作者：Divyanshu Mishra
編譯：ronghuaiyang

導(dǎo)讀

權(quán)值衰減和L2正則化，到底是不是同一個(gè)東西，這篇文章給你答案。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是偉大的函數(shù)逼近器和特征提取器，但有時(shí)它們的權(quán)值變得過于特定化，導(dǎo)致過擬合。這就是正則化概念出現(xiàn)的地方，我們將討論兩種主要權(quán)重正則化技術(shù)之間的細(xì)微差別，它們經(jīng)常被錯(cuò)誤地認(rèn)為是相同的。

介紹

1943年，Warren McCulloch和Walter Pitts首先提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，但當(dāng)時(shí)還不夠流行，因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量數(shù)據(jù)和計(jì)算能力，這在當(dāng)時(shí)是不可行的。但隨著上述約束條件和其他訓(xùn)練技術(shù)的進(jìn)步(如參數(shù)初始化和更好的激活函數(shù))變得可行，它們再次開始主導(dǎo)各種比賽，并在各種人類輔助技術(shù)中找到了它的應(yīng)用。

如今，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成了許多著名應(yīng)用的最主要的部分，如自動(dòng)駕駛汽車、谷歌翻譯、人臉識(shí)別系統(tǒng)等，并應(yīng)用于幾乎所有人類發(fā)展所使用的技術(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非常擅長于將函數(shù)近似為線性或非線性，在從輸入數(shù)據(jù)中提取特征時(shí)也非常出色。這種能力使他們在大量的任務(wù)中表現(xiàn)出色，無論是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域還是語言建模。但我們都聽過這句名言：

“能力越大，責(zé)任越大。”

這句話也適用于全能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它們作為強(qiáng)大的函數(shù)近似器的能力有時(shí)會(huì)導(dǎo)致它們通過逼近一個(gè)函數(shù)來過擬合數(shù)據(jù)集，這個(gè)函數(shù)在它被訓(xùn)練過的數(shù)據(jù)上表現(xiàn)得非常好，但在測試它之前從未見過的數(shù)據(jù)時(shí)卻敗得很慘。更有技術(shù)意義的是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的權(quán)值對給定的數(shù)據(jù)更加專門化，而不能學(xué)習(xí)可以一般化的特征。為了解決過擬合的問題，應(yīng)用了一類稱為正則化的技術(shù)來降低模型的復(fù)雜性和約束權(quán)值，迫使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)可泛化的特征。

正則化

正則化可以定義為我們?yōu)榱藴p少泛化誤差而不是減少訓(xùn)練誤差而對訓(xùn)練算法所做的任何改變。有許多正規(guī)化策略。有的對模型添加額外的約束，如對參數(shù)值添加約束，有的對目標(biāo)函數(shù)添加額外的項(xiàng)，可以認(rèn)為是對參數(shù)值添加間接或軟約束。如果我們仔細(xì)使用這些技術(shù)，這可以改善測試集的性能。在深度學(xué)習(xí)的環(huán)境中，大多數(shù)正則化技術(shù)都基于正則化估計(jì)器。當(dāng)正則化一個(gè)估計(jì)量時(shí)，有一個(gè)折衷，我們必須選擇一個(gè)增加偏差和減少方差的模型。一個(gè)有效的正規(guī)化是使一個(gè)有利可圖的交易，顯著減少方差，而不過度增加偏差。

在實(shí)踐中使用的主要正規(guī)化技術(shù)有：
① L2正則化
② L1正則化
③ 數(shù)據(jù)增強(qiáng)
④ Dropout
⑤ Early Stopping

在這篇文章中，我們主要關(guān)注L2正則化，并討論我們是否可以將L2正則化和權(quán)重衰減作為同一枚硬幣的兩面。

L2 正則化

L2正則化屬于正則化技術(shù)的一類，稱為參數(shù)范數(shù)懲罰。之所以提到這類技術(shù)，是因?yàn)樵谶@類技術(shù)中，特定參數(shù)的范數(shù)(主要是權(quán)重)被添加到被優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)中。在L2范數(shù)中，在網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)中加入一個(gè)額外的項(xiàng)，通常稱為正則化項(xiàng)。例如：

交叉熵?fù)p失函數(shù)的定義如下所示。

為了將L2正則化應(yīng)用于任何有交叉熵?fù)p失的網(wǎng)絡(luò)，我們將正則化項(xiàng)添加到損失函數(shù)中，其中正則化項(xiàng)如下所示：

在上式中，λ是正則化參數(shù)，與應(yīng)用的正則化量成正比。如果λ=0，則不應(yīng)用正則化，當(dāng)λ= 1時(shí)，對網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用最大正則化。λ是一個(gè)超參數(shù)，這意味著它不是在訓(xùn)練期間學(xué)習(xí)的，而是由用戶手動(dòng)調(diào)整或使用一些超參數(shù)調(diào)整技術(shù)，如隨機(jī)搜索。

現(xiàn)在讓我們把這些放在一起，形成L2正則化的最終方程，應(yīng)用于下式所給出的交叉熵?fù)p失函數(shù)。

上面的例子展示了L2正則化應(yīng)用于交叉熵?fù)p失函數(shù)，但這一概念可以推廣到所有可用的損失函數(shù)。下式給出了L2正則化更一般的公式，其中C0為非正則化損失函數(shù)，C為加入正則化項(xiàng)的正則化損失函數(shù)。

注：我們在對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行正則化時(shí)不考慮網(wǎng)絡(luò)的bias，原因如下：

