考量運算放大器在Type-2補償器中的動態響應（第二篇）

03

FACT應用于Type-2補償器

為高效地將FACT運用到Type-2補償器，我們先考慮儲能元件C1和C2。考慮到它們的獨立狀態可變—如它們不是串聯或并聯--這是個二階系統。考慮非零準靜態增益，該系統可表示為：

（11）

對于二階系統，我們可證明分母遵循下列公式：

（12）

系數s僅是確定零點激勵的時間常數之和。S2系數稍復雜，因其引入新符號。此符號意味著您“想象”的C2兩端的阻抗，而C1由短路取代。乍一看有點難以理解，但我們稍解釋就會明白。 按求解圖2電路的途徑，我們可研究s=0的系統(圖7)。在分析的過程中，Vref是個完美的源及其動態響應為0（忽略我們應用的調制，其電壓是固定的）。因此，它自然不存在于小信號電路，在交流分析中為短路的形式。

圖7：在直流條件下，斷開所有的電容：運放運行于開環配置。

運放提供的電壓相當于開環增益AOL的e倍。反相引腳的電壓與低邊阻抗Rlower有關，這時e是個非零的值：

（13）

此電路有兩個電容，因此有兩個單獨的時間常數。為確定與C2有關的第一個時間常數，我們將激勵信號設為0，確定C2的阻抗，C2連接端子，而C1從電路中移除。 為確定由C2端提供的阻抗，我們可連接測試生成器IT，和確定其兩端的電壓VT。然后VT/IT會提供我們想要的阻抗。可寫的第一個簡單的等式與e有關。運放的輸入引腳之間的電壓是：

（14）

運放的輸出為：

（15）

將(14)代入(15)得出：

（16）

VT是電流源的電壓：

（17）

若從（17）提取VFB，結合（16）的結果，我們有：

（18）

阻抗是：

（19）

因此第一個時間常數t2表示為：

（20）

第二個時間常數與C1有關(圖8)。我們未安裝電流發生器，因為結果很明顯：C1兩端的電阻就是已確定的C2與R2串聯后的電阻：

（21）

圖8：立即確定第二個時間常數，因為它是C2與R2串聯的驅動電阻。

我們有兩個時間常數，可進行第二階項。我們需要評估，其中C2由短路代替，我們看C1端的電阻。既然我們在涉及R2的回路中有弗蘭克短路，那么電阻R就是R2：

（22）

因此，若我們根據（12）組合時間常數，得出分母D(s) ：

（23）

這二階形式可重新排列，假設質量因子Q遠小于1。此時兩個極點完全分離：一個控制低頻，而第二個位于頻譜的上部。由（12）我們可證明，兩個極點定義為：

（24）

（25）

若我們將這些定義應用到（23），簡化和重新排列，得到：

（26）

（27）

若我們想象使C1或C2或C1和C2短路，這三個配置有響應嗎？若C1短路，我們有一個含R2和其他電阻的簡單的逆變器：有個與C1有關的零點。若C2短路，則運放為0：C2沒有零點。若兩個電容器都短路，當然，沒有響應。若C1和R2短路，那么響應消失(圖9)：

（28）

然后

（29）

圖9：若R2與C1的串連轉換為短路，那是沒信號的響應：這就解釋了零點是如何產生的。

其中給出了零點位于：

（30）

現在有最終的傳遞函數

（31）

及

（32）

（33）

（34）

（35）

04

比較電路之間的響應

現在比較由type-2電路(其中我們考慮開環增益)帶來的動態響應是有意義的， type 2完美的傳遞函數為：

（36）

其中

（37）

（38）

（39）

舉例說明，我們對比理想的運放和開環增益為50dB的運放（例如TL431），此時補償器必須滿足以下目標：fc=10kHz和在此頻率的增益補償20dB，相位提升必須是65°。R1和Rlower計算用于12V輸出和2.5V參考電壓。（31）和（36）的兩個動態響應如圖10。交越增益和相位升壓的偏差可忽略不計。 然而，在120赫茲頻率時（31）的增益為35dB，（36）則為45dB。最后，有限的AOL的準靜態增益僅36.4dB（?66），而無限時則為完美的運放。增益少兩倍時，電源頻率將影響控制系統的能力，抑制整流紋波。輸出變量可能會受到此元件的影響，特別是在電壓模式控制下。此外，若植入增益低，控制變量可能有顯著的靜態誤差。若您現在選擇具有更高AOL的運放如80dB，偏差消失，兩曲線相互非常接近。

圖10：在type 2的波特圖中，我們認為開環增益AOL和低邊電阻Rlower并沒有太大影響原完美的方程式。

05

總結

本文的前兩篇，介紹一個補償器采用一個非理想運放時開環增益的影響。假如運放不是完美的，您可看到動態響應中在低頻范圍內弱開環增益的影響，來評估這種情況導致的性能下降。