1蒙特卡羅賭場

蒙特卡羅（Monte Carlo）是摩納哥公國（Principality of Monaco）的一座城市。摩納哥公國坐落在法國的東南方，總面積為2.02平方公里，是世界上第二小的國家，也是一個從地圖上看容易被忽略的國家。

摩納哥的位置非常小，不仔細看都發現不了

傍晚時分，靜謐的蒙特卡羅賭場

重新豪裝后的蒙特卡羅賭場吸引來了無數賭客，成為當時有名的不夜城。

在蒙特卡羅賭場中，輪盤（Roulette）一直是最受歡迎的項目，因為賭客一直覺得這種賭法有較大的獲勝機會。原來輪盤上有37個格子，其中有18紅格，18個黑格，1個綠格。賭客隨意押注紅格或者黑格。理論上說，出現紅色的概率和黑格的概率是一樣的，一旦出現黑色的次數超過了5次，那都是一個非常小概率的事件，而在這種情況下很多賭徒會賭紅色，即執行這類反方向的策略。

輪盤賭具

1913年的8月13日，賭客還是像往常一樣賭輪盤，其中有不少人拿著紙和筆不停記錄每次輪盤轉下來的結果。但就在當天，輪盤上的小球連續26次落在了黑格上。而這樣事件發生的概率僅為0.00000149%（比中雙色球一等獎的概率還小），這種情況可以說幾乎不可能出現，但確確實實是出現了。賭徒因此損失了大量的財富，因為他們錯誤地認為，先前結果的不平衡性一定導致后面出現相反的結果。

這或許就是人類思維和數據思維差異。實際上，每一次輪盤的轉動都是獨立事件，前面一次小球停留的位置，和下一次小球停留的位置不會有任何關聯。無論小球停在紅色或者黑色的位置，都是隨機的，并不會受到之前結果的影響。

當然，從更宏觀的角度來說，無論賭局規則怎么變化，賭場必定要賺錢的。賭場精心設計各種規則的賭局，讓人們樂在其中的同時，賭場收取少許手續費。正是這種少許的手續費，讓賭場經營者得以生存和擴大，而賭客之間則進行負和博弈，從長期來看，賭客是虧損的。

2蒙特卡羅方法誕生

時間來到1946年，也是蒙特卡羅大賭場誕生的90周年。

烏拉姆急沖沖地把這個方法告訴給他的同事，著名數學家馮·諾依曼（John von Neumann），馮諾依曼確定這個方法是一個重大突破，并且很快在ENIAC（ENIAC是世界上最早期的計算機）電腦上完成了編程。

ENIAC，世界上最早期的電腦，可以占據一個超大房間

為了保密起見，需要給這個程序起一個名字。烏拉姆和馮諾依曼的同事，著名物理學家尼古拉斯·梅特羅波利斯（Nicholas Metropolis）提議名字取為Monte Carlo，以紀念蒙特卡羅大賭場，原因是烏拉姆的叔叔不了解概率，經常在那里輸錢。

但這個蒙特卡羅方法（Monte Carlo Method）需要大量的隨機數，而真實的隨機數并沒有那么多，怎么辦呢？當然在數學家們面前這不可能成為一個障礙，馮諾依曼順手解決了這個問題，進一步發展了隨機數生成器技術（Pseudorandom number generator, PRNG）。

隨后，蒙特卡羅方法被大量地用于曼哈頓計劃（Manhattan Project）中的各項計算和模擬，解決了大量以往確定性方法不能解決的計算問題。20世紀50年代，在LANL實驗室中被用于氫彈的研發，再往后開始在各個領域被大規模地運用，帶來了一場新的思想革命。人們發現，除了傳統確定性方法以外，原來還有一種有效的計算方法，叫蒙特卡羅方法。

