十進制數(shù)的編碼與運算

　　十進制數(shù)的每一個數(shù)位的基為10，但到了計算機內(nèi)部，出于存儲與計算方便的目的，必須采用基2碼對每個十進制數(shù)位進行重編碼，所需要的最少的基2碼的位數(shù)為log210，取整數(shù)為4。4位基2碼有16種不同的組合，怎樣從中選擇出10個組合來表示十進制數(shù)位的0-9，有非常多的可行方案，下面介紹其中的最常用的幾種。

　　① 十進制有權(quán)碼
　　是指表示一個十進制數(shù)位的4位基2碼的每一位有確定的位權(quán)。
　　用得最普遍的是8421碼，即4個基2碼位的權(quán)從高向低分別為8、4、2和1，使用基2碼的0000、0001、…1001這10種組合，分別表示0到9這十個值。這種編碼的優(yōu)點是這4位基2碼之間滿足二進制的規(guī)則，而十進制數(shù)位之間則是十進制規(guī)則，故稱這種編碼為以二進制編碼的十進制(Binary Coded Decimal)數(shù)，簡稱BCD碼或二-十進制碼。另一個優(yōu)點是在數(shù)字符的ASCII碼與這種編碼之間的轉(zhuǎn)換方便，即取每個數(shù)字符的ASCII碼的低4位的值便直接得到該數(shù)字的BCD碼，入/出操作簡便。在計算機內(nèi)實現(xiàn)BCD碼之間的算術(shù)運算要復(fù)雜一些，在某些情況下，需要對加法運算的結(jié)果進行修正。修正規(guī)則是:

　　若兩個8421碼數(shù)相加之和等于或小于1001，即10進制的9，不需要修正；
　　若相加之和在10到15之間，一方面應(yīng)向高位產(chǎn)生一進位，本位還要進行加6修正，進位是在進行加6修正時產(chǎn)生的；
　　若相加之和在16和18之間時，向高位的進位會在相加過程中自己產(chǎn)生，對本位還需進行加6修正。下面給出三種情況下的具體例子。

　　例如，1+8=9的運算結(jié)果是正確的，不必修正。

　　　　0 0 0 1
　　　+)1 0 0 0 　　　(1)₁₀+(8)₁₀=(9)₁₀
　　
　　　　1 0 0 1

　　而4+9的結(jié)果就必須用 +6 修正，進位是在修正過程中產(chǎn)生的。

　　　　0 1 0 0
　　　+)1 0 0 1 　　　(4)₁₀+(9)₁₀ =（1）₁₀ (3)₁₀
　　
　　　　1 1 0 1
　　+） 0 1 1 0
　　
　　　1 0 0 1 1

　　而7+9的結(jié)果也必須用 +6 修正，進位是在相同加過程中產(chǎn)生的。

　　　　0 1 1 1
　　　+)1 0 0 1 　　　(7)₁₀+(9)₁₀ =（1）₁₀(6)₁₀
　　
　　　1 0 0 0 0
　　+） 0 1 1 0
　　
　　　1 0 1 1 0

　　另外幾種有權(quán)碼,如2421、5211、84-2-1、4311碼(表2.9),也都是用4位有權(quán)基2碼表示一個十進制數(shù)位，但這4位基2碼之間并不符合二進制規(guī)則。這幾種有權(quán)碼的特性表現(xiàn)為:

　　當(dāng)采用2421、5211和4311編碼時,任何兩個十進制數(shù)位相加產(chǎn)生10或大于10的結(jié)果,相應(yīng)的基2碼相加會向高一位產(chǎn)生進位,有利于實現(xiàn)逢十進位的計數(shù)和加法規(guī)則。

　　任何兩個相加之和等于9的十進制數(shù)位的基2碼，互為反碼，即滿足十進制數(shù)按9互補(9's Complement)的關(guān)系，有利于簡化減法處理。表2.9給出的是上面提到的十進制數(shù)位的編碼方案。

表2.9 四位有權(quán)碼

十進制數(shù)	8421碼	2421碼	5211碼	840201碼	4311碼

　② 十進制無權(quán)碼

　　是指表示一個十進制數(shù)位的4位基2碼的每一位沒有確定的位權(quán)。

　　在采用的無權(quán)碼的一些方案中，早期用的比較多的是余3碼（Excess-3 code），是把原二進制的每個代碼都加0011值得到的。它的主要優(yōu)點是執(zhí)行十進制數(shù)位相加時,能正確地產(chǎn)生進位信號，而且還給減法運算帶來了方便。

　　采用余3碼執(zhí)行加法運算的規(guī)則是:
　　當(dāng)兩個余3碼相加不產(chǎn)生進位時,應(yīng)從所得結(jié)果中減去0011；
　　產(chǎn)生進位時,一方面應(yīng)將進位信號送入高位余3碼，本位還應(yīng)執(zhí)行加0011的修正操作。例如:

　　(1) 　　0101 0011 　　　（20）₁₀+（75）₁₀= （95）₁₀
　　　　+） 1010 1000
　　　　
　　　　　　1111 1011
　　　　-） 0011 0011
　　　　
　　　　　　1100 1000

　　(2) 　　0101 1011 　　　（28）₁₀+（55）₁₀=（83）₁₀
　　　　+） 1000 1000
　　　　
　　　　　1101 1 0011
　　　　　1110
　　　 -）0011 + 0011
　　　　
　　　　　1011 　0110

