本文主要介紹了常用的一些機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的優(yōu)化算法。

在機(jī)器學(xué)習(xí)的世界中，通常我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多問(wèn)題并沒(méi)有最優(yōu)的解，或是要計(jì)算出最優(yōu)的解要花費(fèi)很大的計(jì)算量，面對(duì)這類問(wèn)題一般的做法是利用迭代的思想盡可能的逼近問(wèn)題的最優(yōu)解。我們把解決此類優(yōu)化問(wèn)題的方法叫做優(yōu)化算法，優(yōu)化算法本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)方法，常見(jiàn)的優(yōu)化算法包括梯度下降法、牛頓法、Momentum,Nesterov Momentum,Adagrad,Adam等。其實(shí)大部分機(jī)器學(xué)習(xí)算法的本質(zhì)都是建立優(yōu)化模型，通過(guò)優(yōu)化算法對(duì)損失函數(shù)（優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)）進(jìn)行優(yōu)化，從而訓(xùn)練出最好的模型。

（1）梯度下降法

梯度下降法是最常用的一種優(yōu)化算法。其核心思想是：在當(dāng)前位置尋找梯度下降最快的方向，來(lái)逐漸逼近優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。且離目標(biāo)函數(shù)越近，逼近的“步伐”也就越小。梯度下降法本質(zhì)是一種迭代方法，常用于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的模型參數(shù)求解。其示意圖如下圖1所示：

圖1梯度下降法

梯度下降法的更新公式為：

其中α為梯度上每次逼近的步長(zhǎng)，前邊的“-”表示搜索方向?yàn)樨?fù)梯度的方向，L我損失函數(shù)。算法更新終止的條件是梯度向量接近于0即可。此外需要特別注意的是，梯度下降法不一定能夠找到全局的最優(yōu)解，很有可能找到的是一個(gè)局部最優(yōu)解。

（2）梯度下降法的變式

通常基于梯度的下降方法又有很多變式，我們主要為大家介紹：隨機(jī)梯度下降法(SGD), Momentum, Nesterov Momentum, Adagrad, Adam。

隨機(jī)梯度下降法是每次使用一批數(shù)據(jù)進(jìn)行梯度的計(jì)算，而非計(jì)算全部數(shù)據(jù)的梯度，因?yàn)槿绻看斡?jì)算全部數(shù)據(jù)的梯度，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量加大，運(yùn)算時(shí)間變長(zhǎng)，容易陷入局部最優(yōu)解，而隨機(jī)梯度下降可能每次不是朝著真正最小的方向，這樣反而可以跳出局部的最優(yōu)解。

Momentum是在隨機(jī)梯度下降法的基礎(chǔ)上，增加了動(dòng)量（Momentum）的技術(shù)。其核心是通過(guò)優(yōu)化相關(guān)方向的訓(xùn)練和弱化無(wú)關(guān)方向的振蕩，來(lái)加速SGD訓(xùn)練。Momentum的方法能夠在一定程度上緩解隨機(jī)梯度下降法收斂不穩(wěn)定的問(wèn)題，并且有一定的擺脫陷入局部最優(yōu)解的能力。

Nesterov Momentum是基于Momentum的加速算法，相比于傳統(tǒng)的動(dòng)量算法，最大的優(yōu)化是計(jì)算經(jīng)過(guò)動(dòng)量更新之后的位置梯度。

Adagrad即adaptive gradient，是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的梯度法。它通過(guò)記錄并調(diào)整每次迭代過(guò)程中的前進(jìn)方向和距離，使得針對(duì)不同問(wèn)題都有一套自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的方法。Adagrad最大的優(yōu)勢(shì)是不需要手動(dòng)來(lái)調(diào)整學(xué)習(xí)率，但與此同時(shí)會(huì)降低學(xué)習(xí)率。

Adam即Adaptive Moment Estimation，是能夠自適應(yīng)時(shí)刻的估計(jì)方法，能夠針對(duì)每個(gè)參數(shù)，計(jì)算自適應(yīng)學(xué)習(xí)率。這是一種綜合性的優(yōu)化方法，在機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)際訓(xùn)練中，往往能夠取得不錯(cuò)的效果。

（3）牛頓法和擬牛頓法

與上述梯度類型的優(yōu)化算法最大的不同是，牛頓法是一種二階收斂算法，所以它的收斂速度相較于一階算法會(huì)更快。牛頓法二階的意義在于它不僅會(huì)沿著梯度最大的方向下降，還會(huì)考慮走的下一步坡度是不是也很大，它能夠以較遠(yuǎn)的目光全局的逼近目標(biāo)函數(shù)。其算法的具體步驟為：

1）首先選擇接近于函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0，并計(jì)算f(x0)處的斜率f’(x0)。然后我們求解以下方程，得到比剛剛的x0更加準(zhǔn)確的解x1。

2）接下來(lái)我們利用x1進(jìn)行下一輪的迭代，迭代公式如下所示。這樣經(jīng)過(guò)反復(fù)的迭代過(guò)程，我們便能取得函數(shù)f(x)的最優(yōu)解。

牛頓法的迭代示意圖如下所示：

圖2 牛頓法

雖然牛頓法相較于梯度下降法等優(yōu)化算法收斂速度更快，但每一步都需要求解復(fù)雜的Hessian矩陣，計(jì)算非常不易。所以后來(lái)美國(guó)Argonne國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的物理學(xué)家W.C.Davidon又針對(duì)牛頓法計(jì)算復(fù)雜的缺陷提出了擬牛頓法。它的核心思想是使用正定矩陣來(lái)近似Hessian矩陣的逆，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算的復(fù)雜。另外，因?yàn)閿M牛頓法不需要二階導(dǎo)數(shù)的信息，所以現(xiàn)在擬牛頓法在機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更加的廣泛。

【總結(jié)】：除了以上幾類較為常見(jiàn)的優(yōu)化算法以外，還有共軛梯度法、啟發(fā)式優(yōu)化算法等。在實(shí)際的機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題中，往往需要具體問(wèn)題具體分析，根據(jù)每類優(yōu)化問(wèn)題的特征，選擇合適的優(yōu)化算法。