在實際環境中相干信號源是普遍存在的，如信號傳輸過程中的多徑現象，或者敵方有意設置的電磁干擾等。相干信號源的檢測與估計是空間譜估計中一個重要的研究方向，因此這里介紹一下相干信號源的數學模型。相干信號與非相干信號模型如下圖所示。

圖源自網絡

當考察多個信號時，這些信號之間可以是不相關的、相關的或相干的。對兩個平穩信號 和 ，定義它們的相關系數為

由 Schwartz 不等式可知 ，因此，信號之間的相關性定義如下

獨立相關相干由上面的定義可知，當信號源相干時其數學表現為：相干信號源間只差一個復常數，假設有 個相干源，即

這里 可以稱為生成信源，因為它生成了入射到陣列上的 個相干信號源。則可得相干信號源模型

式中， 是由一系列復常數組成的 維矢量。

由前面的討論可知，MUSIC 算法在理想條件下具有良好的性能，但在信號源相干時算法的性能變得很壞。為什么信號源相干對算法的性能有這么大的影響呢?

當信號源完全相干時，陣列接收的數據協方差矩陣的秩降為 ，顯然這就會導致信號子空間的維數小于信號源數。也就是說信號子空間“擴散”到了噪聲子空間，這會導致某些相干源的導向矢量與噪聲子空間不完全正交，從而無法正確估計信號源方向。

由上面的分析可知：在相干信號源情況下正確估計信號方向(即解相干或去相關)的核心問題是如何通過一系列處理或變換使得信號協方差矩陣的秩得到有效恢復，從而正確估計信號源的方向。目前關于解相干的處理基本有兩大類：一類是降維處理;另一類是非降維處理。

降維處理算法

降維處理算法是一類常用的解相干處理方法，可以分為基于空間平滑、基于矩陣重構兩類算法。

其中，基于空間平滑的算法主要有前向空間平滑算法、雙向空間平滑算法、修正的空間平滑算法及空域濾波法等;基于矩陣重構的算法主要是指矩陣分解算法及矢量奇異值法等。

空間平滑類算法和矩陣重構類算法區別在于矩陣重構類算法修正后的協方差矩陣是長方陣(估計信號子空間與噪聲子空間需用奇異值分解)，而空間平滑算法修正后的矩陣是方陣(估計信號子空間與噪聲子空間可以用特征值分解)。

非降維處理算法

非降維處理算法也是一類重要的解相干處理方法，如頻域平滑算法、Toeplitz方法、虛擬陣列變換法等。這類算法與降維算法相比最大的優點在于陣列孔徑沒有損失，但這類算法往往針對的是特定環境，如寬帶信號、非等距陣列、移動陣列等。本期我們將首先討論空間平滑類算法。

空間平滑算法

眾所周知，空間平滑算法是針對一般超分辨算法不能解相干而提出的一種有效方法，它在一般情況下只適合于均勻線陣(ULA)。下面簡要介紹空間平滑 MUSIC 利用子陣平滑恢復數據協方差矩陣的原理，然后深入討論加權空間平滑算法的思想。

