一、電和磁到底有沒(méi)有關(guān)系? ——奧斯特:電流的磁效應(yīng)
二、電如何產(chǎn)生磁? ——安培定律 三、磁如何產(chǎn)生電? ——法拉第電磁感應(yīng)定律 四、什么是B-H曲線 五、什么是永磁同步電機(jī) 5.1 電機(jī)原理的通俗理解 5.2 電機(jī)的數(shù)學(xué)模型 5.2.1 磁鏈方程 5.2.2 電壓方程 5.2.3 力矩方程 5.3 DQ坐標(biāo)系下三大方程 六、什么是電壓極限圓和電流極限(橢)圓 七、旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)是如何產(chǎn)生的
工程問(wèn)題本質(zhì)上是解決兩個(gè)“流”的問(wèn)題,一個(gè)是“信息流”,另一個(gè)是“動(dòng)力流”。 我們前面說(shuō)到的自動(dòng)控制,信號(hào)處理其實(shí)都屬于“信息流”的范疇,解決的是大腦和神經(jīng)的問(wèn)題,而“動(dòng)力流”,則是要解決肌肉問(wèn)題。 只有兩個(gè)“流”處理好了,才能做出一個(gè)成功的工程。 今天,我們就來(lái)說(shuō)一說(shuō)“動(dòng)力流”的核心部件之一——電機(jī)。
電機(jī)(Electrical Machine)本質(zhì)是一個(gè)能量轉(zhuǎn)換裝置(電能和機(jī)械能互換),包括電動(dòng)機(jī)和發(fā)電機(jī)。 工業(yè)中電動(dòng)機(jī)更常見(jiàn)一些,因此狹義的電機(jī)通常是指電動(dòng)機(jī)。 那磁鐵和永磁電機(jī)有什么關(guān)系呢? ——永磁電機(jī)就是利用磁鐵制作的電機(jī),只不過(guò)磁鐵這個(gè)名字不夠高大上,專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)一般叫“永磁體”。 電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象人類(lèi)早就已經(jīng)了解,但是直到19世紀(jì),電學(xué)和磁學(xué)的研究仍處于很基礎(chǔ)的階段,而且絕大多數(shù)物理學(xué)家都認(rèn)為電和磁是兩種完全不同的現(xiàn)象。 第一次工業(yè)革命后期,電磁學(xué)才逐漸合體并開(kāi)始蓬勃發(fā)展起來(lái),并催生了第二次工業(yè)革命——電力革命,這其中貢獻(xiàn)最大的有這么幾個(gè)人:奧斯特、安培以、法拉第以及高斯等,他們最重要的的工作都完成于1820年至1831年,最后由開(kāi)了掛的麥克斯韋進(jìn)行了總結(jié)并提出了完整的電磁理論。 電機(jī)的基本理論和工程實(shí)現(xiàn)基本都是在這一時(shí)期成型的,因此要想學(xué)習(xí)電機(jī),了解基本的電磁理論發(fā)展過(guò)程是非常有必要的。
一、電和磁到底有沒(méi)有關(guān)系? ——奧斯特:電流的磁效應(yīng)
19世紀(jì)以前,人們一直以為電與磁勢(shì)完全不同的現(xiàn)象,沒(méi)有什么聯(lián)系,雖然有一些零星的物理現(xiàn)象暗示它們之間似乎有一些說(shuō)不清道不明的關(guān)系。 直到1820年7月,丹麥的物理學(xué)家?jiàn)W斯特(H.C.Oersted,1777-1851)發(fā)表了一篇文章《關(guān)于磁針上電流碰撞的實(shí)驗(yàn)》,向科學(xué)界宣布了電流的磁效應(yīng)——電和磁其實(shí)是一對(duì)CP。
奧斯特的論文起源于一個(gè)很偶然的實(shí)驗(yàn)——在電池的兩極之間接上一根很細(xì)的鉑絲,在鉑絲的下方放置一枚磁針,然后接通電源,很正常的操作,貌似沒(méi)什么,但是現(xiàn)象卻很令人吃驚——小磁針轉(zhuǎn)動(dòng)了,一直轉(zhuǎn)到鉑絲垂直的方向,改變電流方向,又發(fā)現(xiàn)小磁針向相反方向偏轉(zhuǎn)。
奧斯特的發(fā)現(xiàn)揭示了長(zhǎng)期以來(lái)認(rèn)為性質(zhì)不同的電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系,電磁學(xué)立即進(jìn)入了一個(gè)嶄新的發(fā)展時(shí)期,法拉第后來(lái)評(píng)價(jià)這一發(fā)現(xiàn)時(shí)說(shuō):“它猛然打開(kāi)了一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的大門(mén),那里過(guò)去是一片漆黑,如今充滿光明。 ”人們?yōu)榱思o(jì)念這位博學(xué)多才的科學(xué)家,從1934年起用“奧斯特”的名字命名磁場(chǎng)強(qiáng)度的單位。
奧斯特可能怎么也沒(méi)有料到,從1820年7月發(fā)表電流的磁效應(yīng)的文章后,僅僅經(jīng)歷了四個(gè)多月時(shí)間,電磁學(xué)就經(jīng)歷了從現(xiàn)象的總結(jié)到理論的歸納一次大飛躍,從而開(kāi)創(chuàng)了電動(dòng)力學(xué)的理論。 而推動(dòng)這一發(fā)展的,是一個(gè)我們非常熟悉的人——安培。
