反饋理論

基本的反饋電路如圖1所示，其中E是誤差電壓，β是反饋系數，A是前向增益。公式1和2支配電路的特性。

（1）VOUT=EA

（2）E=VIN-βVOUT

精度公式（公式3）和閉環增益公式（公式4）是靠公式1和2的合并得到的。

（3）E/VIN=1/（1+Aβ）

（4）VOUT/VIN=A/（1+Aβ）

在兩個公式中的量A被稱為環路增益，它在反饋電路中有特殊意義。環路增益決定了用公式4所表示的反饋電路的穩定性（當A＝－1時，出現不穩定或振蕩），并且決定著由公式3所表示的精度。精度和穩定度是逆向相關的，即穩定性隨著精度的增加而降低，反之亦然。

在電壓輸入端接地（電流輸入打開）的情況下計算環路增益，這樣，輸入信號及其插入點（加上或減去輸入）對環路增益就不會有影響。這就意味著對于同相、反相或是差動運算放大器電路來說，環路增益都是一樣的。圖2中表示出三種運算放大器電路，而對于所有三種電路的環路增益都由公式5給出：

（5）Aβ=aRG/（RF+RG）

參數“a”是運算放大器的開環增益，不應把它同基本反饋電路（見圖1）中的前向增益“A”相混淆。運算放大器的開環增益a隨著頻率升高而降低，并把它包含在前向增益A中；從而誤差隨頻率而增加，像公式3所表示的那樣。

公式6是公式4的對數形式，并把它繪制在圖3中。

（6）20log（VOUT/VIN）=20log（1+Aβ）

公式6的曲線假定在前向增益中包含一個極點，于是前向增益以－20dB/十倍頻程的斜率傾斜。如果在前向增益中包含更多的極點，則曲線傾斜得更快。閉環增益保持恒定，直到與前向增益曲線相交為止，然后它跟隨前向增益曲線以－1的斜率（－20dB/十倍頻程）下降。

閉環增益在圖3所示曲線的視在交點處下降－3dB，但我們決不能讓工作點靠近交點，因為在交點頻率處誤差太大。正如公式6所定義的那樣，圖3中曲線之間的差值是20log（1＋Aβ），環路增益的β部分不隨頻率的改變而變化，因為它是電阻性的（至少在本例中），但是運算放大器的增益包含一個極點是使它成為增益下滑的主要原因。調整輸入信號為1V，使誤差電壓歸一化為E＝1/（1＋Aβ）；于是，在這些情況下，環路增益決定著由放大器增益的降低而引起的誤差。

圖4表示的是TLV247X運算放大器的開環增益曲線，這是一幅運算放大器的典型開環增益特性曲線，設法使這條曲線與數據表的規范聯系起來，我們就能計算差動電壓增益（DVG）的直流截距。數據表中所給出的典型DVG曲線沒有表示出低頻數據，因而我們必須在曲線的直流截距處改造曲線。

從圖4我們可以看出在100Hz處的DVG約為87dB，曲線線性部分的斜率為－20dB/十倍頻程（－6dB/倍頻程）；于是，如果倒退一個十倍頻程到10Hz，則DVG為87＋20＝107dB。如果再倒退一個倍頻程到5Hz，則DVG為107＋6＝113dB。在直流情況下，在數據表上把信號差模電壓放大倍數（AVD）規定為116dB的典型值。

這兩種規范配合得相當好是因為在5Hz下DVG＝113dB，所以我們就認為運算放大器開環增益的數據表典型值等于116dB。AVD可保證的最小規范為90dB，從而為了把圖4轉變成保用的曲線，應使典型曲線下降116dB－90dB＝26dB-即在f＝10Hz的情況下，107－26＝81dB。在表1中給出了新曲線的數據：

同相運算放大器

同相的閉環增益為：

（7）VOUT/VIN=A/（1+Aβ）=a/［1+aRG/（RF+RG）］

當把運算放大器用于同相電路組態時，前向增益A等于運算放大器的開環增益a。在公式8中，針對下列條件：閉環增益為2（6dB）、輸入信號是10Hz以及20log（a）＝81dB來計算20log（1＋Aβ），用公式9來計算誤差，且20log（1＋Aβ）＝20 log（1＋aβ）：

（8）20log（1+aβ）=20log（a）-20log（VOUT/VIN）=81dB-6dB=75dB

（9）E=1/（1+aβ）=1/10dB/20

對于10Hz的輸入信號，如果把閉環增益改變為10（20dB），那么20log（1＋Aβ）＝61dB，而誤差為0.89mV。由于當閉環增益增加時環路增益降低，所以誤差E會隨著閉環增益的增加而增加。當把閉環增益維持在20dB且輸入信號的頻率增加到1000Hz時，誤差增加到89.1mV。由于運算放大器的增益隨著頻率的增加而降低，該誤差會隨著信號頻率的增加而增加。如果把示波器的探頭跨接在運算放大器的兩個輸入端上，觀察到的差動電壓是誤差電壓，并且人們能觀察到當信號頻率增加時，誤差電壓也是增加的。