空間平滑算法的原理

對于一窄帶情況下的均勻線陣，第 個陣元接收的數據為

式中， ， ， 為陣元數， 為信號源數。其中， 為均勻線陣的間距， 為信號傳播速度。對于均勻線陣，令 。

空間前向平滑技術的原理如下圖所示，將均勻線陣( 個陣元)分成相互交錯的 個子陣，每個子陣的陣元數為 ，即有 。

如上圖所示，取第一個子陣(一般為最左邊子陣)為參考子陣，則對于第 個子陣數據模型

式中， 為子陣導向矢量陣。其中

于是該子陣數據協方差矩陣為

前向空間平滑 MUSIC 方法對滿秩協方差矩陣的恢復是通過求各子陣協方差矩陣的均值來實現的，即取前向平滑修正的協方差矩陣為

其中， 。

注：如果子陣陣元數目 ，則當子陣個數 時前向空間平滑數據協方差矩陣 是滿秩的。

如果按下圖劃分子陣，即采用后向平滑的方法劃分子陣。

則第 個子陣的數據矢量

比較該式和前向空間平滑子陣數據模型式可得，前向第 個子陣與后向第 個子陣存在如下關系：

其中， 為 維的交換矩陣。

所以后向平滑第 個子陣的數據協方差矩陣為

又因為

所以

則后向空間平滑修正的數據矩陣為

其中， 。對于上述的后向空間平滑算法，同樣可得出如下定理。

如果子陣陣元數目 ，則當子陣個數 時后向空間平滑數據協方差矩陣 是滿秩的。

上面是從各子陣的數據協方差矩陣角度出發得出的結論，下面換一個角度來考慮上述的空間平滑算法。定義如下兩個 數據矩陣

其中， 是反對角線為 的置換矩陣。

通過上面的定義發現前向平滑及后向平滑的子陣數據模型可以分別變為以下兩式：

可得到它們的協方差矩陣

則前后向平滑修正后的數據協方差矩陣可以用以下兩式表達

仔細分析以上兩式?？紤]前后向空間平滑算法中的第 個子陣的數據協方差矩陣式 及式 在原始數據協方差矩陣 中的位置，可以看出， 相當于矩陣 中第 行(列)到第 行(列)的一個子陣，而 與 滿足下列關系：

將整個數據協方差矩陣 分為如下圖所示的 個相互重疊的子陣，子陣的維數都是 ，圖中的 相當于矩陣 中第 行到第 行及第 列到第 列的一個子陣，即 。

前向平滑的第 個子陣的協方差矩陣 就相當于上圖中整個數據協方差矩陣 的第 行 第 列 分塊陣 ，而后向平滑子陣的數據協方差矩陣 只不過是對 的一種處理。即前、后向空間平滑的修正矩陣可以簡化成下式：

從上述分析中可知，前后向空間平滑算法只利用了 的對角線上的分塊陣 (即各子陣的自相關信息)的平均，而沒有利用 的非對角線上的分塊陣 (各子陣間的互相關信息，其中 )。

加權空間平滑算法

通過上面的討論，可以發現常規的空間平滑算法的原理就是利用原始數據協方差矩陣的各對角子陣信息(子陣的自相關信息)實現解相干，沒有利用各子陣間的互相關信息。很顯然，對于大陣列小子陣陣元數的情況，整個數據矩陣的信息會有很大的損失，不可避免導致算法性能的下降。

為此，提出一種充分利用陣列所有子陣的互相關及自相關信息的方法加權空間平滑算法。下面詳細分析這一算法，該算法的協方差矩陣由下式構成：

式中， ， 均是一個 的加權矩陣， 為前向加權的修正矩陣， 為后向加權的修正矩陣。上面算法的實質就是對數據協方差矩陣的各子陣進行加權求和，從而實現對相干信號源的解相干。

該式可以看成是空間平滑算法的統一框架，不同的前后向加權矩陣可以得到不同的空間平滑算法。下面列舉加權空間平滑算法的幾個特例。

(1)當前向平滑權矩陣 ，而后向平滑權矩陣 ，且 時

該式即為前面介紹的常規前向空間平滑(SS)算法。

(2)當前向平滑權矩陣 ，而后向平滑權矩陣 ，且 時

該式即是前面介紹的后向空間平滑算法。

(3)當前向平滑權矩陣 ，面后向平滑權矩陣 ，且 時

該式即是修正的空間平滑(MSS)算法，通常也稱為雙向平滑算法，其實質就是前向平滑修正矩陣式與后向平滑修正矩陣式的平均。

對于雙向空間平滑算法，如果子陣陣元數目 ，則當 ，且取最優權時的雙向加權空間平滑能保證數據協方差矩陣 是滿秩的。

由前面分析可知，單向的空間平滑 MUSIC 算法需要有 個子陣恢復滿秩協方差矩陣，而雙向空間平滑 MUSIC 算法只需要 個子陣恢復滿秩協方差矩陣，因此與單向空間平滑相比，雙向平滑陣列孔徑損失小。

事實上，當有 個信源、每個子陣的陣元數為 時，要分辨這些信源，雙向平滑共需 個陣元，而單向平滑卻至少需要 個陣元。因此當陣元數定時(共 個陣元)，前向平滑最多可分辨 個相干信源，而雙向平滑技術則可以分辨 個相干信源。

空間平滑的 MUSIC 算法及其仿真分析

通過上面的分析可知，空間平滑的 MUSIC 算法之間的不同點在于得到修正協方差矩陣的方法不同，但它們的目的都是為了通過空間平滑處理實現解相干。

下面，我們總結基于空間平滑的 MUSIC 算法的計算過程。

由陣列的接收數據得到數據協方差矩陣

利用上述介紹的方法對 進行修正

利用修正的協方差矩陣進行 MUSIC 譜估計，找出極大值對應的信號方向

空間平滑算法的實質是對數據協方差矩陣的秩進行恢復的過程，但這個過程通常只適用于等距均勻線陣，而且修正后矩陣的維數小于原矩陣的維數，也就是說解相干性能是通過降低自由度換取的。

