數字濾波器的MATLAB與DSP上設計實現

概述：以窗函數法設計線性相位FIR數字濾波器為例，介紹用MATLAB工具軟件設計數字濾波器的方法和在定點DSP上的實現。實現時，先在CCS5000仿真開發，然后將程序加載到TMS320VC5409評估板上實時運行，結果實現了目標要求。文中還討論了定標、誤差、循環尋址等在DSP上實現的關鍵問題。

引言

隨著信息時代和數字世界的到來，數字信號處理已成為今一門極其重要的學科和技術領域。數字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數字信號處理應用中，數字濾波器十分重要并已獲得廣泛應用。

1 數字濾波器的設計

1.1 數字濾波器設計的基本步驟

數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應（IIR）濾波器和有限長沖激響應（FIR）濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續時間沖激響應。種濾波器一般需要用遞歸模型來實現，因而有時也稱之為遞歸濾波器。FIR濾波器的沖激響應只能延續一定時間，在工程實際中可以采用遞歸的方式實現，也可以采用非遞歸的方式實現。數字濾波器的設計方法有多種，如雙線性變換法、窗函數設計法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數字濾波器的計算機輔助設計有了可能，而且還可以使設計達到最優化。

數字濾波器設計的基本步驟如下：

（1）確定指標

在設計一個濾波器之前，必須首先根據工程實際的需要確定濾波器的技術指標。在很多實際應用中，數字濾波器常常被用來實現選頻操作。因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應。幅度指標主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標。它提供對幅度響應函數的要求，一般應用于FIR濾波器的設計。第二種指標是相對指標。它以分貝值的形式給出要求。在工程實際中，這種指標最受歡迎。對于相位響應指標形式，通常希望系統在通頻帶中人有線性相位。運用線性相位響應指標進行濾波器設計具有如下優點：①只包含實數算法，不涉及復數運算；②不存在延遲失真，只有固定數量的延遲；③長度為N的濾波器（階數為N-1），計算量為N/2數量級。因此，本文中濾波器的設計就以線性相位FIR濾波器的設計為例。

（2）逼近

確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數字濾波器模型。通常采用理想的數字濾波器模型。之后，利用數字濾波器的設計方法，設計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。

（3）性能分析和計算機仿真

上兩步的結果是得到以差分或系統函數或沖激響應描述的濾波器。根據這個描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗證設計結果是否滿足指標要求；或者利用計算機仿真實現設計的濾波器，再分析濾波結果來判斷。

1.2 濾波器的MATLAB設計

（1）MATLAB

MATLAB是一套用于科學計算的可視化高性能語言與軟件環境。它集數值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示于一體，構成了一個界面友好的用戶環境。它的信號處理工具箱包含了各種經典的和現代的數字信號處理技術，是一個非常優秀的算法研究與輔助設計的工具。在設計數字濾波器時，通常采用MATLAB來進行輔助設計和仿真。

（2）FIR濾波器的MATLAB設計

下面以設計線性相位FIR濾波器為例介紹具體的設計方法。

線性相位FIR濾波器通常采用窗函數法設計。窗函數法設計FIR濾波器的基本思想是：根據給定的濾波器技術指標，選擇濾波器長度N和窗函數ω（n），使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣。其核心是從給定的頻率特性，通過加窗確定有限長單位脈沖響應序列h(n)。工程中常用的窗函數共有6種，即矩形窗、巴特利特（Bartlett）窗、漢寧（Hanning）窗、漢明（Hamming）窗、布萊克曼（Blackman）窗和凱塞（Kaiser）窗。

假設實際工程需要設計一個線性相位帶通FIR濾波器指標如下：

fn=[1000,1375,3625,4000];

a=[0,1,0];

dev=[0.0005,0.05,0.0005];

阻帶最小衰減60dB，再設采樣頻率fs=10kHz，則根據阻帶最小衰減來選擇凱塞（Kaiser）窗，利用MATLAB的求階函數和FIR濾波器的設計函數，可以快速地設計出所需的數字濾波器。這兩個設計函數如下：

[N,Wn,beta,ftype]=kaiserord(fn,a,dev,fs)；

b=fir1(n,Wn,ftype,Kaiser(n+1,beta)；

最后，利用的濾波器分析函數freqz分析所設計出的濾波器的幅頻特性和相頻特性，并用圖形顯示函數plot將它們顯示出來，如圖1所示。由圖1可見，設計結果滿足指標要求。

