為何從零開始？

有許多深度學習庫（Keras、TensorFlow和PyTorch等）可僅用幾行代碼構建一個神經(jīng)網(wǎng)絡。然而，如果你真想了解神經(jīng)網(wǎng)絡的底層運作，建議學習如何使用Python或任何其他編程語言從零開始為神經(jīng)網(wǎng)絡編程。

不妨創(chuàng)建某個隨機數(shù)據(jù)集：

圖1. 為簡單起見，隨機數(shù)據(jù)集帶二進制值

上面表格有五列：Person、X1、X2、X3和Y。1表示true，0表示false。我們的任務是創(chuàng)建一個能夠基于X1、X2和X3的值來預測Y值的人工神經(jīng)網(wǎng)絡。

我們將創(chuàng)建一個有1個輸入層、1個輸出層而沒有隱藏層的人工神經(jīng)網(wǎng)絡。開始編程前，先不妨看看我們的神經(jīng)網(wǎng)絡在理論上將如何執(zhí)行：

ANN理論

人工神經(jīng)網(wǎng)絡是一種監(jiān)督式學習算法，這意味著我們?yōu)樗峁┖凶宰兞康妮斎霐?shù)據(jù)和含有因變量的輸出數(shù)據(jù)。比如在該示例中，自變量是X1、X2和X3，因變量是Y。

首先，ANN進行一些隨機預測，將這些預測與正確的輸出進行比較，計算出誤差（預測值與實際值之間的差）。找出實際值與傳播值之間的差異的函數(shù)名為成本函數(shù)（cost function）。這里的成本指誤差。我們的目標是使成本函數(shù)最小化。訓練神經(jīng)網(wǎng)絡基本上是指使成本函數(shù)最小化。下面會介紹如何執(zhí)行此任務。

神經(jīng)網(wǎng)絡分兩個階段執(zhí)行：前饋階段和反向傳播階段。下面詳細介紹這兩個步驟。

前饋

圖2

來源：單層神經(jīng)網(wǎng)絡，又叫Perceptron

在ANN的前饋階段，基于輸入節(jié)點中的值和權重進行預測。如果看一下上圖中的神經(jīng)網(wǎng)絡，會看到數(shù)據(jù)集中有三個特征：X1、X2和X3，因此第一層（又叫輸入層）中有三個節(jié)點。

神經(jīng)網(wǎng)絡的權重基本上是我們要調(diào)整的字符串，以便能夠正確預測輸出。請記住，每個輸入特性只有一個權重。

以下是在ANN的前饋階段所執(zhí)行的步驟：

第1步：計算輸入和權重之間的點積

輸入層中的節(jié)點通過三個權重參數(shù)與輸出層連接。在輸出層中，輸入節(jié)點中的值與對應的權重相乘并相加。最后，偏置項b添加到總和。

為什么需要偏置項？

假設某個人有輸入值（0，0，0），輸入節(jié)點和權重的乘積之和將為零。在這種情況下，無論我們怎么訓練算法，輸出都將始終為零。因此，為了能夠做出預測，即使我們沒有關于該人的任何非零信息，也需要一個偏置項。偏置項對于構建穩(wěn)健的神經(jīng)網(wǎng)絡而言必不可少。

數(shù)學上，點積的總和：

X.W=x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 + b

第2步：通過激活函數(shù)傳遞點積（X.W）的總和

點積XW可以生成任何一組值。然而在我們的輸出中，我們有1和0形式的值。我們希望輸出有同樣的格式。為此，我們需要一個激活函數(shù)（Activation Function），它將輸入值限制在0到1之間。因此，我們當然會使用Sigmoid激活函數(shù)。

圖3. Sigmoid激活函數(shù)

輸入為0時，Sigmoid函數(shù)返回0.5。如果輸入是大正數(shù)，返回接近1的值。負輸入的情況下，Sigmoid函數(shù)輸出的值接近零。

因此，它特別適用于我們要預測概率作為輸出的模型。由于概念只存在于0到1之間，Sigmoid函數(shù)是適合我們這個問題的選擇。

上圖中z是點積X.W的總和。

數(shù)學上，Sigmoid激活函數(shù)是：

圖4. Sigmoid激活函數(shù)

總結一下到目前為止所做的工作。首先，我們要找到帶權重的輸入特征（自變量矩陣）的點積。接著，通過激活函數(shù)傳遞點積的總和。激活函數(shù)的結果基本上是輸入特征的預測輸出。

反向傳播

一開始，進行任何訓練之前，神經(jīng)網(wǎng)絡進行隨機預測，這種預測當然是不正確的。

我們先讓網(wǎng)絡做出隨機輸出預測。然后，我們將神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出與實際輸出進行比較。接下來，我們更新權重和偏置，并確保預測輸出更接近實際輸出。在這個階段，我們訓練算法。不妨看一下反向傳播階段涉及的步驟。

