CICI濾波器級(jí)聯(lián)的話,也就是有3個(gè)積分器和三個(gè)梳狀濾波器,這時(shí)候我們可以利用Noble恒等式進(jìn)行移位變換,讓積分器放在一起,梳狀濾波器放在一起,這時(shí)候的梳狀濾波器是M階的,因?yàn)榇藭r(shí)還沒有經(jīng)過抽取,所以我們可以再利用Noble恒等式,將抽取器放到梳狀濾波器之前,這樣的話,梳狀濾波器就會(huì)降為1階,長(zhǎng)度為2,從而大大節(jié)省了硬件資源

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現(xiàn)在我們假設(shè)抽取倍數(shù)是5,根據(jù)要求,這時(shí)我們的濾波器長(zhǎng)度也應(yīng)該是5,采用3級(jí)CIC濾波器級(jí)聯(lián)的方式,用HogenauerCIC抽取濾波器結(jié)構(gòu)在FPGA上設(shè)計(jì)

1、三級(jí)積分器模塊

altera 的CIC濾波器的IP核手冊(cè)中給出了CIC濾波器中間運(yùn)算數(shù)據(jù)字長(zhǎng)的計(jì)算公式,這里我們假設(shè)我們的輸入數(shù)據(jù)是經(jīng)過10bit量化過的正弦波數(shù)字信號(hào),那么CIC濾波器的中間運(yùn)算字長(zhǎng)為:

Wi = Win+N*log2(MD)

Win是輸入字長(zhǎng)為10,N為濾波器長(zhǎng)度5,M為抽取倍數(shù)5,D位級(jí)聯(lián)數(shù)3

因此算得CIC濾波器的中間字長(zhǎng)為 Wi = 10 +5*log2(5*3) =30

知道了我們中間運(yùn)算的字長(zhǎng)就可以來設(shè)計(jì)我們的模塊了,首先是積分器

積分器的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單,就是一個(gè)反饋回路,輸出結(jié)果跟輸入相加后延時(shí)一個(gè)時(shí)鐘單元后再與輸入相加

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剩下兩級(jí)積分器也是一樣,第一級(jí)積分器的輸出要送到第二級(jí)積分器的輸入,代碼這里不再列出,都是跟第一級(jí)積分器類似

2、五倍抽取器

抽取器的實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單,從積分器輸出的數(shù)據(jù),我們每隔5個(gè)數(shù)據(jù)抽取一個(gè)數(shù)據(jù)就好了

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3、三級(jí)梳狀濾波器

我們知道,經(jīng)過抽取之后的梳狀濾波器階數(shù)降為1,長(zhǎng)度為2的這樣一個(gè)FIR濾波器,由于他的頻譜很像一把梳子,因此得名為梳狀濾波器。根據(jù)前面的變形后的公式,我們很容易得出,1階梳狀濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hn = 1 , -1,既然有了單位脈沖響應(yīng),我們做的就是一個(gè)簡(jiǎn)單的卷積運(yùn)算就好了,而且這里的系數(shù)只有1和-1不需要乘法器,做一下加減法就好了

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我們可以看到,跟之前做FIR濾波器一樣,我們先把數(shù)據(jù)送到移位寄存器,因?yàn)?階FIR濾波器只有兩個(gè)系數(shù),因此只要兩個(gè)移位寄存器就夠了。然后我們把系數(shù)跟輸入的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)相乘,因?yàn)橄禂?shù)是1,所以乘法器就省略了,只需要做些加減運(yùn)算就好了。

經(jīng)過3級(jí)梳狀濾波器濾波后的信號(hào)就是我們需要的信號(hào)了

然后是關(guān)于濾波器輸出信號(hào)的數(shù)據(jù)截尾問題,我們可以通過matlab仿真,看一下輸出數(shù)據(jù)的最大數(shù)據(jù)可以用多少位表示來確定輸出數(shù)據(jù)位寬,如果不想做仿真的話,可以根據(jù)altera的CIC濾波器 的IP核手冊(cè)中給出了CIC濾波器輸出數(shù)據(jù)位寬計(jì)算公式來算:

即 Wo =Win +log2(N^D)

這里我算出來是17,因此,我們將梳狀濾波器的輸出值進(jìn)行截低17位處理

仿真的過程我是采用 一個(gè)1khz和一個(gè)40khz的正弦波信號(hào)合成的,用采樣頻率為200Khz對(duì)其進(jìn)行采樣,按照我們上面的設(shè)計(jì),濾波器的截止頻率應(yīng)該是

fc= 1/2 * (200 / 5) = 20Khz

所以經(jīng)濾波器濾波后,40Khz的高頻信號(hào)將會(huì)被濾掉,下面是仿真結(jié)果

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接著,我們將FPGA的輸出信號(hào)讀到matlab中進(jìn)行仿真,繪出輸出信號(hào)的時(shí)域波形

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從這張圖我們可以清楚的看到,上面的波形是濾波前的合成信號(hào)的波形,下面的是經(jīng)過濾波后的波形,很明顯,濾波前后,信號(hào)的頻率沒有發(fā)生改變,發(fā)生改變的是采樣率,可以數(shù)一下,下面波形兩點(diǎn)之間的距離,要比上面的信號(hào)寬4倍,也就是5倍抽取,仿真結(jié)果證明,我們的設(shè)計(jì)是正確的。

原文標(biāo)題:CIC濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)

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審核編輯:湯梓紅

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原文標(biāo)題:CIC濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)

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