作者：Charles Hymowitz

工程師們進行蒙特卡羅分析并評估其結果的方式有可能是不正確的，錯誤理解蒙特卡羅分析結果可能導致不正確的技術和商業決策。在電路蒙特卡羅分析中，分析人員設定了會影響結果的每個元件特性的概率，并運行多電路仿真來找出給定函數的各種可能的結果。

這可能會讓人感到意外，但工程師們進行蒙特卡羅分析并評估其結果的方式有可能是不正確的。錯誤理解蒙特卡羅分析結果可能導致不正確的技術和商業決策。當然，蒙特卡羅分析法是有幫助的，實際上有多種蒙特卡羅分析方法可以使用，你感到驚訝嗎？

蒙特卡羅分析法是一種多變量建模技術，你可以將其視為一系列的“假設”場景。它允許工程師進行多次實驗，并對一組給定結果定義概率分布或完成風險評估。在電路蒙特卡羅分析中，分析人員設定了會影響結果的每個元件特性的概率（一些元件具有很多不同的特性），并運行多個電路仿真來找出給定函數的各種可能的結果。

許多電路函數的參數變化不是單調的。因此，蒙特卡羅分析對于最壞情況電路分析（WCCA）很重要。僅進行極值分析（EVA）評估是不夠的，因為這會使許多分析不產生最壞的結果。最壞的情況往往不是在參數極端的情況下產生的，所以如果只做EVA，會錯過某些情況。

關于分析的順序存在許多錯誤觀念和錯誤的WCCA指南。要使用哪種分析方法取決于幾個因素，其中包括待評估函數的參數容差是否單調變化。

分析的順序并不一定是極值分析（EVA）、統計平方公差（RSS）和蒙特卡羅分析，即使這是許多指南所給出的順序。實際上，并沒有正式的“分析順序”。容差和分析方法基本上是相互獨立的，RSS容差可以應用于靈敏度、參數EVA或蒙特卡羅分析方法。盡管極值分析可以是有價值的第一步，通常可以讓你了解哪些參數對輸出函數有最大影響，但它并不一定是第一或唯一使用的方法。

如果一個分析結果不合規，不要將蒙特卡洛分析視為“后備”。在許多情況下，降低保守性當然是有用的，但這不是最壞情況分析（為什么要進行最壞情況分析，請參見另一篇文章，《Why worst-case circuit analysis is challenging to perform》。對于許多類型的分析，包括穩定性和總線/階躍負載瞬態分析，或者分析哪里存在大量參數容差，蒙特卡羅才是首選，也許是唯一需要完成的分析。

另一個誤解是蒙特卡洛分析需要完成大量的實驗。這不一定是對的。

蒙特卡洛分析示例

圖1顯示了一個使用狀態空間平均模型的蒙特卡羅分析示例，用來分析一個開關電源的穩定性。仿真運行AC分析，看控制回路是否符合普遍接受的10dB增益裕度（頂部曲線）、30°相位裕度（中心曲線）的航天工業指南。圖中還顯示了與不穩定奇點（-1,0）（底部圖）的距離。

圖1：開關電源的蒙特卡羅分析顯示了（從上到下）增益裕度、相位裕度以及與不穩定奇點的距離。

在這個例子中，我們為影響待分析輸出函數的每個元件指定了一個容差范圍和分布——通常是高斯分布或均勻分布。然后仿真一些（非任意）情況，其中容差特性根據它們的分布而變化，并把待分析輸出函數的結果記錄下來。

我們記錄了對圖1中12V~1.8V穩壓器進行AC穩定性分析期間在到不穩定奇點的距離上得到的增益、相位和穩定性裕度。記錄每個輸出函數的統計數據（平均值和標準偏差）和最壞情況（終點）。若只做穩定性分析，從圖2顯示的穩定性裕度可以看出其性能。

圖2：穩定性示例結果通常僅涉及相位和增益裕度。然而，穩定性裕度可以更好更準確地評估穩定性。為了方便起見，將與不穩定奇點的距離轉換為度數，并與30°需求進行比較。

蒙特卡羅結果必須在有效的統計框架中進行評估。該框架包括一個置信區間以及一個與具體實例相關的置信水平（或確定性）組合。沒有此框架，就無法正確評估結果。

一個函數的容差區間基于總體的測量樣本，是一個存在某種可能性（或者感覺到某種程度的置信度）的區間，這種可能性就是總體的指定部分的值。

使用任意次運行后的最大和最小結果作為“最壞情況”，并不是執行和評估蒙特卡羅分析的正確方法。這是因為，從統計學角度來說，你并不知道計算了什么樣的性能范圍。例如，不應該只完成500次（或100或1000次等）實驗，并為了滿足規范要求而將終點作為“最壞情況”結果。以這種方式完成的蒙特卡羅分析很容易導致不正確的設計決策，因為結果有可能比預期更差，也有可能比預期更好。

對于航空航天和汽車領域的WCCA，可以使用以下兩種方法中的一種來執行蒙特卡羅分析：正態分布容差區間法，其結果是平均值±幾個西格瑪；或與分布無關的容差區間法（非參數統計），其結果是最壞情況結果。在這兩種情況下，運行次數都與具體的確定性和總體覆蓋率相關聯。