第1步：計算成本

此階段的第一步是找到預測成本。可以通過找到預測輸出值和實際輸出值之間的差來計算預測成本。如果差很大，成本也將很大。

我們將使用均方誤差即MSE成本函數(shù)。成本函數(shù)是找到給定輸出預測成本的函數(shù)。

圖5. 均方誤差

這里，Yi是實際輸出值，i是預測輸出值，n是觀察次數(shù)。

第2步：使成本最小化

我們的最終目的是微調(diào)神經(jīng)網(wǎng)絡的權重，并使成本最小化。如果你觀察仔細，會了解到我們只能控制權重和偏置，其他一切不在控制范圍之內(nèi)。我們無法控制輸入，無法控制點積，無法操縱Sigmoid函數(shù)。

為了使成本最小化，我們需要找到權重和偏置值，確保成本函數(shù)返回最小值。成本越小，預測就越正確。

要找到函數(shù)的最小值，我們可以使用梯度下降算法。梯度下降可以用數(shù)學表示為：

圖6. 使用梯度下降更新權重

Error是成本函數(shù)。上面的等式告訴我們找到關于每個權重和偏置的成本函數(shù)的偏導數(shù)，然后從現(xiàn)有權重中減去結果以得到新的權重。

函數(shù)的導數(shù)給出了在任何給定點的斜率。為了找到成本是增加還是減少，給定權重值，我們可以找到該特定權重值的函數(shù)導數(shù)。如果成本隨重量增加而增加，導數(shù)將返回正值，然后將其從現(xiàn)有值中減去。

另一方面，如果成本隨重量增加而降低，將返回負值，該值將被添加到現(xiàn)有的權重值中，因為負負得正。

在上面公式中，a名為學習速率，乘以導數(shù)。學習速率決定了我們的算法學習的速度。

我們需要對所有權重和偏置重復執(zhí)行梯度下降操作，直到成本最小化，并且成本函數(shù)返回的值接近零。

現(xiàn)在是實現(xiàn)我們迄今為止研究的人工神經(jīng)網(wǎng)絡的時候了。我們將用Python創(chuàng)建一個簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡，有1個輸入層和1個輸出層。

使用numpy實現(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡

圖7

圖片來源：hackernoon.com

要采取的步驟：

1.定義自變量和因變量

2.定義超參數(shù)

3.定義激活函數(shù)及其導數(shù)

4.訓練模型

5.做出預測

第1步：先創(chuàng)建自變量或輸入特征集以及相應的因變量或標簽。

#Independent variables

input_set = np.array（［［0，1，0］，

［0，0，1］，

［1，0，0］，

［1，1，0］，

［1，1，1］，

［0，1，1］，

［0，1，0］］）#Dependent variable

labels = np.array（［［1，

0，

0，

1，

1，

0，

1］］）

labels = labels.reshape（7，1） #toconvert labels to vector

我們的輸入集含有七個記錄。同樣，我們還創(chuàng)建了一個標簽集，含有輸入集中每個記錄的對應標簽。標簽是我們希望ANN預測的值。

第2步：定義超參數(shù)。

我們將使用numpy的random.seed函數(shù)，以便在執(zhí)行以下代碼時可以獲得同樣的隨機值。

接下來，我們使用正態(tài)分布的隨機數(shù)初始化權重。由于輸入中有三個特征，因此我們有三個權重的向量。然后，我們使用另一個隨機數(shù)初始化偏置值。最后，我們將學習速率設置為0.05。

np.random.seed（42）

weights = np.random.rand（3，1）

bias = np.random.rand（1）

lr = 0.05 #learning rate

第3步：定義激活函數(shù)及其導數(shù)：我們的激活函數(shù)是Sigmoid函數(shù)。

def sigmoid（x）：

return 1/（1+np.exp（-x））

現(xiàn)在定義計算Sigmoid函數(shù)導數(shù)的函數(shù)。

def sigmoid_derivative（x）：

return sigmoid（x）*（1-sigmoid（x））

第4步：是時候訓練ANN模型了。

我們將從定義輪次（epoch）數(shù)量開始。輪次是我們想針對數(shù)據(jù)集訓練算法的次數(shù)。我們將針對數(shù)據(jù)訓練算法25000次，因此epoch將為25000。可以嘗試不同的數(shù)字以進一步降低成本。