二、電如何產(chǎn)生磁? ——安培定律
前面我們說(shuō)到,能斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng),這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果強(qiáng)烈震撼到了安培——一個(gè)被稱(chēng)之為“電學(xué)中牛頓”的大神。 安德烈·瑪麗·安培(André-Marie Ampère,1775 — 1836)出生于法國(guó)里昂,是我們學(xué)物理學(xué)的最早認(rèn)識(shí)的科學(xué)家之一,因?yàn)殡娏鞯膯挝痪褪恰鞍才唷薄?/p>
200年前的科學(xué)界和現(xiàn)在也差不多,那就是一個(gè)熱點(diǎn)文章發(fā)表后,總有一大群人蜂擁上來(lái),發(fā)表灌水文章。 安培在看到奧斯特的電流的磁效應(yīng)的文章后,也立馬開(kāi)始了這一熱點(diǎn)領(lǐng)域的研究。 顯然安培不屬于灌水的這一類(lèi)人,因?yàn)樗徊蠲麣夂吐曂?qū)使他前進(jìn)的,是他對(duì)自然規(guī)律的好奇心。
安培通做電流做實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)直導(dǎo)線外,到導(dǎo)線距離相等的點(diǎn),“磁場(chǎng)”大小相同; 距離不同的點(diǎn),“磁場(chǎng)”大小隨著距離成反比; “磁場(chǎng)”和電流大小以及導(dǎo)線的根數(shù)也成正比。 我們不妨用 字母?來(lái)表示“磁場(chǎng)”的大小,則很容易得到:
或者更任性一點(diǎn),我們可以定義沿半徑為?的圓上,其“磁場(chǎng)”大小為:
當(dāng)然,安培是不會(huì)滿足于到此為止的,因?yàn)檫@實(shí)在算不上的什么重大發(fā)現(xiàn)——那不是圓怎么辦,如果是任意曲線呢? ——安培偉大的地方在于,他還真的將“圓”擴(kuò)展到了任意曲線上。
安培定律完整的表述為:在恒定電流的磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)強(qiáng)度?沿任何閉合路徑?
?(即環(huán)路積分)的線積分等于其所包圍的電流強(qiáng)度的代數(shù)和,寫(xiě)成數(shù)學(xué)的樣子就是:
這個(gè)公式暗含一個(gè)結(jié)論,那就是磁場(chǎng)是由運(yùn)動(dòng)的電荷(即電流)產(chǎn)生的,安培認(rèn)識(shí)到磁現(xiàn)象的本質(zhì)是電流 ,把涉及電流、磁體的各種相互作用歸結(jié)為電流之間的相互作用,提出了尋找電流元相互作用規(guī)律的基本問(wèn)題。 因此在電磁學(xué)中,把產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流也叫磁動(dòng)勢(shì)或磁勢(shì)(Magnetomotive Force),簡(jiǎn)寫(xiě)為MMF,注意這是一個(gè)非常重要的概念,很多我們熟悉的磁場(chǎng),都可以應(yīng)用安培環(huán)路定理來(lái)計(jì)算。
三、磁如何產(chǎn)生電? ——法拉第電磁感應(yīng)定律
法拉第(Michael Faraday,1791-1867),英國(guó)的物理學(xué)家。 法拉第可以說(shuō)是實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的代表,一生做了無(wú)數(shù)次的實(shí)驗(yàn),遍布整個(gè)電磁學(xué)領(lǐng)域,其中最具代表性的,就是電磁感應(yīng)定律了:磁通量變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。
電磁感應(yīng)定律的定量描述為:線圈中感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)(Electromotive Force),簡(jiǎn)稱(chēng)EMF,與每匝線圈中磁通量的變化率以及匝數(shù)成正比,寫(xiě)成公式就是:
那么,問(wèn)題就來(lái)了——什么是磁通量? 其基本定義是:
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是磁通密度乘以面積,面積好理解,那磁通密度是什么? ——與電場(chǎng)強(qiáng)度?是由單位點(diǎn)電荷受電場(chǎng)力類(lèi)似,磁通密度可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受到的磁場(chǎng)力來(lái)定義。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):一個(gè)電荷?
