“令人尷尬的是，我們對網(wǎng)格如何影響CFD解決方案知之甚少，”不列顛哥倫比亞大學(xué)的Carl Ollivier-Gooch教授說。

這種說法與我們在實(shí)踐中都知道的是正確的相反，即一個(gè)好的網(wǎng)格有助于計(jì)算流體動力學(xué)（CFD）求解器收斂到正確答案，同時(shí)最大限度地減少計(jì)算機(jī)資源消耗。換句話說，大多數(shù)像樣的求解器都會在好的網(wǎng)格上產(chǎn)生準(zhǔn)確的答案，但是需要最強(qiáng)大的求解器才能在壞網(wǎng)格上得到任何答案。

問題的癥結(jié)在于“一個(gè)好的網(wǎng)格”到底是什么意思。雪城大學(xué)的John Dannenhoffer教授指出，我們更擅長識別壞的網(wǎng)格，而不是判斷一個(gè)好的網(wǎng)格。區(qū)分好與壞被這樣一個(gè)事實(shí)所掩蓋，即壞是網(wǎng)格是否會運(yùn)行的黑白決定。 （壞通常只意味著是否有任何負(fù)體積單元格。另一方面，善良是灰色的陰影——有好的網(wǎng)格，也有更好的網(wǎng)格。

善良也不是關(guān)于網(wǎng)格的全部。人們可以盯著網(wǎng)格并做出好/壞判斷的日子已經(jīng)一去不復(fù)返了。通過目視檢查密度等值線圖中的沖擊波薄多少來證明自適應(yīng)網(wǎng)格的合理性并不能確定等級。重要的是CFD解決方案如何準(zhǔn)確地反映現(xiàn)實(shí)。因此，在網(wǎng)格評估中還必須考慮求解器的數(shù)值算法和要計(jì)算的流動的物理場。

上面幾段中隱含著在計(jì)算 CFD 解決方案之前判斷網(wǎng)格質(zhì)量的想法。有些人認(rèn)為先驗(yàn)網(wǎng)格質(zhì)量評估的價(jià)值有限，并且根據(jù)開發(fā)中的流動解決方案（通過網(wǎng)格適應(yīng)或伴隨方法或其他技術(shù)）改變網(wǎng)格是生成良好網(wǎng)格和準(zhǔn)確解決方案的更好方法。

網(wǎng)格質(zhì)量研討會

鑒于這種情況，召集網(wǎng)格生成研究人員和從業(yè)人員來評估網(wǎng)格質(zhì)量主題非常重要。Pointwise去年夏天參加了在代頓舉行的“網(wǎng)格質(zhì)量/分辨率，實(shí)踐，當(dāng)前研究和未來方向研討會”，由國防部高性能計(jì)算現(xiàn)代化計(jì)劃（HPCMO）主辦，由PETTT計(jì)劃（用戶生產(chǎn)力，增強(qiáng)，技術(shù)轉(zhuǎn)讓和培訓(xùn)）和AIAA的MVCE技術(shù)委員會（網(wǎng)格劃分，可視化和計(jì)算環(huán)境）組織。

研討會匯集了網(wǎng)格質(zhì)量的所有利益相關(guān)者：CFD從業(yè)人員，CFD研究人員，CFD求解器代碼開發(fā)人員（商業(yè)和政府）以及網(wǎng)格生成軟件開發(fā)人員。本文末尾包含研討會演講列表（參考文獻(xiàn)1a-1i）。來自High Performance Technologies的Hugh Thornburg寫了一篇研討會的概述（參考文獻(xiàn)2），很好地總結(jié)了當(dāng)前的現(xiàn)狀：

“網(wǎng)格作為中間產(chǎn)品沒有固有的要求，只需要足以促進(jìn)對所需結(jié)果的預(yù)測。”我將此解釋為網(wǎng)格“不錯”的雙重否定質(zhì)量判斷。

“網(wǎng)格必須以離散的方式捕獲感興趣的系統(tǒng)/問題，并提供足夠的細(xì)節(jié)，以便能夠執(zhí)行所需的仿真。只要“期望的模擬”隱含地包括“達(dá)到所需的精度水平”，這是一個(gè)很好的定義。

Thornburg 還承認(rèn)網(wǎng)格生成存在許多實(shí)際限制，例如分配給網(wǎng)格劃分的時(shí)間、參數(shù)研究的拓?fù)鋯栴}、計(jì)算資源對網(wǎng)格大小的限制以及求解器的特定要求。

