當(dāng) =0時(shí)，點(diǎn) 正好落在直線上；

當(dāng) >0時(shí)，點(diǎn) 落在直線的上方；

當(dāng) <0時(shí)，點(diǎn) 落在直線的下方。

從圖2—1看出，對(duì)于起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為A（ ）的第Ⅰ象限直線OA來說，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方（即 >0）時(shí)，應(yīng)該向+x方向發(fā)一個(gè)脈沖，使機(jī)床刀具向+x方向前進(jìn)一步，以接近該直線；當(dāng)點(diǎn)P在直線下方（即 <0）時(shí)，應(yīng)該向+y方向發(fā)一個(gè)脈沖，使機(jī)床刀具向+y方向前進(jìn)一步，趨向該直線；當(dāng)點(diǎn)P正好在直線上（即 =0）時(shí)，既可向+x方向發(fā)一脈沖，也可向+y方向發(fā)一脈沖。因此通常將 >0和 =0歸于一類，即 ≥0。這樣從坐標(biāo)原點(diǎn)開始，走一步，算一次，判別 ，再趨向直線，逐點(diǎn)接近直線 ，步步前進(jìn)。當(dāng)兩個(gè)方向所走的步數(shù)和終點(diǎn)坐標(biāo)A（ ）值相等時(shí)，發(fā)出終點(diǎn)到達(dá)信號(hào)，停止插補(bǔ)。

對(duì)于圖2—1的加工直線OA，我們運(yùn)用上述法則，根據(jù)偏差判別函數(shù)值，就可以獲得如圖中折線段那樣的近似直線。

但是按照上述法則進(jìn)行 的運(yùn)算時(shí)，要作乘法和減法運(yùn)算，這對(duì)于計(jì)算過程以及具體電路實(shí)現(xiàn)起來都不很方便。對(duì)于計(jì)算機(jī)而言，這樣會(huì)影響速度；對(duì)于專用控制機(jī)而言，會(huì)增加硬件設(shè)備。因此應(yīng)簡化運(yùn)算，通常采用的是迭代法，或稱遞推法，即每走一步后新加工點(diǎn)的加工偏差值用前一點(diǎn)的加工偏差遞推出來。下面推導(dǎo)該遞推式：

已經(jīng)知道，加工點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）時(shí)的偏差為：

若 ≥0時(shí)，則向x軸發(fā)出一進(jìn)給脈沖，刀具從這點(diǎn)即（ ）點(diǎn)向x方向前進(jìn)一步，到達(dá)新加工點(diǎn)P（ ）， ，因此新加工點(diǎn)P（ ）的偏差值為

即:??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (2-1)

如果某一時(shí)刻，加工點(diǎn)P（ ）的 <0，則向y軸發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，刀具從這一點(diǎn)向y方向前進(jìn)一步，新加工點(diǎn)P（ ）的偏差值為

? 即:??

????????????????????????????????????????????????????? (2-2)

? 根據(jù)式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工點(diǎn)的偏差完全可以用前一加工點(diǎn)的偏差遞推出來。

綜上所述，逐點(diǎn)比較法的直線插補(bǔ)過程為每走一步要進(jìn)行以下4個(gè)節(jié)拍（步驟），即判別、進(jìn)給、運(yùn)算、比較。

（1） 判別。根據(jù)偏差值確定刀具位置是在直線的上方（或線上），還是在直線的下方。

（2） 進(jìn)給。根據(jù)判別的結(jié)果，決定控制哪個(gè)坐標(biāo)（x或y）移動(dòng)一步。

（3） 運(yùn)算。計(jì)算出刀具移動(dòng)后的新偏差，提供給下一步作判別依據(jù)。根據(jù)式（2—1）及式（2—2）來計(jì)算新加工點(diǎn)的偏差，使運(yùn)算大大簡化。但是每一新加工點(diǎn)的偏差是由前一點(diǎn)偏差 推算出來的，并且一直遞推下去，這樣就要知道開始加工時(shí)那一點(diǎn)的偏差是多少。當(dāng)開始加工時(shí)，我們是以人工方式將刀具移到加工起點(diǎn)，即所謂“對(duì)刀”，這一點(diǎn)當(dāng)然沒有偏差，所以開始加工點(diǎn)的 =0。

（4） 比較。在計(jì)算偏差的同時(shí)，還要進(jìn)行一次終點(diǎn)比較，以確定是否到達(dá)了終點(diǎn)。若已經(jīng)到達(dá)，就不再進(jìn)行運(yùn)算，并發(fā)出停機(jī)或轉(zhuǎn)換新程序段的信號(hào)。

下面以實(shí)例來驗(yàn)證圖2—1。設(shè)欲加工直線OA，其終點(diǎn)坐標(biāo)為 =5*, =3*，則終點(diǎn)判別值可取為 （終點(diǎn)判別方法詳見下述）。開始時(shí)偏差 ，加工過程的運(yùn)算節(jié)拍如表2—1所示。

圖2-2? 逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)過程

表2-1?? 逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)運(yùn)算舉例

二、 逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)
加工一個(gè)圓弧，很容易聯(lián)想到把加工點(diǎn)到圓心的距離和該圓的名義半徑相比較來反映加工偏差。這里，我們以第Ⅰ象限逆圓弧為例導(dǎo)出其偏差計(jì)算公式。設(shè)要加工圖2—3所示第Ⅰ象限逆時(shí)針走向的圓弧，半徑為R，以原點(diǎn)為圓心，起點(diǎn)坐標(biāo)為A( )，對(duì)于圓弧上任一加工點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為P( )，P點(diǎn)與圓心的距離 的平方為 ，現(xiàn)在討論這一加工點(diǎn)的加工偏差。

圖2-3? 圓弧插補(bǔ)過程

點(diǎn)擊進(jìn)入動(dòng)畫觀看逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)???????????????????????????????????????????????????

若點(diǎn)P( )正好落在圓弧上，則下式成立：

若加工點(diǎn)P( )在圓弧外側(cè)，則 >R，即：

若加工點(diǎn)P( )在圓弧內(nèi)側(cè)，則