大家都知道，電容器是一種能夠儲存電荷的器件，它由兩個相對的導體極板和中間的絕緣介質組成。當我們給電容器接上一個電源時，電源就會給電容器充電，使得一個極板帶正電，另一個極板帶負電。這樣，兩個極板之間就形成了一個電場，而這個電場就儲存了一定的能量。

電容的大小取決于導體板的面積、介質的介電常數和兩板之間的距離。在最簡單的情況下，它有如下的關系：C=εA/d。一般來說，面積越大、介電常數越高、距離越小，電容就越大。

在經典物理中，電容也可以用電荷和電壓之間的比例表示：C=Q/V。這個公式告訴我們，電容量越大，在相同的電壓下，極板上可以儲存更多的電荷。這個關系也意味著，在給定的電壓下，無論導體板的厚度如何變化，只要兩板之間的距離不變，電容就不會改變。

然而，當導體板的厚度足夠小，即與電子的德布羅意波長相當或更小時，導體板上的電子就會受到量子力學效應的影響。

當導體板很薄時，導體板上的電子有一定概率穿透導體板和介質層而到達另一塊導體板上。這樣就會產生一個額外的漏電流，并降低兩塊導體板上的電荷差。因此，在量子隧穿效應下，Q=CV這個關系會被破壞。

當導體板很薄時，導體板上的電子運動受到限制，其能級由連續變為分立，并發生量子化。這樣就會改變導體板上的能帶結構和費米能級，并影響導體板上的載流子密度和輸運性質。因此，在量子尺寸效應下，C=εA/d這個關系會被破壞。

當導體板很薄時，導體板上的每個格點只能容納一個或少數幾個電子。當一個格點已經被占據時，其他格點上的電子就不能進入該格點。這樣就會阻礙導體板上的載流子輸運，并增加其有效阻抗。因此，在庫侖阻塞效應下，C=εA/d這個關系也會被破壞。

綜上所述，在經典物理中有效的C=εA/d和Q=CV這兩個關系，在量子物理中都會受到破壞。為了量化量子力學效應對電容的影響，我們可以引入一個概念，叫做量子電容。

量子電容是指當導體板上的電子運動受到量子力學限制時，導體板上的電荷和電壓之間的關系不再是線性的，而是呈現出一定的非線性和飽和特性。量子電容可以用以下公式定義：C_Q=dμ/dQ。

其中，C_Q是量子電容，Q是導體板上的電荷，μ是導體板上的化學勢（也可以用費米能級代替）。這個公式表明，量子電容是導體板上的電荷對化學勢的變化率。當導體板上的電荷增加時，化學勢也會增加，從而抑制進一步的電荷注入。因此，量子電容會隨著導體板上的電荷增加而減小。

量子電容的大小取決于導體板上的態密度和能帶結構。態密度是指在單位能量范圍內，導體板上能夠被占據的能級數目。態密度越大，意味著導體板上能夠容納更多的電子，因此量子電容越大。能帶結構是指導體板上不同能級之間的分布和間隔。能帶結構越寬，意味著導體板上有更多的可用能級，因此量子電容越大。

審核編輯：劉清