文章詳細(xì)對(duì)高斯濾波器的綜合設(shè)計(jì)進(jìn)行講解，解釋如何從時(shí)域無過沖推導(dǎo)出高斯濾波器的。并且深入探討了高斯濾波器的零極點(diǎn)分布。最后介紹基于Matlab的濾波器設(shè)計(jì)軟件，以低通、帶通濾波器為例，展示其功能，并給出Github相關(guān)鏈接。

高斯濾波器特點(diǎn)和用途

高斯濾波器(Gaussian Filter)濾波器是具有最佳時(shí)域特性的濾波器，其幅頻曲線具有高斯函數(shù)(Gaussian function)曲線分布特性，對(duì)階躍響應(yīng)無任何過沖，實(shí)際應(yīng)用中高斯逼近濾波器和貝塞爾逼近濾波器特性非常類似，隨著兩者階數(shù)增加兩者表現(xiàn)將趨于一致，高斯濾波器的能夠高保真的傳輸時(shí)域信號(hào)特點(diǎn)使得它在時(shí)域應(yīng)用中很重要，比如示波器設(shè)備，雷達(dá)設(shè)備等。當(dāng)然現(xiàn)在在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用也非常廣泛。

高斯濾波器逼近

約束

• 1,是階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性，在頻率增益為0)
• 2,(低通定義，在頻率為0的位置增益為1)
• 3,(定義低通半帶寬)
• 4, 給定一個(gè)階躍信號(hào), 無過沖
• 5, 給定一個(gè)階躍信號(hào), 有最快上升沿(按階躍信號(hào)導(dǎo)數(shù)所生成的鐘形曲線的半寬度最小定義)

傅里葉變換

首先我們需要復(fù)習(xí)下連續(xù)時(shí)間傅里葉變換：

如下左圖是一個(gè)脈沖信號(hào)，右圖是這個(gè)脈沖信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換結(jié)果。

可以看到左邊曲線和右邊曲線的胖瘦關(guān)系相反，若左邊時(shí)域脈沖信號(hào)越瘦，右邊越胖，反之左邊越胖，右邊越瘦，這個(gè)特點(diǎn)即時(shí)間-頻域的不確定性原理(類似海森堡動(dòng)量-位置的不確定性原理)，即時(shí)頻特性不能兼得(感興趣的同學(xué)可以參考時(shí)頻分析的相關(guān)書籍)。

時(shí)域階躍到頻響

從約束4可以看到一個(gè)階躍信號(hào)無過沖，這是一個(gè)時(shí)域信號(hào)，而最后我們要求解的頻域響應(yīng)，所以這里必然要用到時(shí)域-頻域轉(zhuǎn)換，即前面提到的傅里葉變換，以下是一個(gè)階躍信號(hào)如何變換為一個(gè)頻域響應(yīng)的：

首先我們要對(duì)階躍響應(yīng)進(jìn)行微分，即可得到?jīng)_擊響應(yīng)，然后運(yùn)用連續(xù)傅里葉變換(式1)將沖擊響應(yīng)轉(zhuǎn)換到頻域，即可得到頻響。

這里有一個(gè)重要的點(diǎn)是，階躍響應(yīng)的上升時(shí)間的計(jì)算，如圖中的階躍信號(hào)所展示的，表示上升時(shí)間，所對(duì)應(yīng)了沖擊響應(yīng)的脈沖寬度，這里的時(shí)域脈沖寬度選擇了脈沖的半時(shí)間寬度。而幅頻響應(yīng)的頻域?qū)挾却砹诉@個(gè)脈沖系統(tǒng)響應(yīng)的帶寬，這里的頻域脈沖寬度選擇了脈沖的半頻域?qū)挾?即-6dB截止頻率點(diǎn))。

有了上述鋪墊，我們可以求解出一個(gè)無過沖的最佳時(shí)頻濾波器了，從上面約束可以得到，當(dāng)頻域?qū)挾纫欢ㄇ闆r下，我們希望得到的階躍響應(yīng)無過沖，并且上升時(shí)間(即沖擊響應(yīng)寬度)最小的系統(tǒng)函數(shù)，那么滿足這樣的系統(tǒng)函數(shù)是什么呢？

這要求，Gabor給出了答案(有關(guān)這個(gè)問題的討論可以參考)，滿足這個(gè)時(shí)頻最佳響應(yīng)的濾波器即高斯濾波器(Gaussian Filter)，即系統(tǒng)函數(shù)是:

