一 卡諾圖的構(gòu)成
卡諾圖是一種平面方格圖，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，故又稱為最小項(xiàng)方格圖。
1．結(jié)構(gòu)特點(diǎn)??
??? 卡諾圖中最小項(xiàng)的排列方案不是唯一的，圖2．5(a)、(b)、(c)、(d)分別為2變量、3變量、4變量、5變量卡諾圖的一種排列方案。圖中，變量的坐標(biāo)值0表示相應(yīng)變量的反變量，1表示相應(yīng)變量的原變量。各小方格依變量順序取坐標(biāo)值，所得二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即相應(yīng)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。
??? 在五變量卡諾圖中，為了方便省略了符號(hào)“m”，直接標(biāo)出m的下標(biāo)i 。

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圖2. 5 2～5變量卡諾圖
??? 從圖2.5所示的各卡諾圖可以看出，卡諾圖上變量的排列規(guī)律使最小項(xiàng)的相鄰關(guān)系能在圖形上清晰地反映出來(lái)。具體地說(shuō)，在n個(gè)變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個(gè)最小項(xiàng)的n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。以四變量卡諾圖為例，圖中每個(gè)最小項(xiàng)應(yīng)有4個(gè)相鄰最小項(xiàng)，如m5的4個(gè)相鄰最小項(xiàng)分別是m1，m4，m7，m13，這4個(gè)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格與m5對(duì)應(yīng)的小方格分別相連，也就是說(shuō)在幾何位置上是相鄰的，這種相鄰稱為幾何相鄰。而m2則不完全相同，它的4個(gè)相鄰最小項(xiàng)除了與之幾何相鄰的m3和m6之外，另外兩個(gè)是處在“相對(duì)”位置的m0(同一列的兩端)和m10(同一行的兩端)。這種相鄰似乎不太直觀，但只要把這個(gè)圖的上、下邊緣連接，卷成圓筒狀，便可看出m0和m2在幾何位置上是相鄰的。同樣，把圖的左、右邊緣連接，便可使m2和m10相鄰。通常把這種相鄰稱為相對(duì)相鄰。除此之外，還有“相重”位置的最小項(xiàng)相鄰，如五變量卡諾圖中的m3，除了幾何相鄰的m1，m2，m7和相對(duì)相鄰的m11外，還與m19相鄰。對(duì)于這種情形，可以把卡諾圖左邊的矩形重疊到右邊矩形之上來(lái)看，凡上下重疊的最小項(xiàng)相鄰，這種相鄰稱為重疊相鄰。

??? 歸納起來(lái)，卡諾圖在構(gòu)造上具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

??? ☆ n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)；

??? ☆ 卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。


??? 二 卡諾圖的性質(zhì)

??? 卡諾圖的構(gòu)造特點(diǎn)使卡諾圖具有一個(gè)重要性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項(xiàng)合并。合并的理論依據(jù)是并項(xiàng)定理AB+AB=A。例如，


??? 根據(jù)定理AB+AB=A和相鄰最小項(xiàng)的定義，兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并為一個(gè)與項(xiàng)并消去一個(gè)變量。例如，4變量最小項(xiàng)ABCD和ABCD相鄰，可以合并為ABD；ABCD和ABCD相鄰，可以合并為ABD；而與項(xiàng)ABD和ABD又為相鄰與項(xiàng)，故按同樣道理可進(jìn)一步將兩個(gè)相鄰與項(xiàng)合并為BD。

??? 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理就是把上述邏輯依據(jù)和圖形特征結(jié)合起來(lái)，通過(guò)把卡諾圖上表征相鄰最小項(xiàng)的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，達(dá)到用一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替若干最小項(xiàng)的目的。

??? 通常把用來(lái)包圍那些能由一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替的若干最小項(xiàng)的“圈”稱為卡諾圈。


?? 三 邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

??? 1．給定邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式
??? 當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式時(shí)，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。
??? 例如，3變量函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖如圖2．6所示。

圖2．6 函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖
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??? 2．邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式

??? 當(dāng)邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式時(shí)，可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。
??? 例如，4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡諾圖如圖2．7所示。