Thornburg 還提供了辛普森判決庫（參考文獻(xiàn) 3）作為事實(shí)上的參考，涵蓋了計(jì)算元素屬性的“大多數(shù)（如果不是全部）常用技術(shù)”。

用戶視角

NASA的斯蒂芬·阿爾特（Stephen Alter）舉例說明了網(wǎng)格質(zhì)量先驗(yàn)指標(biāo)的重要性，他定義并展示了他的GQ（網(wǎng)格質(zhì)量）指標(biāo)的實(shí)用性，該指標(biāo)將正交性和拉伸性組合成一個(gè)數(shù)字。在確保使用薄層 Navier-Stokes 求解器計(jì)算的鈍體上超音速流動求解精度的愿望的驅(qū)使下，他為 GQ 指標(biāo)建立了標(biāo)準(zhǔn)，讓他在開始 CFD 求解之前充滿信心。

GQ有兩個(gè)方面值得注意。首先，該度量對正交性的依賴與求解器的數(shù)值緊密耦合 – 當(dāng)網(wǎng)格缺乏正交性時(shí)，TLNS 假設(shè)就會崩潰。其次，使用全局指標(biāo)有助于決策，或者正如Thornburg所寫，“局部誤差估計(jì)幾乎沒有用處。GQ代表領(lǐng)域?qū)I(yè)知識 - 在特定應(yīng)用領(lǐng)域中使用特定標(biāo)準(zhǔn)。

研究人員的觀點(diǎn)

Dannenhoffer報(bào)告了一項(xiàng)廣泛的基準(zhǔn)研究，該研究涉及5度迎角下2度雙楔形翼型的3度雙楔形翼型的參數(shù)變化。網(wǎng)格的變化包括分辨率、縱橫比、聚類、傾斜、錐度和擺動（使用 Verdict 定義）。

Dannenhoffer的主要結(jié)論非常有趣：網(wǎng)格指標(biāo)與解決方案準(zhǔn)確性之間幾乎沒有（如果有的話）相關(guān)性。他發(fā)現(xiàn)很難在不影響另一個(gè)指標(biāo)的情況下改變一個(gè)指標(biāo)（例如，在網(wǎng)格中添加擺動也會影響偏斜），或者可能是由于特定的流動條件，這一事實(shí)加劇了這種情況。

Dannenhoffer還引入了網(wǎng)格有效性的概念（與網(wǎng)格質(zhì)量相反），旨在衡量網(wǎng)格是否符合正在建模的配置（在實(shí)踐中有時(shí)不符合）。他提出了三種類型的有效性檢查：

類型 1 檢查細(xì)胞是否具有正體積和不相交的面。這里又是“這個(gè)網(wǎng)格不好嗎？”問題的一個(gè)例子。

類型 2 檢查內(nèi)部單元面是否與另一個(gè)內(nèi)部面唯一匹配，以及邊界單元面是否位于要網(wǎng)格劃分的對象的幾何模型上。

類型 3 檢查幾何模型的每個(gè)表面是否完全被邊界單元面覆蓋，幾何的每個(gè)硬邊是否被邊界單元面的邊覆蓋，以及邊界面區(qū)域的總和是否與實(shí)際幾何表面面積匹配。

圖 1：從單元幾何角度（右）看，不良網(wǎng)格如何比具有“完美”單元（左）的網(wǎng)格產(chǎn)生更低的離散化誤差的簡單演示。來自參考文獻(xiàn)1c。

弗吉尼亞理工大學(xué)的Christopher Roy教授展示了一個(gè)違反直覺的例子（至少從先驗(yàn)度量的角度來看），即2D Burger方程在自適應(yīng)網(wǎng)格上的解（具有廣泛變化的偏斜，縱橫比和其他度量的單元格）比在完美正方形網(wǎng)格上的解具有更少的離散化誤差。僅從此示例來看，很明顯，僅基于像元幾何形狀的指標(biāo)不是網(wǎng)格質(zhì)量的良好指標(biāo)，因?yàn)樗c求解精度有關(guān)。

求解者的觀點(diǎn)

研討會有幸有幾位流求解器開發(fā)人員參與，他們分享了網(wǎng)格質(zhì)量如何影響其求解器的詳細(xì)信息。兩者的共同點(diǎn)是，收斂性和穩(wěn)定性更直接地受到網(wǎng)格質(zhì)量的影響，而不是求解精度。

差價(jià)合約++

Metacomp Technologies的Vinit Gupta將細(xì)胞偏度和細(xì)胞大小變化列為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格需要注意的兩個(gè)質(zhì)量問題。特別是，在梯度較低的遠(yuǎn)場中跨塊邊界的網(wǎng)格細(xì)化對收斂有很強(qiáng)的負(fù)面影響。對于非結(jié)構(gòu)化和混合網(wǎng)格，邊界層中的各向異性 tet 以及邊界層外從棱柱到透鏡的過渡也可能是有問題的。

