我們知道，快速傅里葉變換 (FFT) 是信號(hào)處理的重要數(shù)學(xué)工具。一般而言，n點(diǎn)信號(hào)的離散傅里葉變換 (DFT) 的變換結(jié)果（頻域）也是n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。但在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)實(shí)際信號(hào)作FFT時(shí)，常常涉及到變換前數(shù)據(jù)需要補(bǔ)零 (Zero padding) 的問(wèn)題。

一些論壇里，曾看到某些專業(yè)人士從信息論的角度分析認(rèn)為：“Zero padding沒(méi)有增加時(shí)域信號(hào)的有效信息，因此，不會(huì)改變DFT/FFT的分辨率”。那么， 補(bǔ)零到底有什么用，什么時(shí)候需要補(bǔ)零呢？ 對(duì)于一般的工程技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，基本就是調(diào)用現(xiàn)成代碼或模塊進(jìn)行計(jì)算，很少考慮這些問(wèn)題。其實(shí)，了解和搞清楚這個(gè)問(wèn)題，對(duì)實(shí)際應(yīng)用還是很有幫助的。接下來(lái)，我們將從以下幾個(gè)方面來(lái)簡(jiǎn)要闡述如何補(bǔ)零，以及它對(duì)頻譜分析結(jié)果的影響。

什么是補(bǔ)零 ( Zero Padding )？

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，補(bǔ)零 (Zero Padding) 就是對(duì)變換前的時(shí)域或空域信號(hào)的尾部添加若干個(gè)0，以增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。如圖1所示，為含有1.00MHz和1.05MHz兩個(gè)頻率成分合成的正弦波實(shí)信號(hào)。

（a）

（b）

圖1 時(shí)域信號(hào)的補(bǔ)零示意圖

圖1(a)中信號(hào)長(zhǎng)度為1000個(gè)樣點(diǎn)，采樣頻率為 fs =100MHz時(shí)，信號(hào)的實(shí)際時(shí)長(zhǎng)則為10us。在其尾部添加1000個(gè)0，即數(shù)據(jù)增加到了2000個(gè)點(diǎn)（時(shí)長(zhǎng)為20us），則變?yōu)閳D1(b)所示的波形。

這個(gè)過(guò)程就是通常所說(shuō)的補(bǔ)零（ZeroPadding）。

為什么要Zero Padding？

最直接的理由就是，如果時(shí)域波形的數(shù)據(jù)樣點(diǎn)為2的整數(shù)冪的話，F(xiàn)FT計(jì)算將是最高效的，硬件 (FPGAs) 計(jì)算FFT，就是采用了這樣的Padding工作模式。那么，我們所關(guān)心的補(bǔ)零會(huì)不會(huì)影響計(jì)算輸出的頻率分辨率呢？

關(guān)于FFT頻率分辨率

這里涉及到兩種意義下的分辨率問(wèn)題，一種叫“波形頻率分辨率 (Waveform frequency resolution”) 或叫視覺(jué)頻率分辨率 (Visual frequency resolution)；另一種則叫做“FFT分辨率”。雖然，這個(gè)分類和命名不一定是很專業(yè)的術(shù)語(yǔ)，但卻有助于對(duì)“頻率分辨率”概念的理解。在沒(méi)有補(bǔ)零的情況下，這兩個(gè)概念通常容易被混淆，因?yàn)樗鼈兪堑葍r(jià)的。

波形頻率分辨率是指可以被分辨的2個(gè)頻率的最小間隔 (Spacing)；而FFT 分辨率則是頻譜中的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) (The number of points in the spectrum)，它是與做FFT的點(diǎn)數(shù)直接相關(guān)的。

因此，波形頻率分辨率可定義為：

其中，T是實(shí)際信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度。

同樣，F(xiàn)FT分辨率可以定義為：

其中，fs為采樣頻率 (the sampling frequency)，Nfft為FFT的點(diǎn)數(shù)。ΔRf代表了FFT頻率軸上的頻率取值的間隔 (Spacing)。

值得注意的是，可能有很好的FFT分辨率，但卻不一定能夠很好的把2個(gè)頻率成分簡(jiǎn)單的分開(kāi)。同樣，可能有很高的波形分辨率，但波形的能量峰值會(huì)通過(guò)整個(gè)頻譜而分散開(kāi)（這是因?yàn)镕FT的頻率泄漏現(xiàn)象）。

我們知道，信號(hào)的離散傅里葉變換 (DFT) 或快速傅里葉變換 (FFT) 是對(duì)波形的任何一邊補(bǔ)零形成的無(wú)限序列進(jìn)行計(jì)算的。這就是，為什么FFT的每個(gè)頻率單元 (bin) 都具有明顯的sinc波的形狀。

波形頻率分辨率1/T與一個(gè)sinc函數(shù)空值間隔 (the space between nulls) 是一樣的。

例 析

下面以一個(gè)具有2種頻率成分的周期信號(hào)為例，說(shuō)明Zero Padding與頻譜分辨率的關(guān)系：

其中，f1 = 1.00MHz，f2 = 1.05MHz，頻率間隔為0.05MHz。也就是說(shuō)，在我們的頻譜分析曲線上能看到2個(gè)頻率點(diǎn)的峰，若2個(gè)正弦波的幅度為1伏 ( V)，那么我們期望在1MHz和1.05MHz的頻率點(diǎn)處的功率為10dBm。

分以下幾種情況進(jìn)行分析：

1. 時(shí)域信號(hào)1000個(gè)點(diǎn)采樣，做相同樣點(diǎn)數(shù)的FFT。

圖2 原始信號(hào)的功率譜 (1000點(diǎn) FFT)