圖2．7 函數(shù)F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡諾圖

??? 填寫該函數(shù)卡諾圖時(shí)，只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項(xiàng)”AB、CD、A·BC對(duì)應(yīng)的小方格填上1，便可得到該函數(shù)的卡諾圖。
??? 當(dāng)邏輯函數(shù)表達(dá)式為其他形式時(shí)，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。

??? 為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時(shí)用空格表示。


??? 四 卡諾圖上最小項(xiàng)的合并規(guī)律

??? 卡諾圖的一個(gè)重要特征是，它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項(xiàng)的相鄰關(guān)系。當(dāng)一個(gè)函數(shù)用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項(xiàng)可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說(shuō)明。

??? 1．兩個(gè)小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去一個(gè)變量。

??? 例如，圖2.8給出了2、3、4變量卡諾圖上兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。


圖2．8 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況
??? 2．四個(gè)小方格組成一個(gè)大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時(shí)，所的表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去兩個(gè)變量。

??? 例如，圖2.9給出了3、4變量卡諾圖上四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。

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圖2．9 四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況
??? 3．八個(gè)小方格組成一個(gè)大方格、或組成相鄰的兩行（列）、或處于兩個(gè)邊行（列）時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去三個(gè)變量。

??? 例如，圖2．10給出了3、4變量卡諾圖上八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。


圖2．10 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況
??? 至此，以3、4變量卡諾圖為例，討論了2，4，8個(gè)最小項(xiàng)的合并方法。依此類推，不難得出n個(gè)變量卡諾圖中最小項(xiàng)的合并規(guī)律。

??? 歸納起來(lái)，n個(gè)變量卡諾圖中最小項(xiàng)的合并規(guī)律如下：

??? （1）卡諾圈中小方格的個(gè)數(shù)必須為2m個(gè)，m為小于或等于n的整數(shù)。
??? （2）卡諾圈中的2m個(gè)小方格有一定的排列規(guī)律，具體地說(shuō)，它們含有m個(gè)不同變量，(n-m)個(gè)相同變量。
??? （3）卡諾圈中的2m個(gè)小方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)可用(n-m)個(gè)變量的“與”項(xiàng)表示，該“與”項(xiàng)由這些最小項(xiàng)中的相同變量構(gòu)成。
??? （4）當(dāng)m=n時(shí)，卡諾圈包圍了整個(gè)卡諾圖，可用1表示，即n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)之和為1。


??? 五、卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

??? 1．幾個(gè)定義

??? 蘊(yùn)涵項(xiàng)：在函數(shù)的“與-或”表達(dá)式中,每個(gè)“與”項(xiàng)被稱為該函數(shù)的蘊(yùn)涵項(xiàng)(Implicant)。
??? 顯然，在函數(shù)卡諾圖中，任何一個(gè)1方格所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)或者卡諾圈中的2m個(gè)1方格所對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)都是函數(shù)的蘊(yùn)涵項(xiàng)。

??? 質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：若函數(shù)的一個(gè)蘊(yùn)涵項(xiàng)不是該函數(shù)中其他蘊(yùn)涵項(xiàng)的子集，則此蘊(yùn)涵項(xiàng)稱為質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)(Prime Implicant)，簡(jiǎn)稱為質(zhì)項(xiàng)。
??? 顯然，在函數(shù)卡諾圖中，按照最小項(xiàng)合并規(guī)律，如果某個(gè)卡諾圈不可能被其他更大的卡諾圈包含，那么，該卡諾圈所對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)為質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。

??? 必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：若函數(shù)的一個(gè)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)包含有不被函數(shù)的其他任何質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)所包含的最小項(xiàng)，則此質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)被稱為必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)(Essential Prime Implicant)，簡(jiǎn)稱為必要質(zhì)項(xiàng)。
??? 在函數(shù)卡諾圖中，若某個(gè)卡諾圈包含了不可能被任何其他卡諾圈包含的1方格，那么，該卡諾圈所對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)為必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。

??? 2．求函數(shù)最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式

??? （1）一般步驟：

??? 第一步：作出函數(shù)的卡諾圖。

?? 第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。按照卡諾圖上最小項(xiàng)的合并規(guī)律，對(duì)函數(shù)F卡諾圖中的1方格畫卡諾圈。為了圈出全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，畫卡諾圈時(shí)在滿足合并規(guī)律的前題下應(yīng)盡可能大，若卡諾圈不可能被更大的卡諾圈包圍，則對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)為質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。

