你玩過(guò)魔方嗎？

小小的正方體上布滿六種不同的顏色，看似旋轉(zhuǎn)翻飛眼花繚亂，卻總會(huì)在某個(gè)瞬間完成驚喜變身。魔方作為一種益智玩具，不僅老少皆宜，更是風(fēng)靡全球，實(shí)力堪稱指尖上的藝術(shù)。

但你知道嗎？現(xiàn)在不僅人類在玩，連AI機(jī)器人也加入了這個(gè)游戲陣營(yíng)。

看似簡(jiǎn)單的小小魔方，你知道它的顏色組合有多少種嗎？

4325 億億種

無(wú)論什么樣的顏色組合，最少需要多少次才能保證他們都能復(fù)原？

20次

大家可能也聽(tīng)說(shuō)，玩得好的人都知道魔方的還原口訣（類似獨(dú)孤九劍的口訣）。據(jù)數(shù)學(xué)大神們說(shuō)，世間所有的事物背后都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)方程去表示或者控制，何況游戲！

其實(shí)，魔方所涉及的基本數(shù)學(xué)理論就是組合最優(yōu)化。今天，我就給大家分享一下組合最優(yōu)化的基本知識(shí)及工程應(yīng)用。

01

什么是組合最優(yōu)化？

通俗地講，組合最優(yōu)化研究的問(wèn)題就是討論在眾多的組合方案中，什么樣的方案最優(yōu)以及如何找出最優(yōu)方案；

學(xué)術(shù)地講，組合最優(yōu)化是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，即通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)方法的研究去尋找事件的最優(yōu)編排，分組，次序或篩選等，其一般數(shù)學(xué)模型是：

其中f(X)是目標(biāo)函數(shù)，g(X)是約束函數(shù)，D是定義域。

02

抽象數(shù)學(xué)表達(dá)式具體化

組合最優(yōu)化領(lǐng)域有很多經(jīng)典的例子，它們通俗易懂，很適合鍛煉人的數(shù)學(xué)思維能力，好多奧數(shù)競(jìng)賽的題目就來(lái)源于他們。

比如說(shuō)“旅行商問(wèn)題”：一個(gè)商品推銷員要去若干個(gè)（n）城市推銷商品，該推銷員從一個(gè)城市出發(fā)，需要經(jīng)過(guò)所有城市后，回到出發(fā)地，應(yīng)如何選擇行進(jìn)路線，才能使總的行程最短。初看起來(lái)很簡(jiǎn)單，窮舉所有可能性的路線，選擇最短的那個(gè)，對(duì)于n很小的情況，小朋友都能夠理解，也很容易；但對(duì)于n比較大的情況，窮舉遍歷法就不可行了。

這是一個(gè)普通人都能秒懂的問(wèn)題，卻也是至今仍未被完全解決的數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)界難題。除此之外，還有背包問(wèn)題，匹配問(wèn)題，排序問(wèn)題等等，如果誰(shuí)能夠想清楚這些問(wèn)題，那數(shù)學(xué)思維能力應(yīng)該是杠杠的。

03

組合最優(yōu)化——AI的引擎

AI是個(gè)很熱的話題。一方面，最優(yōu)化可以說(shuō)是AI的引擎，AI問(wèn)題幾乎都能轉(zhuǎn)化為求解能量/損失函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，AI模型訓(xùn)練的過(guò)程就是以損失函數(shù)最小化為目標(biāo)，采用梯度下降的方法不斷更新模型參數(shù)的過(guò)程；

另外一方面，AI深度學(xué)習(xí)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)技術(shù)也為求解組合最優(yōu)化問(wèn)題提供了新思路，即組合最優(yōu)化的序列決策可以由深度學(xué)習(xí)或強(qiáng)化學(xué)習(xí)來(lái)替代，求解組合最優(yōu)化的經(jīng)典算法可以由強(qiáng)化學(xué)習(xí)幫助指導(dǎo)算法策略，甚至已經(jīng)有了專為組合最優(yōu)化求解而誕生的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Pointer Network。

