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神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播算法的推導(dǎo)過程

科技綠洲 ? 來源:網(wǎng)絡(luò)整理 ? 作者:網(wǎng)絡(luò)整理 ? 2024-07-03 11:13 ? 次閱讀

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播算法(Backpropagation Algorithm)是一種用于訓(xùn)練多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法。它通過最小化損失函數(shù)來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏置,從而提高網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測性能。本文將介紹反向傳播算法的推導(dǎo)過程,包括前向傳播、損失函數(shù)、梯度計算和權(quán)重更新等步驟。

  1. 前向傳播

前向傳播是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中信息從輸入層到輸出層的傳遞過程。在多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,每個神經(jīng)元都與前一層的所有神經(jīng)元相連,并通過激活函數(shù)進行非線性變換。假設(shè)我們有一個包含L層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),其中第l層有n_l個神經(jīng)元。對于第l層的第i個神經(jīng)元,其輸入為x_l^i,輸出為a_l^i,權(quán)重為w_l^i,偏置為b_l^i。則有:

a_l^i = f(z_l^i) = f(∑(w_l^j * a_{l-1}^j) + b_l^i)

其中,z_l^i是第l層第i個神經(jīng)元的輸入加權(quán)和,f(·)是激活函數(shù),如Sigmoid、Tanh或ReLU等。

  1. 損失函數(shù)

損失函數(shù)用于衡量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與實際值之間的差異。常見的損失函數(shù)有均方誤差(MSE)、交叉熵損失(Cross-Entropy Loss)等。對于二分類問題,我們可以使用以下形式的交叉熵損失函數(shù):

L(y, a) = -[y * log(a) + (1 - y) * log(1 - a)]

其中,y是實際值(0或1),a是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值。

  1. 梯度計算

梯度計算是反向傳播算法的核心,它涉及到對損失函數(shù)關(guān)于權(quán)重和偏置的偏導(dǎo)數(shù)的計算。我們的目標是找到損失函數(shù)的最小值,因此需要計算梯度并更新權(quán)重和偏置。

首先,我們需要計算輸出層的梯度。對于第L層的第i個神經(jīng)元,其梯度可以表示為:

?L/?a_L^i = ?L/?z_L^i * ?z_L^i/?a_L^i = (a_L^i - y_i) * f'(z_L^i)

其中,y_i是第i個樣本的實際值,f'(z_L^i)是激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

接下來,我們需要計算隱藏層的梯度。對于第l層的第i個神經(jīng)元,其梯度可以表示為:

?L/?a_l^i = ∑(?L/?z_L^j * w_L^j * ?z_L^j/?a_l^i) * f'(z_l^i)

這里,我們使用了鏈式法則來計算梯度。對于權(quán)重w_l^i和偏置b_l^i,它們的梯度可以表示為:

?L/?w_l^i = ?L/?z_l^i * x_{l-1}^i
?L/?b_l^i = ?L/?z_l^i

  1. 權(quán)重更新

在計算出梯度后,我們可以使用梯度下降法或其他優(yōu)化算法來更新權(quán)重和偏置。權(quán)重更新的公式如下:

w_l^i = w_l^i - α * ?L/?w_l^i
b_l^i = b_l^i - α * ?L/?b_l^i

其中,α是學(xué)習(xí)率,一個超參數(shù),用于控制權(quán)重更新的步長。

  1. 反向傳播算法的實現(xiàn)

反向傳播算法通常包括以下步驟:

  1. 初始化網(wǎng)絡(luò)權(quán)重和偏置。
  2. 對于每個訓(xùn)練樣本,執(zhí)行前向傳播,計算輸出層的激活值。
  3. 計算損失函數(shù)值。
  4. 使用鏈式法則計算每個層的梯度。
  5. 更新權(quán)重和偏置。
  6. 重復(fù)步驟2-5,直到滿足停止條件(如達到預(yù)定的迭代次數(shù)或損失函數(shù)值低于某個閾值)。
聲明:本文內(nèi)容及配圖由入駐作者撰寫或者入駐合作網(wǎng)站授權(quán)轉(zhuǎn)載。文章觀點僅代表作者本人,不代表電子發(fā)燒友網(wǎng)立場。文章及其配圖僅供工程師學(xué)習(xí)之用,如有內(nèi)容侵權(quán)或者其他違規(guī)問題,請聯(lián)系本站處理。 舉報投訴
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