文章來源：SPICE 模型

原文作者：若明

本文介紹了MOSFET中的噪聲機理及其測試與建模方法。

在無線通信中，接收器接收到的信號非常小，以至于系統中只能容忍有限的噪聲。因此，對于電路設計人員來說，能夠以合理的精度預測MOS器件的噪聲以及了解噪聲對器件幾何和偏置條件的依賴是非常重要的。因此，精確的器件模型應該包含噪聲模型，能夠準確地預測器件的噪聲行為。這篇我們來聊一聊器件噪聲模型。

常見的器件的噪聲按照物理機制的不同分類如下圖所示，分為：散粒噪聲，閃爍(1/f)噪聲，熱噪聲，產生-復合(g-r)噪聲四大類。在一般的頻率范圍內，熱噪聲和散粒噪聲的功率譜密度與頻率無關，統稱為白噪聲。1/f噪聲和g-r噪聲的功率譜密度與頻率相關，前者與1/f成正比，后者則按1/(1+f^2/f0^2)規律變化，其中f0為轉折頻率，統稱為有色噪聲。由于這兩種噪聲在低頻情況下顯著，也成為低頻噪聲。在很高的頻率下(如大于1GHz)，熱噪聲和散粒噪聲也將隨頻率變化。當頻率接近于器件的高頻截止頻率時，噪聲隨頻率的增加而上升往往不是因為出現了新的噪聲機制，而是由于器件的增益隨頻率下降所致。噪聲問題，包括它的SPICE模型，在過去的幾十年里得到了廣泛的研究。后面我將以BSIM4中的1/f Noise Model和Thermal Noise Model來和大家做一些討論。

要研究噪聲，我們需要引入幾個概念，以方便大家理解。

相關性函數與功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）

統計平均量

稱為隨機變量 x 的自相關函數。它是 t 時刻的隨機量數值在此時刻后能夠持續多長時間的度量，反映了隨機量在不同時刻數值之間的相關性。

設x(t)為一個平穩隨機變量，則x(t)的功率譜密度定義為:

式中，f 為頻率；an 為x(t)在時間區間 0≤t≤T 內的傅里葉展開系數，an*表示an的復數共軛值。

根據維納—辛欽(Wiener—Khintchine)定理，隨機變量x(t)的自相關函數Rx(t)與功率譜密度Sx(f)之間滿足下列關系:

也就是說，Sx(f)是2Rx(t)的傅里葉變換，Rx(t)是Sx(f)/2的傅里葉逆變換。 根據Rx(t)的定義，令上式中的τ =0，得：

可見，Sx(f)的物理意義是在頻率 f 附近單位頻寬內起伏量 x 的均方值。Sx(f)隨頻率 f 變化的曲線就是通常所說的噪聲頻譜。它表示x(t)在頻率域的統計量，表示了隨機信號的各個頻率分量所包含的強度。

二端口網絡的噪聲理論和參數表示

在更一般的表述中，MOSFET晶體管可以用如下圖所示的產生噪聲的二端口有源網絡來描述。在該圖中，網絡的輸入輸出導納Yi和Yo均為復數。例如，Yi = Gi +jBi，Gi為電導，Bi為電納。

任何二端口噪聲網絡均可以用一個相應的無噪二端口網絡與兩個外加的噪聲源構成的等效電路來表示。根據噪聲源的不同組合，這種等效電路有六種不同的表征方法，但是在實際應用中，如下所示，(a)導納表征、(b)阻抗表征和(c)ABCD參數表征是最為常用的。

每種表征方式中的噪聲特性均可以采用相關矩陣C來表示，矩陣中的每個元素，即功率譜Cs1s2*代表的是噪聲源s1和s2之間的自相關和互相關函數的傅立葉變換，其定義如下：

上式中，左邊是噪聲功率譜密度，右邊是噪聲相關矩陣。上述三種不同表征的噪聲等效網絡表示如下，且它們之間是可以相互轉化的。

導納表征

這種表征方式通常在兩個二端口噪聲網絡并行連接的情況下使用，設兩個并聯網絡為Y1和Y2，則具體表示如下：

式中，Cimin表示的是輸入端、輸出到噪聲電流的自噪聲功率譜密度和互噪聲功率譜密度；R[Y]代表的是無源網絡的參數實部。

阻抗表征

這種表征方式通常在兩個二端口噪聲網絡串行連接的情況下使用，設兩個并聯網絡為Z1和Z2，則具體表示如下：

ABCD參數表征

這種表征方式通常在兩個二端口噪聲網絡級聯的情況下使用，設兩個并聯網絡為A1和A2，則具體表示如下：

式中，A1*表示的是A1矩陣的轉置共軛矩陣，相關矩陣中的每一個元素均可以從所測試的噪聲數據中得到(Rn, Fmin, Yopt)，這種表征方法在實際電路噪聲分析中最為常用。