1、與權(quán)重相比，bias通常需要更少的數(shù)據(jù)來精確擬合。每個(gè)權(quán)重指定了兩個(gè)變量如何相互作用(w和x)，因此要想很好地?cái)M合權(quán)重，就需要在各種條件下觀察兩個(gè)變量，而每個(gè)bias只控制一個(gè)單一變量(b)。因此，我們對bias不使用正則化，以免引入太多的方差。2、對bias進(jìn)行正則化可能引入大量的欠擬合。

為什么L2 正則化有用？

實(shí)踐推理：

讓我們試著理解L2正則化基于損失函數(shù)的梯度的工作原理。如果我們對網(wǎng)絡(luò)中所有權(quán)重和偏差取上面式子中所示方程的偏導(dǎo)數(shù)或梯度，即?C/?w和?C/?b。求偏導(dǎo)數(shù)，我們得到：

我們可以使用backpropagation算法計(jì)算上述方程中提到的?C0/?w和?C0/?b項(xiàng)。由于沒有應(yīng)用正則化項(xiàng)，偏置參數(shù)的偏導(dǎo)將不變，而權(quán)重參數(shù)將包含額外的(λ/n)*w)正則化項(xiàng)。

偏置和權(quán)重的學(xué)習(xí)規(guī)則由此變?yōu)椋?/p>

上面的權(quán)值方程類似于通常的梯度下降學(xué)習(xí)規(guī)則，除了現(xiàn)在我們首先通過 (1?(η*λ)/n)重新調(diào)整權(quán)值w。這就是L2正則化經(jīng)常被稱為權(quán)重衰減的原因，因?yàn)樗箼?quán)重變小。因此，你可以看到為什么正則化工作的時(shí)候，它使網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值更小。權(quán)值變小意味著，如果我們在這里或那里改變一些隨機(jī)輸入，網(wǎng)絡(luò)的行為不會(huì)有太大的變化，這反過來使正則化的網(wǎng)絡(luò)很難學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中的局部噪聲。這迫使網(wǎng)絡(luò)只學(xué)習(xí)那些在訓(xùn)練集中經(jīng)常看到的特征。

個(gè)人的直覺：

簡單地從優(yōu)化損失函數(shù)的角度來考慮L2正則化，當(dāng)我們把正則化項(xiàng)添加到損失函數(shù)中我們實(shí)際上增加了損失函數(shù)的值。因此，如果權(quán)值越大，損失也就越高，訓(xùn)練算法會(huì)試圖通過懲罰權(quán)值來降低損失函數(shù)，迫使它們?nèi)「〉闹担瑥亩咕W(wǎng)絡(luò)正則化。

L2 正則化和權(quán)值衰減是一樣的嗎？

L2正則化和權(quán)值衰減并不是一回事，但是可以根據(jù)學(xué)習(xí)率對權(quán)值衰減因子進(jìn)行重新參數(shù)化，從而使SGD等價(jià)。不明白？讓我給你詳細(xì)解釋一下。

以λ為衰減因子，給出了權(quán)值衰減方程。

在以下證明中可以證明L2正則化等價(jià)于SGD情況下的權(quán)值衰減：

1、讓我們首先考慮下面圖中給出的L2正則化方程。我們的目標(biāo)是對它進(jìn)行重新參數(shù)化，使其等價(jià)于上式中給出的權(quán)值衰減方程。

2、首先，我們找到L2正則化損失函數(shù)相對于參數(shù)w的偏導(dǎo)數(shù)(梯度)，如下式所示。

注意：上圖中這兩種符號的意思是一樣的。

3、得到損失函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果后，將結(jié)果代入梯度下降學(xué)習(xí)規(guī)則中，如下式所示。代入后，打開括號，重新排列，使其等價(jià)于在一定假設(shè)下的權(quán)值衰減方程。

4、你可以注意到，最終重新排列的L2正則化方程和權(quán)值衰減方程之間的唯一區(qū)別是α(學(xué)習(xí)率)乘以λ(正則化項(xiàng))。為了得到兩個(gè)方程，我們用λ來重新參數(shù)化L2正則化方程。

5、將λ'替換為λ，對L2正則化方程進(jìn)行重新參數(shù)化，將其等價(jià)于權(quán)值衰減方程，如下式所示。

從上面的證明中，你必須理解為什么L2正則化在SGD情況下被認(rèn)為等同于權(quán)值衰減，但對于其他基于自適應(yīng)梯度的優(yōu)化算法，如Adam, AdaGrad等，卻不是這樣。特別是，當(dāng)與自適應(yīng)梯度相結(jié)合時(shí)，L2正則化導(dǎo)致具有較大歷史參數(shù)和/或梯度振幅的權(quán)值比使用權(quán)值衰減時(shí)正則化得更少。這導(dǎo)致與SGD相比，當(dāng)使用L2正則化時(shí)adam表現(xiàn)不佳。另一方面，權(quán)值衰減在SGD和Adam身上表現(xiàn)得一樣好。

一個(gè)令人震驚的結(jié)果是，帶有動(dòng)量的SGD優(yōu)于像Adam這樣的自適應(yīng)梯度方法，因?yàn)槌Ｒ姷纳疃葘W(xué)習(xí)庫實(shí)現(xiàn)了L2正則化，而不是原始的權(quán)重衰減。因此，在使用L2正則化有利于SGD的任務(wù)上，Adam的結(jié)果要比使用動(dòng)量的SGD差。

總結(jié)

因此，我們得出結(jié)論，盡管權(quán)值衰減和L2正則化在某些條件下可以達(dá)到等價(jià)，但概念上還是有細(xì)微的不同，應(yīng)該區(qū)別對待，否則可能導(dǎo)致無法解釋的性能下降或其他實(shí)際問題。

本文轉(zhuǎn)自：AI公園，作者：Divyanshu Mishra，編譯：ronghuaiyang，
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審核編輯 黃昊宇