?以速度?
?在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),會(huì)受到電磁力?
?,這個(gè)力和磁場(chǎng)的強(qiáng)弱是成正比的,即:
這個(gè)公式是洛倫茲公式的簡(jiǎn)化版,也就說(shuō),我們可以通過(guò)電荷大小、運(yùn)動(dòng)速度以及所受到的力來(lái)反推周?chē)艌?chǎng)的大小,這個(gè)磁場(chǎng)的大小就是磁通密度,也叫磁感應(yīng)強(qiáng)度,單位是特斯拉(Tesla)。 注意,磁通密度是電機(jī)中最重要的概念之一。
四、什么是B-H曲線
細(xì)心的童鞋會(huì)發(fā)現(xiàn)一些端倪:
在介紹安培環(huán)路定理的時(shí)候,我們說(shuō)電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng),磁場(chǎng)的大小可以用?來(lái)表示:
在介紹法拉第電磁感應(yīng)定律的時(shí)候,我們又說(shuō)可以通過(guò)受力,來(lái)計(jì)算電荷感受到的磁場(chǎng)?。
都是磁場(chǎng),為啥用兩個(gè)量表示? 他們是一回事嗎? ——首先,可以明確一點(diǎn),這倆貨量綱都不一致,肯定不是一回事。
我們一般把磁場(chǎng)密度?與磁場(chǎng)強(qiáng)度?
?之間的比值稱(chēng)之為磁導(dǎo)率:
磁導(dǎo)率描述的是電荷感受的磁場(chǎng)(輸出)與電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)(輸入)的比值,描述前者隨著后者的響應(yīng)。 既然是響應(yīng),就會(huì)有幅值響應(yīng)和相位響應(yīng),所以本質(zhì)上,磁導(dǎo)率是一個(gè)復(fù)數(shù),只不過(guò)呢,在電機(jī)里面都是工作在低頻段,相位滯后很小,可以忽略,一般只看幅值關(guān)系。
為什么介質(zhì)中磁場(chǎng)輸入和輸出不一樣呢? ——因?yàn)榻橘|(zhì)有了響應(yīng)。 我們現(xiàn)在設(shè)想通過(guò)電流?,把磁場(chǎng)?
?加到某種材料當(dāng)中,材料中的帶電粒子受到磁場(chǎng)的響應(yīng),進(jìn)而產(chǎn)生了一些附加磁場(chǎng),在該點(diǎn)處的總磁場(chǎng)不再是?
?了。 受外界磁場(chǎng)影響使得材料里也有內(nèi)部額外磁場(chǎng)的過(guò)程,叫做“磁化”。
來(lái)源:考克斯博士
簡(jiǎn)而言之,?是外部的激發(fā)場(chǎng),?
?是總的響應(yīng)場(chǎng),在電機(jī)里面,這兩個(gè)量都非常重要,因?yàn)殡姍C(jī)就是要考察電壓、電流以及力矩之間的關(guān)系,而:
電流和?相關(guān);
力矩和?相關(guān);
因此,理解?和?
?的關(guān)系,是學(xué)習(xí)電機(jī)的一個(gè)非常必要的知識(shí)點(diǎn)。
現(xiàn)在假設(shè)我們用一個(gè)正弦的電流對(duì)介質(zhì)進(jìn)行磁化,電流(代表?)變化如左下圖,得到介質(zhì)中總的磁場(chǎng)(?
?)為右下圖:
來(lái)源:博士考克斯
其中,?表示剩余磁通密度(Remanent Flux Density),簡(jiǎn)稱(chēng)剩磁;?
?表示矯頑力(Coercive Force),可見(jiàn)?
?和?
