自由曲面光學是照明行業(yè)在光線重定向到目標區(qū)域方面的改變者。非均勻有理B樣條，通常稱為NURBS廣泛用于表示自由曲面和曲面。有一些光學系統(tǒng)需要在設計或優(yōu)化階段對表面進行局部修飾。在這種情況下，NURBS不能提供這種轉(zhuǎn)換。但是一個叫做T－splines的新數(shù)學表達式使得這是可行的。雖然它的潛力已被很好地描述，但迄今為止尚未在任何優(yōu)化程序中實施。Annie Shalom Isaac，來自卡爾斯魯厄理工學院的Jiayi Long和Cornelius Neumann通過在優(yōu)化程序中執(zhí)行T型樣條證明了局部細化能力的優(yōu)勢，并對結(jié)果進行了評估。結(jié)果表明，與NURBS相比，T樣條提供更均勻和均勻的光分布，且收斂速度更快。這使得使用T樣條的光學設計或優(yōu)化成為未來自由形式設計任務的直觀方法。

3x3 OFFD柵格在（左）和（右）變形之前封閉和光學表面

自由形式光學器件的設計在很大程度上依賴于以下方法之一：基于點源假設［3］，SMS設計［4］和基于等通量網(wǎng)格［5］的源目標圖的裁剪以創(chuàng)建初始光學表面。由于這些數(shù)學方法不能保證為擴展的LED光源提供準確的結(jié)果，也不能提供通用的解決方案，光學設計師仍然依靠任何優(yōu)化工具來改善結(jié)果。光線跟蹤算法中的速度提高以及復雜的智能優(yōu)化算法使優(yōu)化方法的應用更加廣泛。但自由曲面優(yōu)化的缺點主要是由于其復雜的數(shù)學表達和許多參數(shù)的存在。

Wendel et．a(chǎn)l提出了一種稱為優(yōu)化的方法，使用自由形變（OFFD）來克服這個困難，將光學表面置于網(wǎng)格中并使封閉的網(wǎng)格變形而不是直接作用于網(wǎng)格［1］。這種方法使用NURBS來表示光學表面，其結(jié)果表明，使用較少的優(yōu)化變量，它們可以很好地實現(xiàn)全局變形，這使得制造更容易。但是有些情況下需要在光線分布上有明顯的傾斜，或者光線的路徑必須顯著改變。在這種情況下，輕微的局部變形會帶來顯著的改善。但是對于目前的OFFD，這是不可能的，因為下面的表面表示。稱為T樣條的另一種表面表示法可以克服這個缺點［2］。Bailey等人。al已經(jīng)證明了T－splines的潛力及其在光學表面的應用［6］。但是迄今為止，這種方法既未應用于任何優(yōu)化程序，也未對其光學性能進行分析并與NURBS進行比較。

因此，這項工作考慮了這個問題，并提供了解決這個問題的替代方法。第2部分介紹了OFFD技術。光學表面的數(shù)學表面表示在第3節(jié)中介紹．T樣條的實現(xiàn)結(jié)果和比較結(jié)果在第4節(jié)中顯示，隨后在第5節(jié)中給出結(jié)論。

使用OFFD進行優(yōu)化

OFFD方法采用Sederberg ［7］提出的自由變形（FFD）技術，并結(jié)合優(yōu)化程序。網(wǎng)格和光學表面之間的關系使用FFD算法很好地建立［7］。圖1顯示了在變形之前和之后具有光學表面的網(wǎng)格。為了簡潔起見，只介紹OFFD方法的概述。

一個3x3 OFFD網(wǎng)格包圍和光學表面（左）和之后（右）變形

該算法首先選擇一個輸入表面，其光學性能必須得到改善，這通常遠離目標。通過這種方法，光學表面被包圍在包含27個網(wǎng)格控制點的網(wǎng)格內(nèi)，并且用戶可以從它們中選擇任何組合。這作為變量提供給優(yōu)化算法。優(yōu)化算法對于選定的網(wǎng)格點組合具有廣泛的搜索空間，并提供沿三維向封閉網(wǎng)格的移動。隨著封閉的網(wǎng)格發(fā)生變化，它也會改變其內(nèi)部的光學表面。然后對變形后的表面進行光度評估，優(yōu)化算法根據(jù)此結(jié)果決定其優(yōu)化變量的變化。該算法一再重復，直到達到目標照明要求。

自由形變優(yōu)化的工作流程（OFFD）

這個程序中最重要的一步是變形光學表面的品質(zhì)因數(shù)定義，因為整個優(yōu)化是基于這個單一的值，稱為Q．在本文中，我們使用兩個不同的評價函數(shù)。

偏差評價函數(shù)Qdev，其對應于當前模擬分布與期望分布的偏差并被表示為

G是人們感興趣的區(qū)域，Eideal（x）是期望的照度分布目標，E（x）是當前的光分布。

通量擇優(yōu)函數(shù)Q 磁通對應于最大化，其中被量化為在目標（Φ通量的比率所需的目標區(qū)域中的通量噸），并通過光學器件收集φC可用通量。

光學表面的數(shù)學表示

NURBS

NURBS技術非常成熟，可用于計算機輔助圖形系統(tǒng)以及光線追蹤器。由于其靈活性，可以通過在優(yōu)化程序期間更改控制點或其重量來輕松操縱或修改曲面。NURBS曲面是參數(shù)張量積曲面，定義如下：

其中P ij是控制點的矩形陣列，其中P ij是（n ＋ 1）×（m ＋ 1）矩陣，wi，j是權重，N ip（u）和N jq（v）是u和p的基函數(shù)， v方向，分別與結(jié)矢量相關聯(lián)。

其中r ＝ p ＋ n ＋ 1和s ＝ m ＋ q ＋ 1成立。當必須在NURBS中添加控制點時，使用結(jié)插入方法完成控制點。添加單個節(jié)點需要添加整列或一排控制點。使用NURBS也不可能去除結(jié)頭，而不會改變幾何形狀。這種局部細化主要限于NURBS，因為它的張量產(chǎn)品結(jié)構如EQ3所示。如圖3所示，NURBS曲面被逐列水平和垂直逐行地重復。為了滿足這種平衡，如果增加一個新的控制點，則同時添加整列或一行控制點。

顯示初始5x5 NURBS補丁（左圖）的示例，修改后如何在NURBS（中）和T樣條（右）完成時沿行和列添加控制點

審核編輯：符乾江