圖2中，我們并沒(méi)有看見(jiàn)期望的兩個(gè)脈沖，因?yàn)閳D中僅出現(xiàn)一個(gè)脈沖點(diǎn)，其幅度約為11.4dBm。顯然，這個(gè)圖并不是我們想要的正確的頻譜圖。原因很簡(jiǎn)單，沒(méi)有足夠的分辨率看見(jiàn)兩個(gè)峰值 (Peaks)。

2. 時(shí)域信號(hào)1000個(gè)點(diǎn)采樣，后端補(bǔ)6000個(gè)零，做7000點(diǎn)數(shù)的FFT。

我們自然想到，采用補(bǔ)零方式增加FFT點(diǎn)數(shù)，以使頻率軸上能增加更多點(diǎn)數(shù)。如采用7000個(gè)點(diǎn)做FFT，即需要在原1000點(diǎn)信號(hào)尾部增加6000個(gè)零值（即60us時(shí)長(zhǎng)），則原始信號(hào)變?yōu)閳D3(a)所示，其FFT結(jié)果如圖3(b)所示。

（a）

（b）

圖3 原始信號(hào)補(bǔ)零及功率譜 (7000點(diǎn) FFT)

圖3中，我們也并沒(méi)有看見(jiàn)期望的結(jié)果。仔細(xì)觀察一下，此圖到底告訴了我們什么呢？即通過(guò)增加更多FFT點(diǎn)數(shù)的做法，使得波形頻率分辨率公式中的sinc函數(shù)的定義更清晰。可以看出，sinc空值 (nulls) 間隔大約是0.1MHz。

由于給出信號(hào)的兩個(gè)正弦波的頻率間隔是按0.05MHz分隔的，因此，不管我們用多少FFT點(diǎn)數(shù) (Zero padding)，都無(wú)法解決2個(gè)正弦波的問(wèn)題。

再來(lái)看一下頻率分辨率ΔRf告訴了我們什么。盡管，F(xiàn)FT分辨率大約為14kHz（足夠的頻率分辨率），而波形頻率分辨率僅僅為100kHz。兩個(gè)信號(hào)的頻率間隔是50kHz，所以我們受限于波形頻率分辨率 ΔRw 。

3. 時(shí)域信號(hào)7000個(gè)點(diǎn)采樣，做7000點(diǎn)數(shù)的FFT。

為了合理地解決這個(gè)頻譜的問(wèn)題，需要增加用于FFT的時(shí)域數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度（點(diǎn)數(shù)）。因此，我們直接采集波形的7000點(diǎn)作為輸入信號(hào)，取代補(bǔ)零 (Zero Padding) 方式到70us (7000 點(diǎn)) 。時(shí)間域信號(hào)及對(duì)應(yīng)的功率譜分別如圖4a-4b所示。

（a）

（b）

圖4 按7000點(diǎn)采集的信號(hào)及其功率譜

通過(guò)時(shí)域數(shù)據(jù)的周期延拓，現(xiàn)在的波形頻率分辨率ΔRw也近似為14KHz。但從頻譜圖中，我們還是看不見(jiàn)2個(gè)正弦波。1MHz信號(hào)已按正確的10dBm功率值清晰地表征，而1.05MHz 信號(hào)變寬，且未以期望的10dBm 功率分布。這是為什么呢？

原因就是1.05MHz處并沒(méi)有FFT點(diǎn)的分布，此處的能量被多個(gè)FFT點(diǎn)分散（泄露）了。

給出的例子中，采樣頻率是100MHz，F(xiàn)FT點(diǎn)數(shù)為7000。頻譜圖中，點(diǎn)與點(diǎn)之間的間隔是14.28kHz。1MHz頻率剛好為頻率間隔的整數(shù)陪，而1.05MHz 卻不是。距1.05MHz最近的整數(shù)倍頻率為1.043MHz和1.057MHz，因此，能量被這2個(gè)FFT單元所分散。

4. 時(shí)域信號(hào)7000個(gè)點(diǎn)采樣，后端補(bǔ)1000個(gè)零，做8000點(diǎn)數(shù)的FFT。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以合理選擇FFT的點(diǎn)數(shù)，以便這兩個(gè)點(diǎn)能在頻率軸上成為獨(dú)立分開(kāi)的點(diǎn)。由于，我們并不需要更好的波形頻率分辨率，僅采用時(shí)域數(shù)據(jù)的零填充方式來(lái)調(diào)整FFT數(shù)據(jù)點(diǎn)的頻率間隔。

給時(shí)域信號(hào)增加1000零值 (10us)，使得頻率間隔為12.5kHz，這樣，滿足了1 MHz and 1.05MHz兩個(gè)頻率都是這個(gè)間隔的整數(shù)倍。此時(shí)，給出的功率譜如圖5所示。可以看出，兩個(gè)頻率問(wèn)題得到解決，而且功率均在期望的10dBm。

圖5 補(bǔ)零至8000點(diǎn)信號(hào)的功率譜

為了進(jìn)一步觀察過(guò)度補(bǔ)零的現(xiàn)象，通過(guò)時(shí)域補(bǔ)更多的零值 (10000點(diǎn)) 來(lái)完成更多點(diǎn)數(shù)的FFT（確保具有正確的波形頻率分辨率 ΔRw ），我們就可以清晰地看到FFT單元 (bins) 的sinc波形狀，如圖6所示。

圖6 補(bǔ)零至107000點(diǎn)信號(hào)的功率譜