?并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,呈現(xiàn)出一個(gè)滯環(huán),一般稱(chēng)之為磁滯曲線。
不同的材料代表不同的介質(zhì),其磁滯回線也不一樣,如下圖所示:
來(lái)源:考克斯博士
有的材料滯環(huán)較寬,也就是當(dāng)勵(lì)磁電流減為零后,總的磁場(chǎng)?仍保持在一個(gè)較大的值,我們稱(chēng)之為硬磁材料或永磁體。
有的材料滯環(huán)較窄,也就是當(dāng)勵(lì)磁電流減為零后,總的磁場(chǎng)?也基本減小到零,我們稱(chēng)之為軟磁材料或?qū)Т朋w。
五、什么是永磁同步電機(jī)
1821年,法拉第制作了一個(gè)裝置,這個(gè)裝置能將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能,被認(rèn)為是世界上第一臺(tái)電動(dòng)機(jī)。
法拉第的裝置的組成非常簡(jiǎn)單:將水銀注入一個(gè)圓形容器里面,中間放置一塊永磁體,一根長(zhǎng)的導(dǎo)線一端懸掛,另一端浸入容器里的水銀里面,最后再外接一個(gè)直流電源。 原理也很簡(jiǎn)單,永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)與導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互作用,產(chǎn)生一個(gè)使導(dǎo)線繞軸旋轉(zhuǎn)的力。 法拉第的天才之處在于想到了用水銀(常溫液體,有良好的導(dǎo)電性)解決了電機(jī)連續(xù)旋轉(zhuǎn)的所需要的換向問(wèn)題。
法拉第的電機(jī)驗(yàn)證了機(jī)電能量轉(zhuǎn)換可以連續(xù)進(jìn)行的,為電機(jī)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 當(dāng)然現(xiàn)代電機(jī)和法拉第的電機(jī)模型有了較大的區(qū)別,但原理都是完全一致的:都是兩個(gè)磁場(chǎng)相互作用。
5.1 電機(jī)原理的通俗理解
我們從小學(xué)就知道,磁鐵分N極和S極,磁力線從N極出發(fā),最后回到S極; 磁鐵同極相斥,異極相吸。 磁鐵磁極之間的相互作用示意圖如下:
利用磁極之間的相互作用力,理論上我們可以移動(dòng)一個(gè)磁極,讓另外一個(gè)磁極跟著運(yùn)動(dòng),如果第一個(gè)磁極旋轉(zhuǎn)的話,另一個(gè)磁極也會(huì)跟著旋轉(zhuǎn)。 但是這樣無(wú)法稱(chēng)之為電機(jī),因?yàn)樾D(zhuǎn)一個(gè)磁極需要的是機(jī)械能,這樣本質(zhì)上是機(jī)械能之間的轉(zhuǎn)換,不是電能和機(jī)械能之間的轉(zhuǎn)換。 那怎么辦呢?
安培定律告訴我們,磁場(chǎng)本質(zhì)是由電流產(chǎn)生的,我們想要的是磁場(chǎng)之間的相互作用,因此主要有電流即可,一個(gè)很自然的想法就是:能不能將兩個(gè)磁場(chǎng)中的一個(gè)用線圈來(lái)產(chǎn)生呢? ——當(dāng)然可以,永磁同步電機(jī)就是這么干的,具體見(jiàn)下圖:
我們一般將永磁體放在轉(zhuǎn)子上,定子是一個(gè)線圈,線圈通電后,也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)磁場(chǎng)。 根據(jù)我們的直觀感覺(jué),很容易得出如下結(jié)論:
當(dāng)兩個(gè)磁場(chǎng)軸線正對(duì)著的時(shí)候(上圖左),磁場(chǎng)之間有相互吸引力,這個(gè)力是徑向的,不會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。
當(dāng)兩個(gè)磁場(chǎng)軸線有一定夾角的時(shí)候(上圖中),磁場(chǎng)之間有相互吸引力,但是這個(gè)力既有徑向分量,也有切向分量,因此會(huì)產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)矩。
當(dāng)兩個(gè)磁場(chǎng)軸線垂直的時(shí)候(上圖右),磁場(chǎng)之間有相互吸引力,但是這個(gè)力主要是切向分量,因此產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩最大。
可以做出如下猜想:對(duì)于旋轉(zhuǎn)電機(jī)而言,由于其轉(zhuǎn)矩是由兩個(gè)磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生的,因此:
轉(zhuǎn)矩的大小應(yīng)該和兩個(gè)磁場(chǎng)的大小是正相關(guān)的,磁場(chǎng)越強(qiáng),轉(zhuǎn)矩應(yīng)該越大;
轉(zhuǎn)矩的大小和兩個(gè)磁場(chǎng)之間的夾角是正相關(guān)的,夾角為零時(shí)轉(zhuǎn)矩為零,夾角90°時(shí)轉(zhuǎn)矩最大。
這些都是定性分析,對(duì)于工程師而言,我們需要的是定量的計(jì)算,那怎么算呢?
我們知道,數(shù)學(xué)中的叉乘運(yùn)算?描述的是什么東西呢? ——叉乘的結(jié)果和兩個(gè)量的幅值成正比,和夾角正相關(guān),這怎么和磁場(chǎng)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的那么相像,那是不是可以可以用叉乘來(lái)計(jì)算兩個(gè)磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩呢?
磁場(chǎng)的本質(zhì)是電流產(chǎn)生的,產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流又叫磁動(dòng)勢(shì),假如我們膽子更大一點(diǎn),是不是可以進(jìn)一步猜想:
其中?表示線圈磁動(dòng)勢(shì),?