三種不同表征方法之間是可以相互轉換的，具體如下表所示：

噪聲的四個參數表示

一個系統的噪聲系數大小不僅僅取決于系統內部產生的噪聲,還與驅動該系統的源導納或源反射系數有關，如下圖所示是系統噪聲系數與源反射系數之間典型的拋物線關系，圖中x軸、y軸分別是源反射系數的實部和虛部，z軸是系統在一定源反射系數下的噪聲系數。它們之間的這一關系可以采用經典的四個噪聲參數Fmin, Rn, Gopt, Bopt表示:

噪聲因子（F）：是最常用的噪聲參數，它描述了二端口網絡對輸入噪聲的放大或衰減程度。噪聲因子是網絡輸出端信噪比與輸入端信噪比的比值，即F=SNRout/SNRin。

最小噪聲因子（Fmin）：二端口網絡能達到的最小噪聲因子。

噪聲系數（NF）：與噪聲因子類似，也是描述二端口網絡噪聲性能的參數，通常以分貝（dB）為單位表示，NF=NFmin+matched network factor。

噪聲溫度（T）：與噪聲因子類似，也是描述二端口網絡噪聲性能的一個參數。它將網絡的噪聲水平與一個假想的絕對溫度相聯系，定義為在相同帶寬下，等效噪聲功率與絕對溫度的比值，即Tnoise=Pnoise/kΔf。

等效噪聲電阻（Rn）：表征二端口網絡噪聲源的一種方式，它假設網絡的噪聲由輸入端的一個等效電阻產生，計算公式為Rn=Pnoise/kTB。

最佳源反射系數（Γopt）：當信號源的反射系數為此值時，二端口網絡達到最小噪聲因子。

閃爍(1/f)噪聲

閃爍噪聲通常又被稱為低頻噪聲或 1/f 噪聲。凡是功率譜密度與頻率成反比的隨機漲落現象均可稱為 1/f 噪聲。在電子器件中 1/f 噪聲的電壓功率譜密度可以寫成如下的形式：

其中，I 為通過器件的電流，f 為頻率，參數 A 由器件結構等特性決定，r 可取 0.8～1.2，對于均勻材料，β=2.0。

1/f噪聲則與器件中的電流或外加電壓有關，一旦電流或電壓消失，這些噪聲也就不復存在。

閃爍(1/f)測量：

雖然通過對直流數據進行傅里葉變換，隨著時間的推移進行采樣，任何直流測量系統都可以對噪聲進行表征。如下圖是一個BJT直流采樣后通過FFT變換，可以得到Noise的特性。但是這種方法受諸多因素限制，如，DC偏置的影響，采樣的限制，系統噪聲，連線的影響，環境的影響。測得的噪聲數據波動大，數據處理麻煩，難以復現。

因此業界提出了一些集成方案和設備。

1/f噪聲模型：

對 1/f 噪聲的研究有兩種物理模型，一是表面載流子漲落模型，二是遷移率漲落模型。

McWhorter 模型認為閃爍噪聲來自于靠近 Si-SiO2界面的氧化物陷阱對載流子的俘獲和釋放

Hooge 模型認為閃爍噪聲來自于載流子-聲子散射引起的遷移率波動。

在BSIM4模型中提供了兩種1/f噪聲模型，它們可以通過指定BSIM4噪聲模型flag參數FNOIMOD進行選擇。 FNOIMOD=0

當FOIMOD設為0時，調用SPICE2g6 ，SPICE3和BSIM3v3中的一個簡單的、經驗的閃爍噪聲模型。該模型便于手工計算。該模型計算出以方安培每赫茲為單位測量的1/f噪聲功率譜密度為：

式中：KF為1/f噪聲系數，默認值為0.0；AF為溝道電流的指數，EF為頻率指數，無量綱化后的AF和EF默認值均設為1.0。所有這些參數都是通過擬合實測閃變噪聲數據提取的；Coxe是電柵介質的單位面積電容。

FNOIMOD=1

當FNOIMOD設置為1 (默認選項)時，將采用基于物理的、統一的閃爍噪聲模型(將電荷數波動和遷移率波動結合成更一般的理論)。該模型的噪聲功率譜密度為：

強反型區：

亞閾值區：

1/f模型提取

低頻噪聲參數提取，可以在MBP或者ICCAP中實現。如果要在ICCAP中實現，需要在Test Circuit中定義Noise Circuit。具體會根據調用的仿真器不同有所差異。