下面為在 信噪比條件下， 個相干信號源分別從 入射時傳統 MUSIC 算法的成像效果以及空間平滑的 MUSIC 成像效果。其中，陣列天線數 ，平滑階數 。

從仿真效果中可以看出，傳統 MUSIC 算法無法正確估計相干信號源方向，而空間平滑算法能準確估計出相干信號源方向，且從仿真效果可以看出，雙向平滑算法(MSS)分辨率要明顯好于前后向平滑算法(SS)。

本文理論部分參考自《空間譜估計理論與算法》。

在上期我們介紹了降維處理解相干可分為空間平滑和矩陣重構兩類算法。

矩陣重構類算法

下面討論矩陣重構類算法，矩陣重構類算法主要分為三類：一是矢量奇異值法;二是矩陣分解算法;三是 Toeplitz 類算法。

矢量奇異值法(SVD)

對數據協方差矩陣進行分解可以分別得到由信號特征矢量組成的信號子空間及由噪聲特征矢量組成的噪聲子空間，且信號源完全不相關時，信號子空間的維數等于信號源數，而當信號源相干時，信號子空間的維數會減少。那么這個信號特征矢量與導向矢量之間有什么關系?

假設 個窄帶遠場信號入射到 個陣元組成的陣列上，則陣列流型矩陣的秩為 ，信號協方差矩陣的秩為 ，假設噪聲協方差矩陣 為滿秩矩陣，則有如下線性關系滿足

其中， ， 為特征矢量， 為線性組合因子。

由上述分析可知，當噪聲協方差矩陣為理想白噪聲時，上式可簡化為

上式說明無論信號源是否相干，對應大特征值的特征矢量是各信號源導向矢量的一個線性組合。考慮最極端的情況，如 (信號源完全相干)時，上式左邊只有一個最大特征值對應的特征矢量

該式說明數據協方差矩陣的最大特征矢量 包含所有信號的信息。我們會想到能否直接利用最大特征矢量來解相干?答案是肯定的。根據上式，可以重新構造如下一個矩陣

式中， ， ， 。

上式組成的協方差矩陣可以表示為如下形式

其中， ，矩陣 ， 分別為 個信號組成的維數為 和 的陣列流型。如果對 進行奇異值分解有

其中， 是一個 的由奇異值組成的矩陣， 是左奇異矩陣， 是右奇異矩陣，則理想情況下矩陣 的非零奇異值為 個，也就是小奇異值對應的左奇異矩陣中的矢量組成的空間即是噪聲子空間，非零奇異值對應的矢量即是信號子空間。

上述定理提供了一種有效的解相干算法——特征矢量奇異值法(ESVD)。另外需注意，將矩陣 中的最大特征矢量 換成無噪聲的快拍數據后，就是一種直接針對數據處理的矢量奇異值法(DSVD)。其數據矢量通過下式獲得

其中， 是 的一個參考陣元的數據矢量， 是 的陣列接收數據矩陣， 為快拍數，也就是數據接收矩陣與參考陣元數據相乘的平均，然后用得到的數據矢量 代替矢量 重構數據矩陣 。

由上述說明可以看出，矢量奇異值算法的共同點在于找出一個矢量，這個矢量要包含所有的信號信息，這樣在重構的數據陣中就可估計出相干信號源的信號或噪聲子空間。

基于矢量奇異值算法的 MUSIC 計算過程如下所示。

通過預處理得到一個數據矢量

利用數據矢量重構矩陣

利用 MUSIC 算法進行 DOA 估計

關于基于矢量奇異值算法的 MUSIC，作如下進一步說明：

矢量重構算法與空間平滑算法相似，解相干的性能都是通過降低自由度獲得的

數據重構矩陣 是一個 矩陣，其中 ，所以為了正確估計信號，必須滿足 ， 。另外，由于矩陣 是一個長方陣，所以在利用 MUSIC 算法進行 DOA 估計時，需用奇異值分解，而不是特征值分解