?表示永磁體磁動(dòng)勢(shì)。
也就是說(shuō)電機(jī)轉(zhuǎn)矩和線圈磁動(dòng)勢(shì)與永磁體磁動(dòng)勢(shì)的叉乘成正比。 這么想是合理的,后面我們會(huì)有證明。
當(dāng)然,真正的電機(jī)是不會(huì)直接拿線圈和永磁體直接相吸的,這樣效率太低,一般是將線圈繞在磁軛上,磁軛是軟磁體,起著導(dǎo)磁的作用,如下圖所示。
5.2 電機(jī)的數(shù)學(xué)模型
電機(jī)就是一個(gè)能量轉(zhuǎn)換裝置,將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能,轉(zhuǎn)換路徑是電能?電磁能?
?機(jī)械能,要分析這個(gè)過(guò)程,其實(shí)就是解決三個(gè)方程的問(wèn)題:
磁路分析——磁鏈方程
電路分析——電壓方程
機(jī)械分析——轉(zhuǎn)矩方程
下面我們就按照這個(gè)思路,看看如何分析一個(gè)永磁同步電機(jī)。
我們前面說(shuō)了,電機(jī)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩就是兩個(gè)磁場(chǎng)相互作用,當(dāng)個(gè)磁場(chǎng)都在連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí),就產(chǎn)生了一個(gè)固定的旋轉(zhuǎn)力矩。 要產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng),就要有“旋轉(zhuǎn)”的電流; 要產(chǎn)生“旋轉(zhuǎn)”的電流,就要有“旋轉(zhuǎn)”的電壓; 同時(shí)旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)還會(huì)產(chǎn)生“旋轉(zhuǎn)”的磁鏈,其示意圖如下:
可以把電壓、電流以及磁鏈都看成是旋轉(zhuǎn)的矢量,其轉(zhuǎn)速完全一致,相位不同。 數(shù)學(xué)表達(dá)如下:
電壓矢量:
電流矢量:
磁鏈?zhǔn)噶浚?img src="https://file1.elecfans.com//web2/M00/AD/64/wKgZomVA6zSAafWBAAAZzVdGtpM604.svg" alt="ad7cdd46-e032-11ed-bfe3-dac502259ad0.svg" />
文章中,我們把旋轉(zhuǎn)的矢量用加粗帶箭頭的符號(hào)表示,把矢量用只帶箭頭的符號(hào)表示。 電壓、電流以及磁鏈雖然以相同的速度在旋轉(zhuǎn),但是其相位還是有差別的,因此,我們有必要定義一個(gè)基準(zhǔn),把這個(gè)相位信息表達(dá)出來(lái)。 在電機(jī)里面,為體現(xiàn)逼格,我們一般不叫xy軸,而是把永磁體所在的軸線稱(chēng)之為d軸(Direct Axis),也叫直軸,垂直于永磁體的軸線稱(chēng)之為q軸(Quadrature Axis),也叫交軸。 d軸和q軸相差90°電角度,示意圖如下:
至于什么是電角度,我們后面會(huì)說(shuō)。
5.2.1 磁鏈方程
磁鏈表征著磁場(chǎng)的信息,對(duì)于永磁電機(jī)而言,轉(zhuǎn)子一般是永磁體,所以只對(duì)定子線圈進(jìn)行磁鏈計(jì)算即可。 我們知道線圈磁鏈計(jì)算公式為:
?是通過(guò)單個(gè)線圈的磁通,?
?是線圈的總匝數(shù)。
電機(jī)中的磁場(chǎng)來(lái)源可以分成兩部分,一部分是線圈是產(chǎn)生的,另一部分是永磁體產(chǎn)生的。 即:
其中?為線圈自身產(chǎn)生的磁鏈,?
?為永磁體產(chǎn)生的磁鏈。 其向量圖如下圖所示。
對(duì)于線圈而言,專(zhuān)門(mén)有一個(gè)量來(lái)表征線圈自身產(chǎn)生磁鏈的能力——電感,單位為亨利(H),
電感定義為:
即單位電流產(chǎn)生的磁鏈,電感和電阻類(lèi)似,雖然是通過(guò)磁鏈和電流來(lái)定義和計(jì)算的,但是其本質(zhì)是由磁路的物理結(jié)構(gòu)決定的,與電流沒(méi)有關(guān)系(除非電流引起磁路飽和,相當(dāng)于改變了磁路的物理結(jié)構(gòu))。
因此線圈產(chǎn)生的磁鏈可以表示為:
永磁體在線圈產(chǎn)生的磁鏈為:
5.2.2 電壓方程
電機(jī)中磁路主要研究磁鏈方程,而電路主要研究電壓平衡方程。 忽略電機(jī)中的鐵損及漏磁等,對(duì)于定子線圈,模型可簡(jiǎn)化成下圖所示:
很容易得出:電路的外電壓等于電阻損失電壓與線圈感應(yīng)電壓之和,寫(xiě)成數(shù)學(xué)形式為:
將線圈的磁鏈分解成線圈電流產(chǎn)生磁鏈以及永磁體產(chǎn)生磁鏈:
其中:
假設(shè)磁路均勻,即電感是常值,令?,稱(chēng)之為同步電抗,則:
永磁體產(chǎn)產(chǎn)生的感應(yīng)電勢(shì)為:
此處也假設(shè)磁路均勻,則定子線圈總的感應(yīng)電勢(shì)為:
不難發(fā)現(xiàn):?存在是因?yàn)榫€圈中電流變化,導(dǎo)致了?