04

掌握組合最優(yōu)化，讓生活和工作乘風(fēng)破浪

組合最優(yōu)化是一門(mén)應(yīng)用廣泛、實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科，也是一種可以改善生活、提高工作效率的有力工具。

例如，在理財(cái)投資中，如何進(jìn)行投資組合才可以實(shí)現(xiàn)收益最大化；在芯片設(shè)計(jì)過(guò)程中，一個(gè)計(jì)算機(jī)芯片需要多少層才能使得同一層的線路互不相交；在運(yùn)輸調(diào)度領(lǐng)域，采用什么樣的列車(chē)調(diào)度方案可以最大化整個(gè)鐵路系統(tǒng)的運(yùn)行效率；在城建規(guī)劃中，如何安排工廠、超市、住宅、學(xué)校、醫(yī)院等單位的布局，才能有利于城市的平衡發(fā)展；在生產(chǎn)計(jì)劃安排中，采用什么樣的方案才可以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。

大到國(guó)家政策，中到企業(yè)戰(zhàn)略，小到個(gè)人選擇都或多或少地涉及到組合最優(yōu)化。甚至可以說(shuō)，我們的生活和工作一直在潛意識(shí)地進(jìn)行著最優(yōu)化組合求解，系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練會(huì)讓這個(gè)過(guò)程更高效便捷。

05

我是一名工程師，在博世有哪些工程項(xiàng)目會(huì)用到組合最優(yōu)化？

目前博世正在如火如荼地進(jìn)行數(shù)字化轉(zhuǎn)型探索，生產(chǎn)部門(mén)有大量的場(chǎng)景和數(shù)據(jù)等待挖掘，比如產(chǎn)線合理排班，貼片機(jī)貼片順序等都有可能涉及到組合最優(yōu)化。

而工程部的業(yè)務(wù)主要是跟設(shè)計(jì)相關(guān)的，比如說(shuō)PCB的布局與布線設(shè)計(jì)，機(jī)械結(jié)構(gòu)件的設(shè)計(jì)等等。這些設(shè)計(jì)工作嚴(yán)重依賴工程師的經(jīng)驗(yàn)，似乎很難進(jìn)行數(shù)字化優(yōu)化。設(shè)計(jì)工作就是在滿足一定約束條件下，設(shè)計(jì)完成某些功能的過(guò)程，對(duì)這進(jìn)行高度抽象，不就是組合最優(yōu)化問(wèn)題嗎？

在PCB板設(shè)計(jì)結(jié)束后，要對(duì)板子上的某些元器件進(jìn)行保護(hù)層設(shè)計(jì)和保護(hù)層噴涂。目前設(shè)計(jì)依賴設(shè)計(jì)工程師的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，噴涂路徑依賴產(chǎn)線工程師的經(jīng)驗(yàn)及其反復(fù)調(diào)試，其缺點(diǎn)是依賴專家經(jīng)驗(yàn)，項(xiàng)目周期長(zhǎng)。

如果能根據(jù)組合最優(yōu)化原理開(kāi)發(fā)一種PCB元器件保護(hù)層自動(dòng)設(shè)計(jì)軟件，幫助設(shè)計(jì)工程師優(yōu)化保護(hù)層設(shè)計(jì)，幫助產(chǎn)線工程師優(yōu)化噴涂路徑，提升工作效率，那將是極好的。

于是我們有了下圖設(shè)計(jì)：

通過(guò)使用我們提供的自動(dòng)化設(shè)計(jì)軟件，項(xiàng)目的交付時(shí)間將縮短85%以上。這可以看作是數(shù)字化過(guò)程中典型的案例，利用組合最優(yōu)化技術(shù)極大地提升了設(shè)計(jì)人員的工作效率，也提升了噴涂的生產(chǎn)效率。

除此之外，還有PCB的設(shè)計(jì)工作，如何借助組合最優(yōu)化及AI技術(shù)幫助PCB設(shè)計(jì)工程師快速布線和布局是一個(gè)有意義但極具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，這也很值得探索。

總之，組合最優(yōu)化涉及到我們生活的各個(gè)方面，掌握組合最優(yōu)化不僅使我們能玩好魔方，而且能豐富我們的生活和工作的思路，更能直接提升工程師的工作效率。