從傅里葉變換到小波變換，并不是一個(gè)完全抽象的東西，完全可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時(shí)所面對(duì)的問(wèn)題看起，可以整理出非常清晰的思路。 下面我就按照傅里葉-->短時(shí)傅里葉變換-->小波變換的順序，講一下為什么會(huì)出現(xiàn)小波這個(gè)東西、小波究竟是怎樣的思路。（反正題主要求的是通俗形象，沒(méi)說(shuō)簡(jiǎn)短，希望不會(huì)太長(zhǎng)不看。。） 一、傅里葉變換 關(guān)于傅里葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認(rèn)大家現(xiàn)在正處在理解了傅里葉但還沒(méi)理解小波的道路上。（在第三節(jié)小波變換的地方我會(huì)再形象地講一下傅里葉變換） 下面我們主要將傅里葉變換的不足。即我們知道傅里葉變化可以分析信號(hào)的頻譜，那么為什么還要提出小波變換？答案就是“對(duì)非平穩(wěn)過(guò)程，傅里葉變換有局限性”。看如下一個(gè)簡(jiǎn)單的信號(hào)： 做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號(hào)包含四個(gè)頻率成分。 一切沒(méi)有問(wèn)題。但是，如果是非平穩(wěn)信號(hào)呢？ 如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號(hào)。而下邊兩個(gè)則是頻率隨著時(shí)間改變的非平穩(wěn)信號(hào)，它們同樣包含和最上信號(hào)相同頻率的四個(gè)成分。 做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號(hào)，頻譜卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，我們從頻域上無(wú)法區(qū)分它們，因?yàn)樗鼈儼乃膫€(gè)頻率的信號(hào)的成分確實(shí)是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。 可見(jiàn)，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號(hào)有天生缺陷。它只能獲取一段信號(hào)總體上包含哪些頻率的成分，但是對(duì)各成分出現(xiàn)的時(shí)刻并無(wú)所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號(hào)，可能頻譜圖一樣。 然而平穩(wěn)信號(hào)大多是人為制造出來(lái)的，自然界的大量信號(hào)幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)分析等領(lǐng)域的papers中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。 上圖所示的是一個(gè)正常人的事件相關(guān)電位。對(duì)于這樣的非平穩(wěn)信號(hào)，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個(gè)成分出現(xiàn)的時(shí)間。知道信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的情況，各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)頻率及其幅值——這也就是時(shí)頻分析。 二、短時(shí)傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT） 一個(gè)簡(jiǎn)單可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁園同學(xué)的描述了，“把整個(gè)時(shí)域過(guò)程分解成無(wú)數(shù)個(gè)等長(zhǎng)的小過(guò)程，每個(gè)小過(guò)程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了。”這就是短時(shí)傅里葉變換。 看圖： 時(shí)域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時(shí)間的變化情況了嗎！ 用這樣的方法，可以得到一個(gè)信號(hào)的時(shí)頻圖了： ——此圖像來(lái)源于“THE WAVELET TUTORIAL” 圖上既能看到300Hz, 200 Hz, 100 Hz, 50 Hz四個(gè)頻域成分，還能看到出現(xiàn)的時(shí)間。兩排峰是對(duì)稱的，所以大家只用看一排就行了。 是不是棒棒的？時(shí)頻分析結(jié)果到手。但是STFT依然有缺陷。 使用STFT存在一個(gè)問(wèn)題，我們應(yīng)該用多寬的窗函數(shù)？ 窗太寬太窄都有問(wèn)題：