這類算法一般只適用于均勻線陣

下面為在 信噪比條件下， 個相干信號源分別從 入射時傳統 MUSIC 算法的成像效果以及 SVD 的 MUSIC 成像效果。其中，陣列天線數 。

從仿真效果中可以看出，傳統 MUSIC 算法無法正確估計相干信號源方向，而 SVD 算法能準確估計出相干信號源方向。

矩陣分解算法

矩陣分解算法也是一類矩陣重構的算法，但它的重構與上述的奇異矢量法不同。

設 是 維無零行矢量的矩陣( )， 是 維對角陣，其對角元素互不相等，若 ，則 ，也就是新的矩陣 的秩為 。

若 ，則有

其中， ， 為信號源數， 為陣列接收數據協方差陣， 矩陣 為 的第 行到 行構成的矩陣。

顯然上式所示的 MD 算法是針對理想情況下的矩陣重構，與空間平滑技術相似，為了提高解相干的性能，可以在修正矩陣中添加反向平滑項，即得 MMD 算法的修正矩陣

這樣做的好處與雙向平滑的空間平滑技術相同，可以再提高陣列解相干信號的能力，即解相干源的能力與 MSS 算法相同。

另外，我們也提出了一種減小計算量的修正的矩陣分解算法，其思想是將空間平滑技術應用到矩陣分解中，稱之為 SMD 算法。從前面空間平滑的技術中可知，前向平滑后的修正矩陣為 ，后向平滑矩陣為 ，則得到 SMD 算法的修正矩陣為

對上面修正矩陣的處理有一個明顯的好處：對修正矩陣的奇異值分解計算量明顯少于對 MMD 算法的修正矩陣的奇異值分解，并且算法的穩定性也有相當大的提高。

根據以上的理論分析，將基于矩陣分解的解相干算法歸納為下面所述的步驟。

對陣列的數據協方差矩陣進行重構

對重構的矩陣進行奇異值分解，得到數據的信號子空間與噪聲子空間

利用 MUSIC 算法進行 DOA 估計

對于基于矩陣分解的解相干算法，還應注意以下幾點：

矩陣分解算法、矢量重構算法與空間平滑算法相似，解相干的性能都是通過降低自由度獲得的

數據重構矩陣 是一個 矩陣，為了正確估計相干信號源，必須滿足 且 大于相干源的數目

當相干源數多時，SVD 算法的運算量要小很多

相同條件下 MMD 算法的仿真如下所示。

前面討論的 MUSIC 及相關應用場合的算法都是建立在陣元空間基礎上的，即每個陣元都對應于一個數據處理的通道。這一節討論波束空間的 MUSIC 處理。所謂的波束空間是指先將空間陣元通過變換合成一個或幾個波束，再利用合成的波束數據進行 DOA 估計，其原理如下圖所示。

從圖中可知，波束空間處理需要通過陣元合成一定數量波束通道作為數據接收通道，這和陣元空間處理中每個陣元對應于一個接收通道完全不同。

我們知道，基于特征分解的信號子空間算法的運算量為 ，所以對于大陣列、小信號源數的場合，這類算法很難實時實現。

顯然，波束空間方法在這種場合下能有效降低算法的計算量，如果合成波束的維數 ，則 DOA 估計的計算量由 降為 ，所以在合成的波束數 遠小于陣元數 時算法的運算量顯著下降。

同樣，就系統設計而言，數據接收通道的減少可以大大減少系統的復雜性。

波束形成原理及算法

通過前面的知識可知，對于 陣元間距為 的均勻線陣，陣列的導向矢量

顯然，上式可以表示成 函數，即 就對應線陣的觀察范圍為 。注意到由 點離散傅里葉變換因子組成的矢量

該式表明式陣列的導向矢量也是離散傅里葉變換的一種形式，只是傅里葉變換的因子中 變為 ，則有第 次快拍數據的離散傅里葉變換

上式表明陣列的導向矢量其實是一個波束形成器，其權值即是 ，形成的波束主瓣指向 。因為 ，即 的周期為 可定義如下一個 的波束形成矩陣

由上面的分析可知，式中每一列表示波束主瓣指向 的波束形成器，其中 ，則上式共有 個波束形成器，各相鄰主瓣指向的間隔為 。

回到我們的主題，我們的目的是通過陣列的接收數據形成 個波束，如何才能形成這 個波束?很顯然可以通過選擇上式中相鄰的 個波束形成器來形成所需要的歸一化加權矩陣(該方法記為 )

該式就是基于 DFT 波束形成的方法，采用上式的好處在于形成的變換矩陣滿足

則通過波束空間變換后的輸出

當 時，上式仍為陣元空間的處理，可用常規的 MUSIC 算法。另外，由上式還可知波束輸出由 矢量變為 矢量，對應的協方差矩陣為

其中， 。對上式進行特征分解得到噪聲子空間 ，再應用 MUSIC 算法即得波束空間的 MUSIC 算法

除了上面給出的 的一種取值方法外，還有其他取值方法，它們的目的都是通過 個陣列的接收數據形成 個波束，然后通過波束空間的處理方法得到信號源的方位信息。下面討論一些其他的 取值方法。