反相運算放大器

反相閉環增益為：

（10）VOUT/VIN=A/（1+Aβ）=（-aRF）/（RF+RG）/［1+aRG/（RF+RG）］

反相運算放大器電路的前向增益不等于運算放大器的開環增益，而是通過增益設置電阻的組合來加以修改。當閉環增益是2（6dB）時，RF＝2RG，電路的前向增益A為：

|A|=|aRF/（RF+RG）|=|ax2RG/（2RG+RG）|=2a/3（11）

在f＝10Hz的情況下，運算放大器的開環增益為：

（12）a=1081/20=104.05

把開環增益按三分之二的系數降低，以得到前向增益：

（13）A=2a/3=2（11220.2）/3=7480.1

然后把前向增益換算成dB數：

A=20log（7480.1）=77.48dB （14）

用公式15代替公式6，這里用2倍（6dB）的閉環增益和10Hz的輸入信號來計算20log（1＋Aβ）：

20log（1+Aβ）=77.48dB-6dB

=71.48dB （15）

誤差以下式給出：

（16）E=1/（1+Aβ）=1/10dB/20=1071.48/20=1/3749.7=0.266mV

因為通過閉環增益前向增益被降低了，所以反相運算放大器的誤差（在同樣的閉環增益和輸入信號頻率下）要比同相運算放大器的誤差更大。對于閉環增益為10（20dB而RF＝10RG），且輸入信號為10Hz的情形，用下述公式來計算誤差：

|A|=|aRF/（RF+RG）|=|ax10RG/（10RG+RG）|=10a/11（17）

A=10a/11=10（11220.2）/11=10200.2（18）

A=20log（10200.2）=80.17dB （19）

20log（1+Aβ）=80.17dB-20dB

=60.17dB （20）

（21）E=1/（1+Aβ）=1/10dB/20=1060.17/20=1/1019.8=0.98mV

所以，誤差又隨著閉環增益的增加而增加，同時當輸入信號的頻率增加時，誤差也會增加。

測量

誤差電壓在低頻下是很難測量的，因為在低頻下這些電壓非常低，因而誤差的測量要在高頻下進行。當兩個誤差的測量隔開十倍頻程時，它們應當存在20dB的電壓差。在這類測量中，應使測量儀器保持在最小數量上，以便能很容易地重做這些測量。

把所研究的運算放大器接成如圖2a所示的反相放大器，同時使增益為1（RF＝RG），把輸入電壓設為1V，并且從反相輸入端到地來測量這個電壓，被測的誤差電壓在fIN＝10kHz時為E＝2.83mV；而在fIN＝100kHz時為E＝28.3mV。可見，頻率增大10倍時，其誤差電壓相差10倍，因而前向增益曲線的斜率是－20dB/十倍頻程。得到正確的斜率表明誤差測量多半是正確的，公式22在100kHz的輸入頻率下計算量（1＋Aβ）：

（1+Aβ）=1/E=1/0.0283=35.33（22）

對公式22取對數得公式23：

20log（35.33）=31dB （23）

對于非常大的A值，VOUT/VIN＝1/β。當β＝1并且A非常大時，公式6簡化為公式24：

（24）20log（A）=20log（1+Aβ）=31dB

公式25把前向增益與運算放大器的增益相聯系：

（25） A=aRF/（RF+RG）=aRF/（RF+RF）=a/2

（26）a=2A=6dB+31dB=37dB

由數據表曲線、計算以及測量而得到運算放大器開環增益（fIN＝100kHz）的三個值，這些值在表2中給出：

測量的數據支持數據表典型曲線要比最壞（最保險）情況計算的數據支持好得多。有一些運算放大器測得的誤差電壓其范圍從32mV到26mV，則這批運算放大器具有比額定增益高得多的增益（高10dB），由于這不是總有的情形，所以使用表1中給出的最壞情況的規范進行設計是慎重的。

結論

第一條結論是誤差在輸入信號頻率較高的情況下增加，這是因為在電壓反饋運算放大器中，增益帶寬是不變的。

第二條結論是同相電路組態比反相電路組態有較低的誤差，并且這種誤差的差別在低的閉環增益下更大。

第三條結論是用單運算放大器構成的差動放大器電路中的誤差，對于反相和同相輸入來說是不同的，這個差別導致一些共模輸入電壓以差動誤差電壓的形式饋通到輸出。在單運放的差動放大器中反相和同相輸入阻抗是不同的，于是這一點連同單運算放大器的誤差放大作用，阻礙了實際應用中單運放差動放大器的使用，在實際應用中應使用多運放差動放大器或測量放大器。

存在著與放大器的增益a相關的相位移，而為了清楚起見，這些計算出來的結果忽略了那些相位移，由忽略這個反饋相位移而引入的誤差是很小的，并且除了在相交點附近（圖3）外，通常是可忽略的。然而在相交點的誤差是很大的，以至于很少有人讓運放工作在那個位置。

編輯：jq