曼哈頓計劃集中了大量優秀的科學家，利用核裂變反應來研制原子彈，最后取得圓滿成功

3蒙特卡羅算法是怎么回事

事實上，蒙特卡羅方法非常簡潔。我們用一個例子來說明，如何用蒙特卡羅方法近似得到圓周率？

我們先設置一個1×1的空間，在這個空間中以點(0,0)為圓心，畫一個半徑為1的圓，在1×1空間中留下四分之一圓。

從理論上分析，在1×1的空間的空間中，有這樣的關系：

只要得到四分之一圓的面積與正方形的面積之比，所以可以知道圓周率是多少。

從蒙特卡羅方法的角度看，在1×1這個區間上可均勻地投放大量的點。這些點投到四分之一圓內的概率，近似等于投到四分之一圓內點的比例，即：

所以，我們可以通過計算點個數的方式，來近似得到圓周率的數值。

把大量的點投在1×1的空間中，計算落在圓弧內的數量，以估算圓周率π

這種數點的方式雖然簡單，但看起來不是那么靠譜，能否證明蒙特卡羅方法的有效性呢？

實際上已經證明，隨著模擬次數N的增加，蒙特卡羅所得到的近似值與目標值的誤差將以N-0.5的速度降低，結果將越來越精確（可用方差的定義展開進行證明）。

誤差隨著模擬次數的增加而不斷下降，速率為N-0.5

4蒙特卡羅算法的案例

隨著蒙特卡羅方法的成熟及更廣泛的使用，便出現了很多基于蒙特卡羅方法的新算法，用一個時髦的名詞就是：蒙特卡羅“硬分叉”了。

蒙特卡羅積分（Monte Carlo intergration）

在低維的情況下，用確定性的方法來計算積分效果非常好。但到高維的時候，一方面計算難度呈指數級增加，產生維數災難（curse of dimensionality），另一方面在多維的情況下，邊界的確定非常困難，100維以上基本不可能用確定性方法來計算。

蒙特卡羅方法跳出了維數災難的想法，提供了一個新的思路：在高維空間中產生大量的點，采用類似近似計算圓周率的方法，計算高維積分。使用蒙特卡羅方法，誤差將以N-0.5的速度降低，不管維數是多少，只要提升4倍數量的點，誤差將降低一半。因此蒙特卡羅方法非常適合運用在高維的積分計算當中。

如何計算小沙堆體積？用蒙特卡羅積分法即可

一個可愛的機器人，它會識別眼前的環境

在這個一維空間上，機器人通過前期的探索，已經知道這個空間一共有3個外觀都是一樣的門，并記錄了門口的樣子。

問題來了，機器人怎么確定自己在哪里呢？

Step 1：機器人在這個一維空間上隨機生成大量的粒子，每一個粒子分別代表一種位置的可能性（稍后將闡述實際含義）。

Step 2：機器人通過攝像頭發現自己站在一個門口前面。由于機器人已經知道室內地圖，知道門口具體在哪幾個位置，因此機器人重新分配所有粒子的權重，將室內地圖門口所在位置范圍的粒子權重相應提升上來。

Step 3：機器人根據權重分布，重新生成新的粒子。權重越大的地方獲得的粒子越多。

假設機器人繼續往前移動一小段距離：

Step 4：機器人到了一個沒有門口的地方，同時所有的粒子跟隨著機器人移動。

Step 5：機器人發現眼前沒有東西。由于機器人已經知道室內地圖，知道門口具體在哪幾個位置，因此機器人重新分配所有粒子的權重，將室內地圖門口所在位置范圍的粒子權重相應降低下來。

AlphaGo當中的MCTS

元啟發式算法（Metaheuristic）

自從蒙特卡羅方法誕生后，元啟發式算法的發展才正式開始。比如模擬退火算法（Simulated Annealing）、遺傳算法（Genetic Algorithm）、螞蟻算法（Ant Colony Optimization）等等，這些帶有隨機性的算法都是解決組合優化問題的好方法。

2006年NASA在ST5航天器上搭載了一個特別的天線，其形狀由進化算法設計而成

在過去漫長的歲月當中，人們都認為必須要經過嚴謹的推理和計算，才能得到最后正確的答案。直到最近的數十年，隨著計算機的誕生，還有烏拉姆、馮諾依曼以及眾多理解蒙特卡羅方法的科學家的努力下，隨機性的運用才逐漸走進我們的視野。人們意想不到地發現隨機性是一個如此重要的思維，隨機性并非如想象中那樣是一個不好的事物，合理地利用隨機性，能夠幫助我們探索前所未有的世界。

蒙特卡羅方法的發明，是人類思維史上的一個重大突破。一個隨機性的構想，打破了過去的思考空白區，開啟了人類新的思維空間。