for epoch in range（25000）：

inputs = input_set

XW = np.dot（inputs， weights）+ bias

z = sigmoid（XW）

error = z - labels

print（error.sum（））

dcost = error

dpred = sigmoid_derivative（z）

z_del = dcost * dpred

inputs = input_set.T

weights = weights - lr*np.dot（inputs， z_del）

for num in z_del：

bias = bias - lr*num

不妨了解每個步驟，然后進入到預測的最后一步。

我們將輸入input_set中的值存儲到input變量中，以便在每次迭代中都保留input_set的值不變。

inputs = input_set

接下來，我們找到輸入和權重的點積，并為其添加偏置。（前饋階段的第1步）

XW = np.dot（inputs， weights）+ bias

接下來，我們通過Sigmoid激活函數(shù)傳遞點積。（前饋階段的第2步）

z = sigmoid（XW）

這就完成了算法的前饋部分，現(xiàn)在是開始反向傳播的時候了。

變量z含有預測的輸出。反向傳播的第一步是找到誤差。

error = z - labels

print（error.sum（））

我們知道成本函數(shù)是：

圖8

我們需要從每個權重方面求該函數(shù)的微分，這可以使用微分鏈式法則（chain rule of differentiation）來輕松完成。我將跳過推導部分，但如果有人感興趣，請留言。

因此，就任何權重而言，成本函數(shù)的最終導數(shù)是：

slope = input x dcost x dpred

現(xiàn)在，斜率可以簡化為：

dcost = error

dpred = sigmoid_derivative（z）

z_del = dcost * dpred

inputs = input_set.T

weights = weight-lr*np.dot（inputs， z_del）

我們有z_del變量，含有dcost和dpred的乘積。我們拿輸入特征矩陣的轉(zhuǎn)置與z_del相乘，而不是遍歷每個記錄并拿輸入與對應的z_del相乘。

最后，我們將學習速率變量lr與導數(shù)相乘，以加快學習速度。

除了更新權重外，我們還要更新偏置項。

for num in z_del：

bias = bias - lr*num

一旦循環(huán)開始，你會看到總誤差開始減小;訓練結束時，誤差將保留為很小的值。

-0.001415035616137969

-0.0014150128584959256

-0.0014149901015685952

-0.0014149673453557714

-0.0014149445898578358

-0.00141492183507419

-0.0014148990810050437

-0.0014148763276499686

-0.0014148535750089977

-0.0014148308230825385

-0.0014148080718707524

-0.0014147853213728624

-0.0014147625715897338

-0.0014147398225201734

-0.0014147170741648386

-0.001414694326523502

-0.001414671579597255

-0.0014146488333842064

-0.0014146260878853782

-0.0014146033431002465

-0.001414580599029179

-0.0014145578556723406

-0.0014145351130293877

-0.0014145123710998

-0.0014144896298846701

-0.0014144668893831067

-0.001414444149595611

-0.0014144214105213174

-0.0014143986721605849

-0.0014143759345140276

-0.0014143531975805163

-0.001414330461361444

-0.0014143077258557749

-0.0014142849910631708

-0.00141426225698401

-0.0014142395236186895

-0.0014142167909661323

-0.001414194059027955

-0.001414171327803089

-0.001414148597290995

-0.0014141258674925626

-0.0014141031384067547

-0.0014140804100348098

-0.0014140576823759854

-0.0014140349554301636

-0.0014140122291978665

-0.001413989503678362

-0.001413966778871751

-0.001413944054778446

-0.0014139213313983257

-0.0014138986087308195

-0.0014138758867765552

-0.0014138531655347973

-0.001413830445006264

-0.0014138077251906606

-0.001413785006087985

-0.0014137622876977014

-0.0014137395700206355

-0.0014137168530558228

-0.0014136941368045382

-0.0014136714212651114

-0.0014136487064390219

-0.0014136259923249635

-0.001413603278923519

-0.0014135805662344007

-0.0014135578542581566

-0.0014135351429944293

-0.0014135124324428719

-0.0014134897226037203

-0.0014134670134771238

-0.0014134443050626295

-0.0014134215973605428

-0.0014133988903706311

第5步：作出預測

是時候作出一些預測了。先用［1，0，0］試一下：

single_pt = np.array（［1，0，0］）

result = sigmoid（np.dot（single_pt， weights） + bias）

print（result）

輸出：

［0.01031463］

如你所見，輸出更接近0而不是1，因此分類為0。

不妨再用［0，1，0］試一下：

single_pt = np.array（［0，1，0］）

result = sigmoid（np.dot（single_pt， weights） + bias）

print（result）

輸出：

［0.99440207］

如你所見，輸出更接近1而不是0，因此分類為1。

結論

我們在本文中學習了如何使用numpy Python庫，從零開始創(chuàng)建一個很簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡，只有1個輸入層和1個輸出層。該ANN能夠?qū)€性可分離數(shù)據(jù)進行分類。

如果我們有非線性可分離的數(shù)據(jù)，我們的ANN就無法對這種類型的數(shù)據(jù)進行分類。下篇將介紹如何構建這樣的ANN。