?變換而其引起的,其大小可用電感來(lái)表征,因此稱(chēng)之為感生電勢(shì)或者是變壓器電勢(shì);?
?存在是因?yàn)橛来朋w產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)導(dǎo)致了線圈有效面積?
?發(fā)生改變而引起的,因此稱(chēng)之為動(dòng)生電勢(shì)或反電動(dòng)勢(shì)。 線圈中總的感應(yīng)電勢(shì)即是感生電勢(shì)和動(dòng)生電勢(shì)之和。
電壓平衡方程的矢量形式為:
畫(huà)成相量圖的形式為:
圖中?為動(dòng)生電勢(shì)(反電動(dòng)勢(shì)),?
?為感生電勢(shì)(電感電勢(shì))。
注意:所有的相量都在旋轉(zhuǎn)。
我們前面定義了:
電壓矢量:
電流矢量:
磁鏈?zhǔn)噶浚?img src="https://file1.elecfans.com//web2/M00/AD/64/wKgZomVA6zSAafWBAAAZzVdGtpM604.svg" alt="ad7cdd46-e032-11ed-bfe3-dac502259ad0.svg" />
將上式代入電壓平衡方程可得:
對(duì)應(yīng)的等效電路圖為:
5.2.3 力矩方程
力矩是電機(jī)設(shè)計(jì)及控制中非常核心的一個(gè)量,一把書(shū)上要么是直接給出方程,要么是從能量轉(zhuǎn)換的角度推導(dǎo)出,要么太粗暴,要么太復(fù)雜,都不太容易理解,今天,我們從能量守恒的角度來(lái)看一下,希望能減輕一下各位童鞋的負(fù)擔(dān)。
電機(jī),本質(zhì)是一個(gè)能量轉(zhuǎn)換裝置,對(duì)于電動(dòng)機(jī)來(lái)說(shuō),就是將電能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能。 在復(fù)平面域,計(jì)算出的功率稱(chēng)之為復(fù)功率,與實(shí)數(shù)領(lǐng)域直接相乘略有不同,復(fù)平面對(duì)應(yīng)的是電壓相量與電流相量的內(nèi)積:
代入電壓平衡方程可得:
根據(jù)內(nèi)積的定義?,這樣就可以得到電機(jī)進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換時(shí)的復(fù)功率:
方程的左邊就是流入電機(jī)的瞬時(shí)功率,這個(gè)比較好理解,我們著重分析一下方程右邊的兩項(xiàng)分別代表什么意思。
第一項(xiàng):?代表著電阻?
?在電流?
?下產(chǎn)生的功率,這個(gè)比較好理解,可以看成是熱損耗,電機(jī)中繞組由于大都是銅線繞指的,一般也叫銅損,最終損耗掉了。
第二項(xiàng):?,
由復(fù)數(shù)的計(jì)算規(guī)則:
進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得:
我們知道,對(duì)于復(fù)功率而言,實(shí)部是有功功率,虛部是無(wú)功功率。 取這一項(xiàng)的實(shí)部即為有功功率,所以:
這個(gè)式子看著有點(diǎn)嚇人,但是化簡(jiǎn)一下就簡(jiǎn)單明了了:
上式的右邊看著是不是有什么規(guī)律呢? ——
所以最終的有功功率非常簡(jiǎn)單:
式中?表示叉乘后的方向(含全面的符號(hào)),加上它是為了形式上一致,因?yàn)辄c(diǎn)乘后標(biāo)量,叉乘后是矢量。
知道了有功功率,這個(gè)時(shí)候我們就很容易計(jì)算轉(zhuǎn)矩了,假定轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速是?,則轉(zhuǎn)子上的力矩為:
其中為極對(duì)數(shù),這一塊很多童鞋是由迷惑的,我們說(shuō)?
為電角度,?
?為機(jī)械角度,它倆到底有什么關(guān)系? 什么時(shí)候用電角度? 什么時(shí)候用機(jī)械角度?
我們前面舉例子時(shí)一般都是一對(duì)極,這樣沿機(jī)械一周,電信號(hào)也變化一個(gè)周期,此時(shí)機(jī)械角度與電角度相同,即?; 當(dāng)極對(duì)數(shù)?
