本文將使用經典力學的概念來推導質量-彈簧-阻尼系統的傳遞函數。

傳遞函數使我們能夠描述檢驗質量如何響應外部加速度而移動。在解釋加速度計的不同參數（例如傳感器線性工作范圍和帶寬規范）時，將在本系列的后續文章中使用派生的傳遞函數。

然而，在嘗試推導傳感器傳遞函數之前，讓我們簡要介紹一下微機電系統 （MEMS） 技術，它使當今的小型、低成本慣性傳感器成為可能。

MEMS 加速度計：使用質量彈簧阻尼結構測量加速度

用于感測加速度的質量-彈簧-阻尼器結構如圖 1 所示。

MEMS 技術使我們能夠在同一個硅芯片上實現該機械系統的一個非常小的版本以及所需的信號調理電子設備，從而獲得完整的傳感解決方案。

圖 1. 質量-彈簧-阻尼器結構。

MEMS 技術借鑒了微電子行業的基于光刻技術的微制造技術，并將它們與其他專業制造技術相結合，從而能夠在硅芯片上創建可移動部件。

微制造技術的進步幫助實現了當今小型、低成本的微機械加速度計，圖 2 中顯示了一個示例。

圖 2. CMOS MEMS 加速度計的掃描電子顯微照片 （SEM）。圖片由K. Zhang提供

在上一篇文章中，我們簡要提到了阻尼器在加速度計的運行中起著至關重要的作用。現在是在嘗試推導質量-彈簧-阻尼器系統的傳遞函數之前更熟悉系統的這一重要部分的好時機。

MEMS加速度計中的阻尼機制

阻尼器模擬耗散力，這些耗散力會降低質量-彈簧-阻尼器系統的機械能并減慢檢測質量的運動。

MEMS 加速度計中的主要阻尼機制之一是運動質量與周圍空氣分子之間發生的內摩擦。事實上，可以在極低的壓力下封裝基于 MEMS 的加速度計，以減少空氣阻尼的影響。然而，一般來說，空氣阻尼是 MEMS 加速度計能量損失的主要來源。

其他常見的阻尼源是結構阻尼和熱阻尼。

結構阻尼考慮了由MEMS器件中使用的組件結構引起的能量損失。

熱阻尼對應于MEMS結構的應力-應變關系隨溫度變化的偏差。阻尼器施加在質量塊上的總減速力通常被建模為與質量塊的速度成比例的力。

該力作用于與質量運動相反的方向，由下式給出：

其中 b 表示阻尼系數，v 表示質量塊的速度。

請注意，當物體非常小時，空氣阻力與物體的速度成正比，微加工結構就是這種情況。

一般來說，空氣阻力與 物體的速度有著復雜的關系。例如，一個大型物體，例如在空中移動的跳傘運動員，會受到與物體速度的平方成正比的阻力。

阻尼效應：想要的還是令人討厭的？

由于阻尼源于耗散力，因此它可能看起來是一種應避免的麻煩。事實上，許多 MEMS 加速度計被設計成只有少量的阻尼（以降低系統的噪聲）。

但需要注意的是，理想的沒有阻尼的質量彈簧系統實際上是一個振蕩器，不能用作加速度計。

如果我們將“理想”彈簧質量系統的質量從平衡中移出然后釋放它，即使沒有對系統施加外部加速度，質量也會永遠來回移動。這就是為什么對于加速度計，我們需要在我們的彈簧質量系統中引入至少少量的阻尼。

使用牛頓運動定律證明質量位移

假設，如圖 3 所示，外力施加到傳感器框架上。

圖 3. 對外力作出反應的質量-彈簧-阻尼結構傳感器框架。

為了根據施加的加速度計算質量塊位移，我們使用牛頓第二運動定律。正如您可能知道的那樣，該定律指出，由合力產生的物體的加速度與合力的大小成正比，與物體的質量成反比。

這由以下熟悉的等式表示：

其中 F 是施加在物體上的凈力，m 是物體的質量，a 表示加速度。

為了將這個方程正確地應用到我們的系統中，這里應該注意一個微妙的點。牛頓第二運動定律僅適用于慣性坐標系，即不加速的坐標系。

圖 3 描繪了我們的加速度計的兩個不同坐標系。橙色坐標系對應于解決物理問題時假定為慣性的地球參考系。

然而，品紅色坐標系表示固定到傳感器框架的參考框架。

該坐標系是非慣性的，因為當外力施加到傳感器時它會加速。因此，要找到質量塊的運動方程，我們應該使用慣性參考系（橙色坐標系）。

什么力量作用于證明質量？

圖 4.通過 電容感應測量質量塊位移的設置。有關更多信息，請查看該系列的上一篇文章。

為了用質量塊位移來表示公式 4，我們需要使用圖 3 中洋紅色坐標系所示的移動參考系。我們使用小寫字母 x 和 y 表示該坐標系。

例如，如果傳感器幀加速度突然從零變為有限值（階躍輸入），則系統的輸出將接近其最終值，并具有由系統參數確定的時間響應特性。

圖 5 顯示了改變系統參數如何改變輸出的振鈴和穩定時間。在我們的討論中，輸出是驗證質量位移。

圖 5.二階系統的階躍響應會根據系統參數的值發生顯著變化。圖片由麻省理工學院的 David L. Trumper 提供