Wannier函數(shù)是評估固體材料中各種電子性質(zhì)的有力工具，其應(yīng)用范圍涵蓋電極化和軌道磁化以及拓?fù)湫再|(zhì)等。此外，Wannier函數(shù)提供了一種通過緊湊的漢密爾頓方法，用以描述晶體中的能帶，因此可以在不需要額外調(diào)用代碼的情況下，快速評估布里淵區(qū)中任何一點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu)。

這種Wannier插值方法在原理上類似于緊束縛方法，但具有顯著的優(yōu)勢。Wannier插值提供了一個系統(tǒng)方法，在不截斷跳躍積分的情況下，可精確描述任何數(shù)量的能帶，相比之下，傳統(tǒng)的緊束縛方法因基組數(shù)量有限而不可避免地出現(xiàn)誤差。此外，該方法還可以精確地插值能帶的能量、各種觀測值和算符的矩陣元。

這類插值在尋找能帶結(jié)構(gòu)中的外爾點(diǎn)、評估快速變化函數(shù)的動量空間積分時，都特別有用。這類積分包括反?；魻栯妼?dǎo)、軌道磁化、玻耳茲曼輸運(yùn)系數(shù)和光學(xué)性質(zhì)的計算等。

目前，已有多種Wannier插值方案，已用于需在布里淵區(qū)進(jìn)行密集采樣的性質(zhì)計算中，如電子-聲子耦合、陀螺效應(yīng)和自旋霍爾電導(dǎo)等。然而，更復(fù)雜的物理問題和材料帶來了更難的數(shù)值計算挑戰(zhàn)，用現(xiàn)有的代碼計算將變得非常昂貴，阻礙Wannier插值方法所能達(dá)到的預(yù)期精度。

來自瑞士蘇黎世大學(xué)物理系的Stepan S. Tsirkin教授提出了一系列方法，將Wannier插值的性能提升到了更高的水平。這些方法是在Python代碼WannierBerri中實(shí)現(xiàn)的。混合并優(yōu)化了傅里葉變換和最小距離復(fù)制選擇法（MDRS），F(xiàn)ermi能級迭代不僅在計算上有很大優(yōu)勢，而且并不影響計算精度。

因此，WannierBerri可以很容易地用已建立的postw90.x代碼進(jìn)行基準(zhǔn)測試。該代碼不僅可以對反?；魻栯妼?dǎo)率和其他屬性作高速度和高精度的計算，還可以作為平臺來實(shí)現(xiàn)更多Wannier插值的功能。因此，它有可能成為一個社區(qū)代碼。有趣的是，該代碼使用同一程序來執(zhí)行基于Wannier函數(shù)和緊束縛模型的計算。

該文近期發(fā)表于npj Computational Materials 7： 33 （2021），英文標(biāo)題與摘要如下。

High performance Wannier interpolation of Berry curvature and related quantities with Wannier Berri code

Stepan S. Tsirkin

Wannier interpolation is a powerful tool for performing Brillouin zone integrals over dense grids of k points， which are essential to evaluate such quantities as the intrinsic anomalous Hall conductivity or Boltzmann transport coefficients.

However， more complex physical problems and materials create harder numerical challenges， and computations with the existing codes become very expensive， which often prevents reaching the desired accuracy. In this article， I present a series of methods that boost the speed of Wannier interpolation by several orders of magnitude.

They include a combination of fast and slow Fourier transforms， explicit use of symmetries， and recursive adaptive grid refinement among others. The proposed methodology has been implemented in the python code WannierBerri， which also aims to serve as a convenient platform for the future development of interpolation schemes for other phenomena.

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