?大于1時(shí),這樣沿機(jī)械一周,電信號(hào)就會(huì)變化?
?個(gè)周期。 下圖給出了3對(duì)極和6對(duì)極時(shí)每個(gè)機(jī)械周期內(nèi)(360°)電信號(hào)變化的情況。
可見(jiàn),?。
由于
所以力矩還可以寫(xiě)成:
由于?,所以轉(zhuǎn)矩還可以寫(xiě)成:
前面我們猜測(cè):
在這里也可以得到證明,因?yàn)?img src="https://file1.elecfans.com//web2/M00/AD/64/wKgZomVA6zmAdAU6AAAQbQ4DZPE150.svg" alt="b16d1c40-e032-11ed-bfe3-dac502259ad0.svg" />?,??。
5.3 DQ坐標(biāo)系下三大方程
前面我們所有的三大方程(磁鏈、電壓、轉(zhuǎn)矩)都是用矢量來(lái)表示的,形式是相當(dāng)簡(jiǎn)潔的,但是考慮到大多人還是習(xí)慣標(biāo)量的表示方法,而且矢量運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中也不容易實(shí)現(xiàn),所以大多數(shù)教材上一般都是給出標(biāo)量形式下的電機(jī)三大方程。
我們首先將電壓、電流及磁鏈?zhǔn)噶客队暗絛q坐標(biāo)系上:
帶入到原始旋轉(zhuǎn)矢量方程:
代入電壓平衡方程可得:
化簡(jiǎn)可得:
則通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算,很容易得到?坐標(biāo)下標(biāo)量形式的磁鏈方程:
?坐標(biāo)下標(biāo)量形式的電壓方程:
畫(huà)成相量圖的形式如下:
?坐標(biāo)下矢量的力矩方程:
標(biāo)量形式 力矩方程為:
進(jìn)一步變形:
這就是教科書(shū)上最常見(jiàn)的形式了,這表明:永磁同步電機(jī)的力矩包含兩個(gè)部分,一是?,這是由永磁體產(chǎn)生的力矩,一般稱(chēng)之為勵(lì)磁力矩或?qū)R力矩(Alignment Torque); 另一部分?
?是由于磁路上磁阻不均勻(?
?)引起的,所以稱(chēng)之為磁阻力矩,如果磁路交直軸磁阻相等,則這部分力矩消失。
來(lái)源:加利亞博士
將?、?
?用電流幅值及角度進(jìn)行表示,輸出轉(zhuǎn)矩為:
上式對(duì)?求導(dǎo),并取導(dǎo)數(shù)為零,即可以得到轉(zhuǎn)矩取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的?
?值:
?,其中?
上式中,位移的未知量是?,也就說(shuō)有了測(cè)量到了電流值,就可以計(jì)算出?
?,從而獲得最大的轉(zhuǎn)矩——這就是最大轉(zhuǎn)矩比電流控制(Maximum Torque per Ampere),簡(jiǎn)稱(chēng)MTPA。
六、什么是電壓極限圓和電流極限(橢)圓
我們令:
前面我們介紹了?坐標(biāo)下電壓方程為:
現(xiàn)在我們考慮穩(wěn)態(tài)時(shí)情況,先忽略電阻?(通常比較?。?,穩(wěn)態(tài)時(shí)?
?、?
?不再變化,因此電壓平衡方程可以簡(jiǎn)化為:
為簡(jiǎn)單起見(jiàn),先假定?則:
來(lái)源:加利亞博士
其中綠色為電壓極限圓,紅色為電流極限圓。 電機(jī)的電壓是由逆變器提供的,是有限制的,也就是說(shuō)?,很顯然能得出以下幾個(gè)結(jié)論:
電壓極限圓不是正好在電流坐標(biāo)系的中心,偏置為?;
轉(zhuǎn)速越高,電壓圓的半徑越?。?/p>
電機(jī)必須工作在電壓圓與電流圓同時(shí)覆蓋的區(qū)域(截面線示意的部位)
當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速很低時(shí),電壓極限圓很大,電流極限是其主要約束,因此低速下電流可以一直保持在?為最大值狀態(tài),此時(shí)稱(chēng)之為恒轉(zhuǎn)矩區(qū),如下圖所示的T1區(qū)。 當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升時(shí),電壓和電流極限圓都成為約束,兩者的交點(diǎn)處為工作點(diǎn),如下圖的T2和T3區(qū),?
?開(kāi)始出現(xiàn)分量,此時(shí)成為弱磁狀態(tài),即永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)被?
?產(chǎn)生的磁場(chǎng)削弱了,進(jìn)而在同樣的電壓下能夠產(chǎn)生更高的轉(zhuǎn)速。
來(lái)源:加利亞博士
上面討論的是?(即隱極)的情況,當(dāng)?