換句話說：在給定的帶寬下，其階躍響應(yīng)上升時(shí)間最短且無過沖的濾波器就是高斯濾波器。

注意這里的帶寬和上升時(shí)間的定義與通常定義的不同。

高斯濾波器

高斯濾波器是一類特殊的理想濾波器，其地位和矩形濾波器(Rectangular Filter, 也叫理想濾波器, Ideal Filter, 磚墻濾波器, Brick-wall Filter, sinc濾波器)相當(dāng)，是無法通過多項(xiàng)式直接擬合得到的，只能通過函數(shù)逼近的方式得到，現(xiàn)在我們總結(jié)下現(xiàn)有濾波器設(shè)計(jì)。

總共有兩類濾波器綜合如下(當(dāng)然這個(gè)圖還可以擴(kuò)展)：

高斯濾波器綜合全流程如下：

高斯濾波器逼近

高斯濾波器是理想濾波器，其原因可以用如下動(dòng)圖說明，圖中高斯濾波器曲線是紅色曲線(式2)，在對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下這樣高斯濾波器就是指數(shù)函數(shù)，而藍(lán)色曲線是有理多項(xiàng)式逼近，在對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，高頻范圍是線性的。使用一個(gè)線性函數(shù)去逼近指數(shù)函數(shù)顯然是不能完成的，所以無法使用有限階的有理多項(xiàng)式來逼近高斯函數(shù)。

我們只能使用多項(xiàng)式盡可能的去逼近高斯濾波器，這里常用的方法是泰勒展開，公式如下：

當(dāng)我們系統(tǒng)中要求頻率在時(shí)為其截止點(diǎn)時(shí)：

令得到前7階高斯濾波器系數(shù)為()：

在s平面取其左半邊極點(diǎn)得到前7階高斯濾波器系數(shù)為()：

前7階高斯數(shù)濾波器極點(diǎn)為()：

同Bessel濾波器一樣需要有高斯濾波器帶寬修正系數(shù)：

注：手機(jī)黨可橫屏查看表格

高斯濾波器零極點(diǎn)

和貝塞爾濾波器極點(diǎn)符合反斯托克斯線類似，高斯濾波器極點(diǎn)分布符合某個(gè)曲線，這個(gè)曲線公式為:

其中是實(shí)軸,是虛軸，其來源于的泰勒展開部分展開式零點(diǎn)的漸進(jìn)線——Szeg?曲線，Szeg?曲線分布（注意下圖橫坐標(biāo)為虛軸，縱坐標(biāo)為實(shí)軸）如下，其極點(diǎn)分布在一個(gè)水滴型曲線上，具體公式是(注意：這個(gè)是個(gè)近似公式，當(dāng)越大，精確度越高)：

上式也可以化為和的形式：

這個(gè)公式只能在趨于無窮大時(shí)才和實(shí)際零點(diǎn)重合，而且趨近速度很慢，這里對(duì)其進(jìn)行擬合得到一個(gè)新近似公式(若希望得到更高精度的逼近可以參考，關(guān)于指數(shù)函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)求和零點(diǎn)分布問題也是一個(gè)研究熱點(diǎn))：

效果如下動(dòng)圖所示(其中New Fit：式8的曲線；藍(lán)色曲線：Szego曲線的式6a；黑色的圓圈是Szego曲線的式6b，綠色盤面即指數(shù)泰勒展開式零點(diǎn)分布區(qū)域，紅色點(diǎn)是不同n下的實(shí)際零點(diǎn)位置)：

有了的零點(diǎn)，那么高斯函數(shù)的零點(diǎn)也就可以簡(jiǎn)單的通過來求解，即:

令且那么得到：

通過這個(gè)變換后可以將指數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換為高斯函數(shù)的零點(diǎn)：

上面的公式有所以，平方后將零點(diǎn)映射到虛軸(這里是軸)的右半部分。

按照轉(zhuǎn)換公式11，可以得到修正后的高斯函數(shù)零點(diǎn)為：

下圖是修正后的高斯函數(shù)(式12)零點(diǎn)曲線圖(注意，這里圖橫坐標(biāo)為虛軸，縱坐標(biāo)為實(shí)軸。藍(lán)色為Szego曲線式6經(jīng)過式11映射后的曲線，紅色虛線式式12表示的曲線，紅色點(diǎn)是高斯函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開部分和的零點(diǎn)分布)：

圖中出現(xiàn)了和Bessel多項(xiàng)式零點(diǎn)非常相似的圖形，是一個(gè)眼型曲線。

PS.通過平方，這個(gè)曲線變得更加對(duì)稱了，而且對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)。

