半個世紀(jì)前固體能帶理論的提出，讓人們認(rèn)識到材料為什么可以分為金屬、絕緣體或者半導(dǎo)體，并促進(jìn)了半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)的迅猛發(fā)展。現(xiàn)在人們認(rèn)識到，系統(tǒng)的能帶還可以根據(jù)對稱性和空間維度，進(jìn)行詳細(xì)的拓?fù)浞诸悺＠纾紤]時間反演對稱性、粒子-空穴對稱性、手征對稱性，以及不同的空間維度（d），絕緣態(tài)系統(tǒng)可以衍生出種類豐富的拓?fù)湮飸B(tài)（見下表）。

按照對稱性和空間維度可對具有能隙的物態(tài)進(jìn)行拓?fù)浞诸?/p>

拓?fù)洳牧暇哂型負(fù)浔Ｗo(hù)的物理性質(zhì)，不受雜質(zhì)、缺陷等因素的影響，因而在低能耗、高速響應(yīng)器件，量子計算等領(lǐng)域中具有巨大的潛在應(yīng)用，在近十多年來受到了非常廣泛的研究。人們已經(jīng)在天然材料和人工材料中提出和驗證了多種一維到三維的拓?fù)湮飸B(tài)。例如，在破缺時間反演對稱性（表中A類）的二維系統(tǒng)中，克勞斯·馮·克利青發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子霍爾態(tài)；在具備時間反演對稱性的費米子系統(tǒng)中（表中AII類），人們發(fā)現(xiàn)了二維或者三維的拓?fù)浣^緣態(tài)；考慮粒子-空穴對稱性后可以出現(xiàn)一維到三維的拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)等。

我們生活的世界是三維空間，難以制備維度高于三維的材料系統(tǒng)，因此目前對高維度拓?fù)湮飸B(tài)的研究還非常匱乏。

相比于天然材料，人工系統(tǒng)，特別是電路系統(tǒng)，具有若干優(yōu)點。例如，系統(tǒng)的能帶可以被精確設(shè)計和調(diào)控；系統(tǒng)具有自由的格點連通性，可以用來模擬任意維度的連接。因此，電路系統(tǒng)為實現(xiàn)有趣的高維拓?fù)湮飸B(tài)提供了理想的實驗平臺。

近期，武漢大學(xué)余睿、南京大學(xué)趙宇心和斯圖加特馬克斯-普朗克研究所的Andreas Schnyder利用電路連接自由度高、不受空間維度制約的特性，用電容和電感器件構(gòu)建了一個具有四維連接性質(zhì)、滿足經(jīng)典時間反演對稱的電路網(wǎng)絡(luò)（如下圖）。

（a）四維電路投影到二維電路板上。其三維邊界上可以存在一對手性相同的外爾點。（b）三維邊界上體態(tài)（灰色部分）和外爾點的色散（紅色部分）。（c） 外爾點手性示意圖。

通過理論分析，研究者證明此系統(tǒng)屬于上表中AI分類的四維拓?fù)浣^緣態(tài)。拓?fù)浣^緣體是一種很特殊的材料：系統(tǒng)體內(nèi)絕緣，但表面因為存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的、無能隙的表面態(tài)而具備高度導(dǎo)電性。類似的，對于具有四維拓?fù)浣^緣態(tài)性質(zhì)的電路網(wǎng)絡(luò)，其體內(nèi)頻譜具有能隙，但其三維表面上存在一對符合三維Weyl態(tài)特征的能隙閉合點（上圖b）。

更重要的是，這種特殊的表面態(tài)起源于四維空間的拓?fù)鋽?shù)——第二陳數(shù)。拓?fù)鋽?shù)確定了Weyl態(tài)必須成對出現(xiàn)在邊界上且具有相同的手征（上圖a），即它們的內(nèi)稟旋轉(zhuǎn)自由度和傳播方向遵循相同的左手或右手定則（上圖c）。這些性質(zhì)和低維材料中的表面態(tài)性質(zhì)有很大不同。

研究人員通過電路仿真指出，這種四維拓?fù)鋺B(tài)能夠在電路板或集成電路晶圓上實現(xiàn)；系統(tǒng)表面的三維Weyl態(tài)的性質(zhì)可通過電路節(jié)點電壓表征和操控。

上述設(shè)計方案具有普適性，可用于實現(xiàn)任意維度的其它類型的拓?fù)湮飸B(tài)，且這種方案具有實現(xiàn)簡單、重構(gòu)性強、可靈活控制等優(yōu)點。研究人員期望該方案能夠在拓?fù)湎嘧儭⒎蔷€性效應(yīng)、高維物態(tài)、非平衡現(xiàn)象以及開放量子系統(tǒng)（非厄密系統(tǒng)）的研究中起到重要作用。

該研究得到了科技部科研項目和國家自然科學(xué)基金的資助，相關(guān)成果發(fā)表于《國家科學(xué)評論》（National Science Review）。
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