?時(shí),電壓方程變?yōu)椋?/p>
?電壓極限圓變成了電壓極限橢圓,如下圖所示:
來(lái)源:加利亞博士
當(dāng)電機(jī)做好之后,,因此任意的?
?、?
?都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)力矩值,我們把力矩相同的之用線連起來(lái)就得到一族等力矩曲線,如下圖的三條黑色的等力矩線。
來(lái)源:加利亞博士
同一個(gè)等力矩的曲線會(huì)和不同的電流圓相切,產(chǎn)生一系列的切點(diǎn),這些切點(diǎn)的軌跡就是MTPA(最大力矩比電流)控制點(diǎn),因?yàn)樵谝欢ǖ碾娏鳂O限下,該切點(diǎn)是力矩最大的點(diǎn)。
同一個(gè)等力矩的曲線會(huì)和不同的電壓橢圓相切,產(chǎn)生一系列的切點(diǎn),這些切點(diǎn)的軌跡就是MFPT(最大轉(zhuǎn)速比力矩)控制點(diǎn),因?yàn)樵谝欢妷簶O限(電壓代表著速度)下,該切點(diǎn)是速度最大的點(diǎn)。
七、旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)是如何產(chǎn)生的
前面我們說(shuō)了這么多,都有一個(gè)大前提:電機(jī)要連續(xù)旋轉(zhuǎn) ,一定要有一個(gè)旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)。 那旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)從何而來(lái)?
說(shuō)到這我們不得不提一個(gè)人——尼古拉·特斯拉,關(guān)于特斯拉,有很多傳說(shuō):
有人說(shuō),他預(yù)測(cè)出第一次、第二次世界大戰(zhàn); 有人說(shuō),他預(yù)見(jiàn)了泰坦尼克號(hào)的沉沒(méi); 有人說(shuō),他制造了通古斯大爆炸,威力是廣島核彈的1000倍; 有人說(shuō),他可以利用電磁,穿越時(shí)空; 有人說(shuō),F(xiàn)BI將他的照片掛在機(jī)密大樓的頭號(hào)位置。 ...... 《世界華人周刊》
2003年,一個(gè)叫馬斯克的科技狂人,創(chuàng)辦了一家很酷的電動(dòng)汽車(chē)企業(yè),取名特斯拉。 正是為了致敬他的偶像:尼古拉·特斯拉。 今天我們就從一個(gè)小角度,來(lái)窺探一下特斯拉的偉大之處——交流電。
一個(gè)典型的永磁同步電機(jī)的繞組如上圖所示,3相繞組在空間120°電角度布置,繞組里面分別通相位相差120°的三相交流電:
那繞組中產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)是什么樣子呢?
化簡(jiǎn)一下:
如果你還沒(méi)看出來(lái),我們用圖像來(lái)演示一下前面的推理過(guò)程,可能會(huì)更形象一些:
也就是說(shuō),磁動(dòng)勢(shì)變成了一個(gè)旋轉(zhuǎn)的矢量!
如果把坐標(biāo)系放在電機(jī)里面,大概是這個(gè)樣子:
好了,現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)已經(jīng)產(chǎn)生了,它的表達(dá)式是這樣:
那么新的問(wèn)題來(lái)了,大多數(shù)人數(shù)學(xué)不好啊,不會(huì)復(fù)數(shù)計(jì)算啊,怎么辦? 這時(shí)候大神歐拉來(lái)了,用我的公式啊——好用,最主要還是免費(fèi)的:
合成磁動(dòng)勢(shì)是一個(gè)復(fù)數(shù),我們可以用歐拉公式轉(zhuǎn)換一下:
也就說(shuō)合成磁動(dòng)勢(shì)可以由兩個(gè)空間和相位都差90°的諧波組成。
整理一下思路:我們有一個(gè)三相繞組,空間和相位都差120°,合成起來(lái)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢(shì),公式簡(jiǎn)潔漂亮,可是不好計(jì)算。 我們用歐拉公式轉(zhuǎn)換一下,發(fā)現(xiàn)用一個(gè)空間和相位都差90°的亮相繞組可以完美等效,這就是Clark變換。
好了,現(xiàn)在我們有一個(gè)旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)了,也知道怎么等效計(jì)算了,但是感覺(jué)還是太復(fù)雜,我們能不能再偷點(diǎn)懶了? ——如果我們站在一個(gè)坐標(biāo)系里面,這個(gè)坐標(biāo)系也在旋轉(zhuǎn),而且旋轉(zhuǎn)的速度和合成磁動(dòng)勢(shì)一樣,這時(shí)候再去觀察磁動(dòng)勢(shì),會(huì)是什么樣? ——一個(gè)常量,這就是Park變換。
審核編輯:湯梓紅
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