　　格雷碼是另外一種常用的二-十進制編碼，是使任何兩個相鄰的代碼只有一個二進制位的狀態(tài)不同，其余三個二進制位必須有相同狀態(tài)。這種編碼方法的好處是，從一編碼變到下一個相鄰編碼時，只有一位的狀態(tài)發(fā)生變化，有利于得到更好的譯碼波形，在模擬→數(shù)字、數(shù)字→模擬轉(zhuǎn)換的電路中得到更好的運行結(jié)果。用四個二進制位的格雷碼表示十進制數(shù)的十個狀態(tài)的方案很多。表2.10給出兩組最常用的編碼值。

表2.10 四位無權(quán)碼

十進制數(shù)	余三碼	格雷碼（1）	格雷碼（2）

③ 十進制數(shù)的其它編碼方法

　　也有用多于4位基2碼,如用5位、7位、甚至10位基2碼，來表示一個十進制數(shù)位的方案。有些屬于無權(quán)碼，有些屬于有權(quán)碼。表2.11給出4種編碼方案。

表2.11 十進制數(shù)位編碼方案

十進位	無權(quán)碼		有權(quán)碼
符號	五中取二碼	蠕變碼	二元五進制碼 5043210	獨熱碼 0123456789

　　五中取二碼 (2-out-of-5 Code)使用5位基2碼，并且每個代碼必須包含2個"1"和3個"0"，因此提供了一位（或奇數(shù)位）檢粗能力。

　　蠕變碼（Creeping Code）也用5位基2碼，是由一個"1"逐次移位擴展和收縮而形成的，符合格雷碼的編碼規(guī)則。
④ 數(shù)字串在計算機內(nèi)的表示與存儲

　　人們習(xí)慣使用10進制數(shù)，而在計算機內(nèi)，采用二進制表示和處理數(shù)據(jù)更方便。因此,在計算機輸入和輸出數(shù)據(jù)時，要進行十→二和二→十的進制轉(zhuǎn)換處理，這是多數(shù)應(yīng)用環(huán)境中的實際情況。而在某些特定的應(yīng)用領(lǐng)域中，如商業(yè)統(tǒng)計，其特點是運算簡單而數(shù)據(jù)量很大，這樣使輸入輸出過程中的進制轉(zhuǎn)換所占的時間比例很大。從提高機器的運行效率考慮，也可以采用在計算機內(nèi)部直接用十進制方式表示和處理數(shù)據(jù)，這要求計算機內(nèi)部增加少量硬件線路。目前，大多數(shù)通用性較強的計算機，都能直接處理十進制形式表示的數(shù)值。采用十進制表示數(shù)據(jù)的另一個目的，是提高數(shù)據(jù)的表示范圍和運算精度，就是說，十進制數(shù)在計算機內(nèi)是以十進制的數(shù)位組成的數(shù)串形式存儲與計算的，其位數(shù)，即串長是可變的，可規(guī)定最長可用位數(shù)，因此不受二進制整數(shù)和浮點數(shù)統(tǒng)一格式的約束。

　　十進制數(shù)串在計算機內(nèi)主要有兩種表示形式。
　　a. 字符串形式,即一個字節(jié)存放一個十進制的數(shù)位或符號位。在主存中，這樣的一個十進制數(shù)占用連續(xù)的多個字節(jié)，故為了指明這樣一個數(shù)，需要給出該數(shù)在主存中的起始地址和位數(shù)(串的長度)。

　　對用這種方式表示的數(shù)據(jù)進行算術(shù)運算是很不方便的，因為每個數(shù)字符占用一個字節(jié)，其低四位的值表示數(shù)值，而高四位的值在進行算術(shù)運算時不具有數(shù)值的意義。因此，用這種方式表示的十進制字符串，主要用在非數(shù)值計算的有關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域中。

　　b. 壓縮的十進制數(shù)串形式，即一個字節(jié)存放兩個十進制的數(shù)位，它比前一種形式節(jié)省存儲空間，又便于直接完成十進制數(shù)的算術(shù)運算，是廣泛采用的較為理想的方法。

　　用壓縮的十進制數(shù)串表示一個數(shù)，要占用主存連續(xù)的多個字節(jié)，每個數(shù)位占用半個字節(jié)(即4個二進制位)，其值可用二-十進制編碼(BCD碼，數(shù)字符的ASCII碼的低4位)表示,符號位也占用半個字節(jié)并存放在最低數(shù)字位之后，其值選用四位編碼的六種冗余狀態(tài)中的有關(guān)值，如用1100表示正號，用1101表示負(fù)號。在這種表示中，規(guī)定數(shù)值位加符號位之和必須為偶數(shù)，當(dāng)其和不為偶數(shù)時，應(yīng)在最高數(shù)字位之前補一個0。此時,表示一個數(shù)要占用該偶數(shù)值位的一半那么多個字節(jié)。例如:
　　　　　　　　　　　+123被表示成 123C， -12 被表示成 012D。

　　要指明一個壓縮的十進制數(shù)串，也需給出它在主存中的首地址和數(shù)字位個數(shù)(不含符號位)，又稱位長，位長為0的數(shù)其值為0。壓縮的十進制數(shù)串表示方法的優(yōu)點是位長可變，許多機器中規(guī)定該長度從0到31，有的甚至更長。