對終點值的使用是有特殊規則的。根據所選擇的蒙特卡羅方法，結果的分布情況有可能重要，也可能并不重要。在圖2的情況下（穩定性裕度直方圖），結果不是正態分布。因此，應該使用與分布無關的方法。

對于正態分布容差區間法，被仿真的函數（穩定性，階躍負載，紋波等）的平均值和標準偏差是根據蒙特卡羅結果計算得出的。然后使用范圍（平均值±幾個σ）計算性能，其中西格瑪的個數基于總體（概率）覆蓋率/置信水平（確定性），通常為99.73％/99％，99.73％/95％，或99％/90％。航空航天讀者可能會看出99/90與用于小樣本輻射評估的統計數據相同。要使蒙特卡洛評估有效，這兩個數都必須定義，因為我們是在處理采樣數據系統。必須遵循“3σ”準則進行分析這種說法是不全面的。

置信水平

我們可以使用免費的在線工具來計算概率置信水平組合，表1對50個案例進行了蒙特卡羅分析，顯示了容差區間計算的結果。這個免費的Excel/在線工具可以設定總體覆蓋率和確定性的案例個數，確定標準偏差的正確個數。這里顯示了一個常用組合——50例，±4（3.942）σ，相當于99.73％/99％。輸出函數的分布必須是高斯分布。

表1：50個例子的容差區間——99.73/99≈4σ，99/90≈3σ。

置信水平和總體覆蓋率互為反比。因此，給定相同的西格瑪數量可以表示無限數量的置信度/總體覆蓋率組合。對于99.9％的置信水平，總體覆蓋率為99.315％，例如，使用30個例子，其中均值=0，標準差=1。

在線Excel計算器根據有限樣本的均值和標準差，在假設最后的總體是正態分布（高斯）的情況下，計算出給定總體比例和任何指定置信水平的容差區間。在該示例中，99.73％/99％相當于大約4σ，99％/90％相當于3σ。

50個例子是隨便選的。運行的例子數量可以是任意的，對于選定的置信區間/總體覆蓋率，將產生特定數量的標準差。但50是一個比較實際的數字，它不會因為太大而在SPICE仿真過程中遇到收斂問題，也不會因太小而引起不熟悉這種方法的評審人的質疑。對于最常選擇的置信區間和總體覆蓋率，它也恰好產生西格瑪約整數。

如上所述，對于正態分布容差區間法，最壞情況性能不是最大和最小終點仿真結果，而是平均值加上或減去指定的標準偏差數。

正態分布容差區間法的關鍵在于它只有在輸出函數結果的分布是正態或非常接近正態（例如不是偏態的）時才有效。正態性是可以測試的。如果分布是非正態的，則應該使用與分布無關的容差區間法，因為輸出變量總體的去偏是一個很具挑戰的數學過程。

底層元件容差分布和輸出函數的靈敏度會極大地影響輸出函數的分布。例如，控制回路穩定性通常高度依賴等效串聯電阻（ESR），其變化可達數量級。當ESR接近其最小值或規范最大值時，穩定性的仿真結果可能會高度偏斜。

因此，蒙特卡羅穩定性分析通常通過與分布無關的方法完成。均勻容差（分布平坦但被截斷）可以得出與高斯分布不同的結果（假定高斯具有無限概率尾）。顯然，如果已經知道元件的容差分布，盡管這種情況很少發生，就應采用它們。

在給定確定性和總體覆蓋率時，與分布無關的容差區間法提供了一種基礎，來選擇作為最差情況結果的仿真終點運行次數。與正態分布的容差區間不同，與分布無關指的是輸出函數的分布形態不會影響結果。然而，底層容差將影響結果，并且均勻概率分布將產生與高斯元件容差分布不同的結果（倒不一定更差）。

圖3中的曲線由R統計軟件包（distfree.cr）生成，它顯示了與分布無關的置信水平的適當運行次數。“與分布無關”意味著輸出結果的分布不必是高斯分布。使用指定的概率和確定性，將表現最差的情況（終點）視為性能范圍。

圖3：構建與分布無關的雙側容差區間所需的最小樣本量。蒙特卡羅運行數量隨總體覆蓋率和確定性而變化。

表2顯示了使用99.73％/90％總體覆蓋率/確定性對最差情況范圍的計算，運行次數必須為1440。最差性能結果定義了范圍。

表2：常用的與分布無關的蒙特卡羅運行計數和標準偏差范圍，與總體覆蓋率和確定性的關系。

那么，什么是正確的總體覆蓋率和確定性呢？這通常取決于應用、程序以及待評估的給定函數的性能期望水平。

結語

最差情況分析是一項很具挑戰的工作，它需要許多的專業知識。獲得結果的最佳方法并不總是顯而易見的。如果沒有選擇或使用正確的方法，就可能浪費大量時間并且結果還不正確。對于輸出與所有底層容差變量不是單調關系的任何評估，蒙特卡羅分析幾乎是必不可少的。通常，單調性是未知的。如果執行蒙特卡洛分析，則必須定義總體覆蓋率和確定性以正確評估結果。無論是使用正態分布容差區間法還是與分布無關的容差區間法，都是如此。
編輯：hfy