下面是四種不同濾波器極點(diǎn)的對(duì)比(以上討論是零點(diǎn)，濾波器中由于求了個(gè)倒數(shù)，故零點(diǎn)變極點(diǎn))，在這里我們得到了一只完整的眼睛。藍(lán)色曲線是切比雪夫I型濾波器極點(diǎn)分布，是瞳孔(Pupil)；品紅色曲線是巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布，是眼球(Eyeball)；青色曲線是貝塞爾濾波器極點(diǎn)分布，是眼瞼(Eyelash)；紅色曲線是高斯濾波器極點(diǎn)分布，是眼皮(Eyelid)。

高斯濾波器的過沖

高斯濾波器在理想情況下無過沖，原因是高斯函數(shù)的逆傅里葉變換也是高斯函數(shù)，也是時(shí)域的沖擊響應(yīng)，高斯函數(shù)恒定大于0，即積分后無斜率小于0的點(diǎn)，所以沒有過沖。但是使用泰勒展開高斯函數(shù)逼近后的濾波器卻是有過沖的，如下圖顯示了不同濾波器的過沖(縱坐標(biāo)改為對(duì)數(shù)用于不同濾波器的對(duì)比)：

從中可以看到巴特沃斯濾波器的Peaking隨著階數(shù)增加而增加，但是貝塞爾和高斯濾波器隨著階數(shù)的增加Peaking是減小的！而且從趨勢(shì)看到，當(dāng)后，高斯濾波器和貝塞爾濾波器的過沖都會(huì)趨近于0。

高斯濾波器綜合

高斯濾波器綜合和巴特沃斯濾波器一樣，屬于全極點(diǎn)濾波器，所以這里僅僅列出一個(gè)3階高斯濾波器綜合實(shí)例，以供參考：

對(duì)于高斯濾波器，其綜合出來的電路器件值和貝塞爾濾波器器件值非常相似：

可以看到濾波器第一個(gè)器件值幾乎是相等的，而且距源越遠(yuǎn)器件值越小，下圖繪出了2-20階低通高斯濾波器系數(shù)圖，可以看出隨著階數(shù)的增加，前級(jí)器件值非常接近。

對(duì)比貝塞爾濾波器器件值而言，高斯濾波器器件值要小些。

任意負(fù)載條件下的高斯濾波器綜合

這里需要求解特征多項(xiàng)式，即需要求解(這里有關(guān)概念可以參考濾波器設(shè)計(jì)的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic)：

式中的定義參考模擬無源濾波器設(shè)計(jì)（六）-Chebyshev濾波器設(shè)計(jì)詳解中關(guān)于任意負(fù)載條件下的求解公式。

不同濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換

只要有了低通原型, 其他濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換同Butterworth濾波器模擬無源濾波器設(shè)計(jì)（五）-Butterworth濾波器設(shè)計(jì)詳解。

高斯濾波器設(shè)計(jì)軟件

基于Matlab的appdesign工具開發(fā)了一套濾波器設(shè)計(jì)軟件, 主要特點(diǎn)是：

• 支持高斯濾波器(Gaussian Filter)、貝塞爾濾波器(Bessel Filter)、橢圓函數(shù)濾波器(Elliptic/Cauer Filter)、切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設(shè)計(jì)
• 支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設(shè)計(jì)
• T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換
• 可以設(shè)置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)
• 可以設(shè)置通帶衰減來綜合濾波器
• 可以隨意配置負(fù)載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開路, 終端短路)設(shè)計(jì)
• 可以幅頻響應(yīng)分析、零極點(diǎn)分析、瞬態(tài)分析
• 可以顯示理想頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)和實(shí)際仿真的的頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)
• 可以支持實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)器件逼近設(shè)計(jì)

Gaussian LPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)一款-3dB截止頻率為1GHz, 7階低通Gaussian濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設(shè)計(jì)過程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

高斯濾波器瞬態(tài)仿真結(jié)果：

Gaussian BPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)6階帶通Gaussian濾波器, 中心頻率為1GHz，帶寬為1GHz，50歐姆輸入，輸出阻抗為高阻，最后進(jìn)行瞬態(tài)仿真，設(shè)計(jì)過程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

AC仿真結(jié)果：

瞬態(tài)仿真結(jié)果：

如果將濾波器帶寬繼續(xù)變窄為100MHz：

高斯濾波器的瞬態(tài)特性：

同樣參數(shù)對(duì)比貝塞爾濾波器的瞬態(tài)特性：

同樣參數(shù)對(duì)比巴特沃斯瞬態(tài)特性:

可以看到同樣濾波器設(shè)置參數(shù)下，高斯濾波器具有最小延遲和最小過沖。

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabGaussianFilterDesignApp)，有興趣的同學(xué)可以下載試用體驗(yàn)，當(dāng)然也歡迎技術(shù)交流。