2 數字濾波器的實現方法

數字濾波器的實現方法一般有以下幾種。

①采用加法器、乘法器、延時器設計專用的濾波電路。

②在通用計算機系統中加上專用的加速處理機設計實現。

③用通用的可編程DSP芯片實現。

④用專用的DSP芯片實現。在一些特殊的場合，要求的信號處理速度極高，用通用DSP芯片很難實現。這種芯片將相應的濾波算法在芯片內部用硬件實現，無需進行編程。

⑤采用FPGA/CPLD設計實現。

在上述幾種方法中，第②種方法的缺點是速度較慢，一般可用于DSP算法的模擬。第①、④種方法專用性強，應用受到很大的限制。第③、⑤種方法都可以通過編程來實現各種數字濾波，但是，第③種因有專用的指令來實現濾波運算編程實現容易，而第⑤種方法編程實現較為困難。

3 數字濾波器的DSP實現

DSP是一種實時、快速、特別適合于實現各種數字信號處理運算的微處理器。由于它由具有豐富的硬件資源、改進的哈佛結構、高速數據處理能力和強大的指令系統，而在通信、航空、航天、雷達、工業控制、網絡及家用電器等各個領域得到廣泛應用。DSP分為定點和浮點兩種，下面以定點DSP芯片為例，討論FIR濾波器實現的幾個關鍵問題。所討論的這些問題，在DSP系統設計中有實際的參考和應用價值。

3.1 定點數的定標

在定點DSP芯片中，采用定點數進行數值運算，其操作數一般采用整型數來表示。一個整型數的最大表示范圍取決于DSP芯片所給定的字長，一般為16位或24位。顯然，字長越長，所能表示的數的范圍越大，精度也越高。在濾波器的實現過程中，DSP所要處理的數可能是整數，也可能是小數或混合小數；然而，DSP在執行算術運算指令時，并不知道當前所處理的數據是整數還是小數，更不能指出小數點的位置在哪里。因此，在編程時必須指定一個數的小數點處于哪一位，這就是定標。通過定標，可以在16位數的不同位置上確定小數點，從而表示出一個范圍大小不同且精度也不同的小數。例如：在Q15中，1080H=0.12890625；在Q0時，1080H=4224。

在使用定點DSP時，如何選擇合適的Q值是一個關鍵性問題。就DSP運算的處理過程來說，實際參與運算的都是變量，有的是未知的，有的則在運算過程中不斷改變數值，但它們在一實際工程環境中作為一個物理參量而言都有一定的動態范圍。只要個動態范圍確定了，Q值也就確定了。因此，在程序設計前，首先要通過細致和嚴謹的分析，找出參與運算的所有變量的變化范圍，充分估計運算中可能出現的各種情況，然后確定采用何種定標標準才能保證運算結果正確可靠。這里，所討論的理論分析法和統計分析法確定變量絕對值最大值|max|，然后根據|max|再確定Q值。但是，DSP操作過程中的意外情況是無法避免的，即使采用統計分析法也不可能涉及到所有情況。因此，在定點運算過程中應該采取一些判斷和保護措施（特別是在定點加法中）。另外，在數字信號處理中的大量運算是乘法和累加，應盡量采用純整數或純小數運算，即全部變量都用Q0或Q15格式表示。這樣做的好處是操作簡單、編程方便。只有當純整數或純小數運算不能滿足變量的動態范圍和精度要求時，才采用混合小數表示法進行定點運算。

3.2 誤差問題

因為在用定點DSP實現時，所有的數據都是定長的，運算也都是定點運算，因而會產生有限字長效應。所產生的誤差主要包括：數模轉換引起的量化誤差、系數量化引起的誤差以及運算過程中的舍入誤差。在用定點DSP時，產生誤差是不能避免的，但是可以通過一些方法減小誤差。如，可以用兩個存儲單元來表示一個數，運算時使用雙字運算；可以根據需要要將濾波器系數都用雙字表示，也可以只將一半的系數用雙字表示，視需要而定。另外，FIR數字濾波器和IIR數字濾波器所引入的量化誤差是不一樣的。FIR數字濾波器主要采用非遞歸結構，因而在有限精度的運算中都是穩定的；而IIR數字濾波器是遞歸結構，極點必須在z平面單位圓內才能穩定，這種結構運算中的四舍五入處理有時會引起寄生振蕩。除了有限字長效應以外，不同結構引入的誤差也有所不同。在實際設計中，要注意實現中的誤差問題。在選擇不同的結構時，應考慮它們所引入的誤差，并用高級語言進行定點仿真，以比較不同結構下誤差的大小，從而作出合理選擇。