ICCAP調用ADS建模

ICCAP調用SPICE，HSPICE建模

ICCAP中繪制不同尺寸，偏置下的plots進行參數優化擬合。盡量關注log-log坐標軸下線性部分。注意仿真與測試單位要統一。

熱噪聲

由于閃爍噪聲會隨頻率的增加而衰減，因此在微波頻率下它變得微不足道。當器件的工作頻率高于轉角頻率（corner frequency，在轉角頻率處溝道熱噪聲與閃爍噪聲大小相等）時，產生于 MOSFET 器件溝道的熱噪聲成為器件的一個主要的噪聲源，熱噪聲也被稱為溝道熱噪聲。熱噪聲起源于晶體中載流子的隨機熱運動，廣泛存在于各種電阻性元器件之中。熱噪聲的電壓和電流的功率譜密度分別為：

由此可以看出，熱噪聲的大小只與電阻和溫度有關。

噪聲參數測量：

從噪聲參數的表達式可以看出，其噪聲參數是一個與源阻抗相關的一個函數，其中又包括，最小噪聲系數，等效電阻和最優源阻抗的幅度和相位，總共4個系數，為四元一次方程，因此，理論上需要4個源阻抗即可解出這個函數。但是，實際上4個源阻抗是遠遠不夠的。因為有可能在某些源阻抗下無解。

Focus微波噪聲參數測量系統為提取待測器件( DUT )的準確噪聲參數提供了解決方案：最小噪聲系數、等效噪聲電阻和最佳噪聲反射因子( Gamma和Phase)。如下圖所示，該噪聲測量系統利用Keysight的PNA-X，主要包括3個部分：輸入噪聲模塊( INM )、輸出噪聲模塊( ONM )和噪聲模塊控制器( NMC )。這些模塊的設計在提高噪聲接收器精度和靈敏度的同時，也簡化了系統標定和DUT測量過程，被業界廣泛使用。具體測試方法請參考其手冊。

溝道熱噪聲模型

在MOSFET熱模型中，熱模型的研究有很多，但都有一個共同點就是將溝道當作一個獨立的電阻處理，盡管它不是歐姆的。在BSIM4模型中提供了兩種熱噪聲模型，它們可以通過指定BSIM4噪聲模型flag參數TNOIMOD進行選擇。

TNOIMOD = 0

這是BSIM4默認的溝道熱噪聲模型，它是基于電荷的模型。背后的原理其實很簡單，溝道電阻就是將溝道的反型層電荷從源端積分到漏端。

溝道電流：

溝道電阻的微分形式：

積分后可得到：

考慮到串聯的LDD電阻后，溝道熱噪聲功率譜密度為：

式中，NTNOI引入是為了模型的靈活性和精度，默認值為1；只有當RDSMOD=0時，LDD電阻的噪聲在上式中考慮，RDSMOD=1時，熱噪聲被單獨的Rd, Rs電阻考慮，Sr(f) = 4kTemp.R。

這一模型適用于工作在線性區的長溝道器件。其次，現在將溝道電阻處理為常規電阻。

TNOIMOD = 1

在GHz范圍內，MOSFET溝道必須考慮為一系列沿溝道平行于y軸的分布RC段，如下圖所示。分布柵電容表示電容耦合。每個電阻段Rch,y產生一個熱噪聲電壓?vdy，可被該段( gdy , gmy和gmby)特有的漏極電導和柵體跨導調制，從而在漏極處產生一個噪聲電流?idy。該溝道噪聲電流的很大一部分可以在GHz頻率下流入柵極和外電路，產生柵極噪聲電流ig，從而產生柵極噪聲電壓vg。這種柵極噪聲被稱為誘導柵極噪聲。

BSIM4中采用了噪聲分割的方法，將總量拆分為如下圖所示的兩部分：一部分認為在溝道外部，而另一部分仍然在溝道內部。噪聲分割的目的是通過溝道和柵極之間的分布式RC網絡來建模誘導的柵極噪聲電流。

漏極總的噪聲電流功率為：

式中，β稱為有效跨導放大系數。

柵極噪聲電流功率為：

式中，θ為噪聲分割系數。

噪聲源分割到源側引起的漏極噪聲電流功率為：

本征溝道區漏極噪聲電流功率為：

β和θ的表達式為：

熱噪聲參數提取：

ADS原理圖驗證： 從下圖可以看到，NFmin的仿真環境比較簡單，主要包含有兩個端口的Term(分別為50ohm)，以及G和D兩端的bias，外圍PAD的等效部分(這部分會影響最終的NFmin的仿真結果，model release之后的結果是不帶有pad這部分的)，以及S參數的仿真條件設置(主要就是起始頻率，終止頻率，步長，還有注意要勾選Calculate noise)。