??? 第三步：從全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中找出所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。在卡諾圖上只被一個(gè)卡諾圈包圍的最小項(xiàng)被稱為必要最小項(xiàng)，包含必要最小項(xiàng)的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)即必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。為了保證所得結(jié)果無(wú)一遺漏地覆蓋函數(shù)的所有最小項(xiàng)，函數(shù)表達(dá)式中必須包含所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。

??? 第四步：求出函數(shù)的最簡(jiǎn)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)集。若函數(shù)的所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)尚不能覆蓋卡諾圖上的所有1方格，則從剩余質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中找出最簡(jiǎn)的所需質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，使它和必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。

??? （3）舉例

??? 例1 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)=∑m(0,3,5,6,7,10,11,13,15) 。

??? 解 根據(jù)卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟，該題化簡(jiǎn)過(guò)程如下：

圖2.11
??? 該題中，5個(gè)必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)已將函數(shù)的全部最小項(xiàng)覆蓋，故將各卡諾圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)相或即可得到函數(shù)F的最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式為
??????? F(A,B,C,D)=A·B·C·D+ABC+ABC+BD+CD

??? 例2 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)=∑m(2,3,6,7,8,10,12) 。

??? 解 根據(jù)卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟，該題化簡(jiǎn)過(guò)程如下：
圖2．12
??? 由圖可知，該函數(shù)包含兩個(gè)必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，即AC和AC·D。在選取必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)之后，尚有最小項(xiàng)m10未被覆蓋。為了覆蓋最小項(xiàng)m10，可選質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)BCD或者AB·D，由于這兩個(gè)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)均由3個(gè)變量組成，故可任選其中之一作為所需質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，即F的最簡(jiǎn)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)集可為

{AC，AC·D，BCD} 或者 {AC，AC·D，AB·D}
??? 因而，可求得函數(shù)F的最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式為
F(A,B,C,D)=AC+AC·D+BCD 或者 F(A,B,C,D)=AC+AC·D+AB·D
??? 這里，函數(shù)F的最簡(jiǎn)“與-或”式有兩個(gè)，其復(fù)雜程度相同。由此可見，一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式不一定是唯一的！

??? 歸納起來(lái)，卡諾圖化簡(jiǎn)的原則是：

???? ☆ 在覆蓋函數(shù)中的所有最小項(xiàng)的前提下，卡諾圈的個(gè)數(shù)達(dá)到最少。
???? ☆ 在滿足合并規(guī)律的前題下卡諾圈應(yīng)盡可能大。
???? ☆ 根據(jù)合并的需要，每個(gè)最小項(xiàng)可以被多個(gè)卡諾圈包圍。
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??? 3.求函數(shù)的最簡(jiǎn)“或-與”表達(dá)式

??? 當(dāng)需要求一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)“或-與”表達(dá)式時(shí)，可采用“兩次取反法”。

?? 具體如下：
??? ☆ 先求出函數(shù)F的反函數(shù)F的最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)（合并卡諾圖上的0方格）；
??? ☆ 然后對(duì)F的最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式取反，從而得到函數(shù)F的最簡(jiǎn)“或-與”表達(dá)式。

??? 例如， 用卡諾圖求邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)=∑m(3,4,6,7,11,12,13,14,15)的最簡(jiǎn)“或-與”表達(dá)式。

??? 解 首先畫出函數(shù)F的卡諾圖如圖2．13所示。

圖2．13
??? 圖中，F(xiàn)的0方格即反函數(shù)F的1方格，它們代表F的各個(gè)最小項(xiàng)，將全部0方格合并就可得到反函數(shù)F的最簡(jiǎn)“與-或”表達(dá)式
F(A,B,C,D)=AB+CD+BD
??? 再對(duì)上述函數(shù)式兩邊取反，即可求得函數(shù)的最簡(jiǎn)“或-與”表達(dá)式

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??? 卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)具有方便、直觀、容易掌握等優(yōu)點(diǎn)。但依然帶有試湊性。尤其當(dāng)變量個(gè)數(shù)大于6時(shí)，畫圖以及對(duì)圖形的識(shí)別都變得相當(dāng)復(fù)雜。