3.3 循環尋址

循環尋址（circular addressing）是DSP中經常用到的一種尋址方式。該尋址方法可以對一塊特定存儲區實現循環的操作。可以把循環尋址理解為實現一個滑動窗，新數據引入后將覆蓋老的數據，便得該窗中包含了需處理的最新數據。在數字信號處理中的FIR、卷積等運算中，循環尋址具有極其重要的意義。

在TI的DSP中，循環尋址通過如下方法實現。

①設定BK（寄存器塊大小）值，以確定循環尋址緩沖區的大小，也可將它看作是循環的周期。

②設定緩沖區的底部地址。必須注意：其低N位為零，其中N為滿足式（1）的最小N值。

2 N>BK （1）

③用輔助寄存器間接尋址循環緩沖區。

圖2 輸入數據頻譜圖 圖3 輸出數據頻譜圖?

??? 3.4 實現舉例

根據上述設計出來的FIR濾波器，考慮工程實際的需要（精度的要求）和采用定點DSP芯片的方便實現，選擇Q15定標。為此，必須對輸入數據和濾波器的系數進行歸一化處理。輸入數據的歸一化處理可通過設置A/D轉換的參考電平來實現。濾波器的系數歸一化只要求取系數中的最大值，再用這個最大值去系數便可。

由于一個N（設N為偶數）階的FIR濾波器具有系數對稱特性，其輸出方程可以寫為：

y(n)=ao[x(n)+x(n-N+1)]+a1[x(n-1)+x(n-N+2)]+…+aN/2-1[X(n-N/2+1)+x(n-N/2)] (2)

根據式（2）可建立如下實現算法：

①在數據存儲中開辟兩個循環緩沖區，New循環緩沖區存放新數據，O1d循環緩沖區中存放老數據。循環緩沖區的長度為N/2。

②設置循環緩沖區指針，AR2指向New緩沖區中最新的數據，AR3指向O1d緩沖區中最老的數據。

③在程序存儲器中設置系數表。

④（AR2）+（AR3）→AH（累加器A的高位）；（AR2）-1→AR2；（AR3）-1→AR3。

⑤將累加器B清零，重復執行下列操作N/2次：（AH）*系數ai+(B)→B，系數指針（PAR）加1，（AR2）+（AR3）→AH，AR2和AR3減1。

⑥保存和輸出結果（結果在BH中）。

⑦修正數據指針，讓AR2和AR3分別指向New緩沖區最新數據和O1d緩沖區中最老的數據。

⑧用New緩沖區中最老的數據替代O1d緩沖區中最老的數據。O1d緩沖區指針減1。

⑨輸入一個新數據替代New緩沖區中最老的數據。

重復執行第④～⑨步。

根據上述算法編制程序[4、5]，在CCS5000上進行仿真調試運行，并分析輸入數據和輸出的頻譜，結果如圖2、圖3所示。由圖可見，濾波器實現了目標要求。

最后，將程序移植為聞亭公司的TMS320VC5409評估板的MCBSP0的中斷服務程序，并將形成的可執行文件加載到評估板上運行。由TMS320VC5409評估板的模擬輸入口輸入模擬信號，經TLC320A/D轉換芯片，按8kHz的采樣頻率采樣轉換成數字信號，輸入DSP。濾波后經D/A輸出模擬量，結果證實該程序可實現對采樣率為8kHz的模擬信號進行實時濾波處理。

結語

數字濾波器的應用十分廣泛，運行MATLAB語言，能很容易地設計出具有嚴格要求（如線性相位等）的濾波器。用定點DSP實現濾波器械要考慮DSP的定標、誤差、循環尋址等幾個關鍵問題。文中實例是為了表明，可方便地用DSP實現模擬信號的實時濾波處理，所采用的采樣頻率并不高。如果DSP采用更高的時鐘，它的處理速度將更快，將能夠滿足更高采樣率的數字信號的實時濾波處理。