古普塔還指出了與度量計(jì)算相關(guān)的兩個(gè)問題。依賴于將細(xì)胞分解為TET的細(xì)胞體積計(jì)算并不是唯一的，并且取決于分解方式。因此，一個(gè)程序報(bào)告的量（或依賴于量的任何度量值）可能與另一個(gè)程序報(bào)告的量不同。同樣，除三角形以外的任何事物的面正常計(jì)算都不是唯一的，并且也可能因程序而異。（這是我們在 Pointwise 經(jīng)常遇到的場景，當(dāng)求解器供應(yīng)商就單元格的體積存在分歧時(shí)，結(jié)果證明這是不同計(jì)算方法的結(jié)果。

流利和CFX

ANSYS的Konstantine Kourbatski展示了不同于完美的細(xì)胞形狀（面法線矢量的點(diǎn)積，矢量連接相鄰細(xì)胞中心）如何使方程組更僵硬，減緩收斂。然后，他介紹了度量、正交質(zhì)量和兩個(gè)偏度定義，以及 Fluent 求解器的經(jīng)驗(yàn)法則。有趣的是，正交度量的范圍從 0（壞）到 1（好），而偏度度量則正好相反：0 表示好，1 表示壞。度量標(biāo)準(zhǔn)的另一個(gè)示例是，在批量流中，縱橫比應(yīng)保持在 5 以下。Kourbatski還為CFX求解器提供了指南。

他還指出，關(guān)鍵流動特征（例如剪切層、沖擊波）的分辨率對于準(zhǔn)確求解至關(guān)重要，良性流動區(qū)域中的壞細(xì)胞通常不會對求解產(chǎn)生顯著影響。

茶隼

來自CREATE-AV計(jì)劃的CFD求解器Kestrel由阿拉巴馬大學(xué)伯明翰分校的David McDaniel代表。首先，他發(fā)表了兩個(gè)重要聲明。首先，他們的目標(biāo)是“很好地使用提供給我們的網(wǎng)格”。（這類似于 Pointwise 處理 CAD 幾何的方法 - 對提供的幾何圖形做到最好。其次，他指出，根據(jù)傳統(tǒng)的網(wǎng)格指標(biāo)，混合元素非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（它們的主要類型）很糟糕，盡管已知會產(chǎn)生準(zhǔn)確的結(jié)果。同樣的觀察結(jié)果也適用于自適應(yīng)網(wǎng)格和由網(wǎng)格內(nèi)物體的相對運(yùn)動（例如襟翼偏轉(zhuǎn)，存儲掉落）扭曲的網(wǎng)格。

更重要的是，McDaniel通過回憶Mavriplis在阻力預(yù)測研討會上的論文（參考文獻(xiàn)4）注意到求解器離散化和網(wǎng)格幾何之間的“可怕”相互依賴性，其中兩個(gè)極其相似的網(wǎng)格在多個(gè)求解器中產(chǎn)生了截然不同的結(jié)果。

為了解決網(wǎng)格質(zhì)量問題，Kestrel的開發(fā)人員實(shí)現(xiàn)了非維度質(zhì)量指標(biāo)，這些指標(biāo)既是局部的，也是全局的，并且在0總是意味著壞，1總是意味著好的意義上是一致的。對 Kestrel 重要的指標(biāo)是四面平面度的面積加權(quán)度量、與最近固體邊界的流動對齊的有趣度量、考慮相鄰單元質(zhì)心的方向和鄰近性、平滑度、間距和各向同性的最小二乘梯度。

圖 2：使用 Kestrel 可以顯示網(wǎng)格和溶液質(zhì)量之間的相關(guān)性。來自參考文獻(xiàn)1f。

與Dannenhoffer的結(jié)果不同，McDaniel展示了網(wǎng)格質(zhì)量與求解精度的相關(guān)性，但需要注意的是，分辨率良好的網(wǎng)格質(zhì)量可能很差，但仍能產(chǎn)生良好的答案。（換句話說，點(diǎn)總是越多越好。

星辰-CCM+

Alan Mueller在CD-adapco的STAR-CCM+求解器上的演講首先指出，網(wǎng)格質(zhì)量始于CAD幾何質(zhì)量，表現(xiàn)為低質(zhì)量的表面網(wǎng)格或真實(shí)形狀的不準(zhǔn)確表示。這與Dannenhoffer的網(wǎng)格有效性想法相呼應(yīng)。