(1)設 是一個 的列矢量(該方法記為 )，令

顯然，上式不滿足 ，即變換矩陣為非正交變換(可以通過處理使之正交化)。

分析上式，不難發現通過波束空間變換后的輸出與前節分析的空間平滑的思想相似，即相當于對一個 陣元的陣列進行 的平滑，而子陣的陣元數為 ，即每個子陣的輸出為子陣各陣元的求和。

(2)設 是正整數， 是一個 的列矢量(該方法記為 )，則 取如下的矩陣

式中的 指的是由 組成的矢量。通過變換后的陣列輸出相當于將整個陣列分為 個子陣，每個子陣的陣元數為 ，而每個子陣的輸出為子陣各陣元的求和，且該式滿足 ，即上式也是一個正交變換，這種變換方式一般適合大陣列。

(3)定義一個 矩陣 ，可以取波束形成矩陣 如下

當考察兩個相鄰信號的分辨力問題時，可以取 如下(該方法記為 )

其中， ， 是一個 的滿秩矩陣?；蛘邔τ谀骋淮_定的觀察區域 ，將之平分為 份，間隔 ，則可以取矩陣 如下(該方法記為 )

另外 的另一種取法為(該方法記為 )

式中， ， 分別為導向矢量 的一階導數和二階導數，式中取 。

注意：需要將矩陣 代入 中得到波束形成矩陣 。

(4)定義如下一個矩陣

則波束形成矩陣可以取矩陣 的 個大特征值對應的特征矢量(該方法記為 )，即

上式也是一種波束形成器。已有文獻證明，對于均勻線陣，該波束形成器是最優的。當然當 小于 個波束寬度時，可以定義如下的矩陣

式中， 。這樣，波束形成矩陣由 的三個大特征值對應的特征矢量及剩余的其他特征矢量中的 個特征矢量組成(該方法記為 )，即

我們將波束空間 MUSIC 算法的計算過程總結于下：

由陣列的接收數據得到數據協方差矩陣

選擇不同的波束形成矩陣 ，利用 得到波束空間的數據矩陣

利用波束空間的數據矩陣進行 MUSIC 譜估計，找出極大值對應的信號方向

對于波束空間的 MUSIC 算法，需要進一步說明的是：

波束空間的 MUSIC 算法實質就是先將陣列形成幾個波束，換言之，就是將陣列接收的數據(陣元空間數據)變換到波束空間的數據，再利用波束空間的數據進行 DOA 估計

波束空間的 MUSIC 算法在利用 MUSIC 算法進行搜索時，注意導向矢量的維數必須等于形成的波束數，而且在對波束空間數據進行特征分解時，矩陣的維數也由原來的陣元數降為波束數

波束空間形成矩陣 的選擇決定波束空間算法的性能，但 的選擇不是任意的，只有各相鄰波束滿足一定的條件才能正確估計信號源的數目與方向

相關仿真分析

陣元數目為 ，形成的波束數目為 ，信源為 個相互獨立的信號源，其方位角分別為 ， ， ， 。對應的信噪比為 ，形成波束的初始陣元為 (第一個陣元)，快拍數為 。圖如下所示。

對于相關信號，則只需要把相應的調頻率寫為 即可，仿真結果如下圖所示。

從上面的仿真對比，我們可以得出，一般情況下陣元空間的算法性能優于波束空間，但是使用波束空間算法降低了系統的復雜性，降低了運算量。 由于這種算法因其本質上仍然是 MUSIC 算法，因此對于相干信號，此算法也無法進行解相干。

陣元數目為 ，信源為 個相互獨立的信號源，其方位角分別為 ， 。對應的信噪比為 ，形成波束的初始陣元為 (第一個陣元)，快拍數為 ，形成的波束數目變化時測角性能和波束數目關系如下所示。

個波束空間時的測角性能：

個波束空間時的測角性能：

個波束空間時的測角性能：

個波束空間時的測角性能：

個波束空間時的測角性能：

個波束空間時的測角性能：

個波束空間時的測角性能：

從上述仿真可以看出， 由仿真結果可見，波束空間的數目加大時會有效的改善空間角分辨能力，當波束空間的數目等于陣元數目時，這種算法的性能和常規 MUSIC 算法是一樣的;但是波束空間數目增加時又會使計算負擔加大，那么這種算法的優點也會消失。

原文標題：相干信號源數學模型

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審核編輯：湯梓紅