在介紹了他們的質(zhì)量指標(biāo)列表后，Mueller做出了以下陳述，“不太完美的網(wǎng)格上的結(jié)果與網(wǎng)格上的結(jié)果基本相同（阻力和提升），其中花費(fèi)了大量資源來消除網(wǎng)格中的不良細(xì)胞。在這里，我們注意到目標(biāo)函數(shù)是積分量（阻力和升力），而不是像壓力曲線這樣的分布式數(shù)據(jù)。畢竟，積分量是我們想要從CFD獲得的工程數(shù)據(jù)類型。

這種對網(wǎng)格質(zhì)量精度的不敏感性支持了穆勒的立場，即細(xì)胞質(zhì)量差是一個(gè)穩(wěn)定性問題。因此，STAR-CCM+ 的方法是保守的——選擇穩(wěn)健性而不是準(zhǔn)確性。具體來說，他們正在尋找將導(dǎo)致求解器中除以零的指標(biāo)。影響擴(kuò)散通量和線性化的偏度就是這樣一個(gè)例子。

梅舍爾的觀點(diǎn)

John Steinbrenner 博士和 Nick Wyman 通過采用違反直覺的方法分享了 Pointwise 對獨(dú)立于解決方案的質(zhì)量指標(biāo)的看法。您可能會認(rèn)為網(wǎng)格生成開發(fā)人員會提高先驗(yàn)指標(biāo)的有效性。但 CFD 解決方案中的誤差包括幾何誤差、離散化誤差和建模誤差。幾何誤差類似于Dannenhoffer和Mueller關(guān)于正確表示形狀的觀點(diǎn)。建模誤差來自湍流、化學(xué)和熱物理特性。離散化涉及求解器數(shù)值的退化。離散化誤差由網(wǎng)格和求解器的數(shù)值算法之間的耦合驅(qū)動。

圖 3：此表總結(jié)了逐點(diǎn)可用的網(wǎng)格質(zhì)量指標(biāo)。來自參考文獻(xiàn)1h。

因此，盡管 Fidelity Pointwise 可以計(jì)算和顯示許多指標(biāo)，但重要的是要注意，其中許多指標(biāo)與求解器的數(shù)值缺乏直接關(guān)系，因此它們只是求解精度的松散指標(biāo)。另一方面，這些指標(biāo)便于計(jì)算，可以解決Dannenhoffer的網(wǎng)格有效性問題，并提供啟動網(wǎng)格改進(jìn)技術(shù)的機(jī)制。它們還構(gòu)成了用戶開發(fā)領(lǐng)域?qū)I(yè)知識能力的基礎(chǔ)，這些指標(biāo)與其特定應(yīng)用領(lǐng)域相關(guān)。

結(jié)論

CFD 求解器開發(fā)人員認(rèn)為，網(wǎng)格質(zhì)量對收斂的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于精度。因此，由于收斂性差或不完全收斂而導(dǎo)致的求解誤差不容忽視。

一位研究人員能夠證明網(wǎng)格質(zhì)量和求解精度之間完全缺乏相關(guān)性。對于其他求解器和流動條件重現(xiàn)此結(jié)果將很有價(jià)值。

使用盡可能多的網(wǎng)格點(diǎn)（Dannenhoffer，McDaniel）。在許多情況下，分辨率勝過質(zhì)量。然而，通過使用最少的點(diǎn)數(shù)（Thornburg稱之為最佳網(wǎng)格）來最小化計(jì)算時(shí)間的實(shí)際問題意味著質(zhì)量仍然很重要。

先驗(yàn)指標(biāo)作為運(yùn)行求解器之前的有效置信度檢查，對用戶很有價(jià)值。這些指標(biāo)必須考慮像元幾何形狀，還要考慮求解器的數(shù)值算法，這一點(diǎn)很重要。這意味著指標(biāo)取決于求解器。進(jìn)一步的含義是實(shí)施Dannehoffer的網(wǎng)格有效性檢查。

可以計(jì)算許多質(zhì)量指標(biāo)，但它們的計(jì)算通常因程序而異。為指標(biāo)開發(fā)一個(gè)通用詞匯將有助于可移植性。

解釋指標(biāo)可能很困難，因?yàn)樗鼈兊膶?shí)際數(shù)值不直觀，并且阻礙了領(lǐng)域?qū)I(yè)知識的發(fā)展。度量詞匯表應(yīng)考慮所需的結(jié)果數(shù)值范圍以及“壞”和“好”的含義。

審核編輯：郭婷